2.7 正多边形与圆
正多边形和圆教案
正多边形和圆教案第一章：正多边形的定义和性质1.1 教学目标了解正多边形的定义掌握正多边形的基本性质能够计算正多边形的边数和内角大小1.2 教学内容正多边形的定义：所有边相等，所有角相等的多边形正多边形的性质：边数：n条边，记作n-gon内角大小：180°×(n-2) / n外角大小：360°/ n实例：正三角形、正方形、正五边形等1.3 教学活动引入正多边形的概念，引导学生观察生活中的正多边形实例讲解正多边形的性质，引导学生进行小组讨论和互动练习计算正多边形的边数和内角大小，给予学生反馈和指导第二章：圆的定义和性质2.1 教学目标了解圆的定义掌握圆的基本性质能够计算圆的周长和面积2.2 教学内容圆的定义：平面上所有点到圆心的距离相等的点的集合圆的性质：圆心：所有直径的交点半径：从圆心到圆上的任意一点的距离周长：2πr，其中r为半径面积：πr²，其中r为半径实例：圆形的桌面、圆环等2.3 教学活动引入圆的概念，引导学生观察生活中的圆形实例讲解圆的性质，引导学生进行小组讨论和互动练习计算圆的周长和面积，给予学生反馈和指导第三章：正多边形和圆的关系3.1 教学目标理解正多边形和圆的关系能够画出给定边数的正多边形能够计算正多边形的面积和周长3.2 教学内容正多边形和圆的关系：正多边形的每个顶点都在圆上，且每条边都过半径所在的圆心画正多边形的方法：以圆心为起点，用直尺和圆规画出给定边数的正多边形正多边形的面积和周长计算公式：面积：A = (s²×n) / (4 ×tan(π/n))，其中s为边长周长：C = n ×s，其中s为边长3.3 教学活动引导学生思考正多边形和圆的关系，进行小组讨论示范画正多边形的方法，让学生动手实践练习计算正多边形的面积和周长，给予学生反馈和指导第四章：正多边形的对称性4.1 教学目标了解正多边形的对称性能够判断正多边形的对称轴数量能够画出正多边形的对称轴4.2 教学内容正多边形的对称性：正多边形具有旋转对称性和轴对称性对称轴数量：正n边形有n条对称轴，分别为通过顶点和中心的n条直线画对称轴的方法：以顶点和中心为起点，画出正多边形的对称轴4.3 教学活动引入正多边形的对称性概念，引导学生观察生活中的正多边形实例讲解正多边形的对称性，引导学生进行小组讨论和互动示范画正多边形的对称轴，让学生动手实践第五章：正多边形的应用5.1 教学目标了解正多边形在生活中的应用能够运用正多边形解决实际问题能够创造正多边形的艺术品5.2 教学内容正多边形在生活中的应用：建筑设计、艺术创作、几何模型等实际问题解决：利用正多边形的性质解决几何问题创作正多边形的艺术品：使用纸张、剪刀和胶水等材料，创作出正多边形的艺术品5.3 教学活动展示正多边形在生活中的应用实例，引导学生思考其应用领域提出实际问题，引导学生运用正多边形的性质解决组织学生进行正多边形艺术品的创作活动，给予学生反馈和指导第六章：圆的周长和面积6.1 教学目标能够计算圆的周长和面积理解圆周率π的概念及其在实际中的应用掌握圆的直径与半径的关系6.2 教学内容圆的周长：C = 2πr，其中r为半径圆的面积：A = πr²，其中r为半径圆周率π：圆的周长与其直径的比值，约等于3.14159直径与半径的关系：直径是半径的两倍，即d = 2r6.3 教学活动通过实际测量和计算，让学生体验圆周率π的近似值引导学生理解圆周率π是无理数，且在数学和工程领域的重要应用练习计算圆的周长和面积，解决实际问题，如计算车轮的周长或面积第七章：圆的方程7.1 教学目标了解圆的方程及其表达形式能够根据圆的直径或半径写出圆的方程能够解析圆的方程来确定圆的位置和大小7.2 教学内容圆的标准方程：以圆心坐标(h, k)和半径r为参数，方程为(x-h)²+ (y-k)²= r²圆的一般方程：以圆上任意一点的坐标(x, y)和圆心坐标(h, k)为参数，方程为x²+ y²2hx 2ky + (h²+ k²r²) = 0圆的方程与圆的性质：通过方程可以确定圆心的位置和半径大小7.3 教学活动引导学生通过图形理解圆的方程，并能够将方程与圆的性质联系起来练习从给定的圆心坐标和半径写出圆的方程利用圆的方程解决实际问题，如确定两圆的位置关系第八章：圆的弧度和弧长8.1 教学目标理解圆的弧度制和度量弧长的方法能够将角度转换为弧度，计算弧长掌握圆周角与圆心角的关系8.2 教学内容圆的弧度制：以圆的周长等于2πr为基准，一个圆周角等于2π弧度弧长计算：l = rθ，其中θ为圆心角的大小（以弧度为单位）圆周角与圆心角的关系：圆周角等于其所对圆心角的两倍（在同一圆或等圆中）8.3 教学活动通过实际测量和计算，让学生理解圆的弧度制引导学生学习如何使用圆规和量角器测量圆心角并计算弧长练习计算给定圆心角的弧长，并解决相关的实际问题第九章：圆的相交和切割9.1 教学目标理解圆与圆之间的相交和切割关系能够判断两圆的位置关系能够解决涉及圆相交和切割的实际问题9.2 教学内容圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含相交和切割的性质：当两圆相交时，它们的圆心距小于两圆半径之和；当两圆切割时，它们的圆心距等于两圆半径之和实际问题解决：利用圆的性质解决几何问题，如计算两圆的交点坐标或切割线的长度9.3 教学活动通过图形和实际操作，让学生直观理解圆与圆之间的相交和切割关系引导学生学习如何利用圆的性质解决相关的几何问题练习解决涉及圆相交和切割的实际问题，如计算两圆的交点坐标或切割线的长度第十章：圆的应用10.1 教学目标了解圆在现实世界中的应用能够运用圆的知识解决实际问题能够创造圆相关的艺术品或模型10.2 教学内容圆在现实世界中的应用：自行车轮、汽车轮、圆规、时钟等实际问题解决：利用圆的知识解决生活中的几何问题，如计算轮子的周长或面积圆的艺术品或模型制作：使用纸张、木材、重点和难点解析1. 正多边形的定义和性质：这一章节中，理解正多边形的概念和掌握其基本性质是重点。
正多边形与圆的联系
正多边形与圆的联系正多边形与圆之间有着紧密的联系。
在几何学中，正多边形是指所有边长和内角都相等的多边形，而圆则是一个连续的曲线，由任意一点到另一点的距离都相等。
尽管它们看起来截然不同，但实际上它们之间存在着一些有趣的关系和应用。
本文将探讨正多边形与圆的联系以及它们在数学和几何学中的应用。
首先，正多边形和圆在构造和特性上存在着一些相似之处。
正多边形可以通过在圆上连接等长的弦而构建。
例如，一个正三角形可以通过在圆上连接三个等长的弦来形成，而一个正五边形可以通过连接五个等长的弦来形成。
此外，一个正多边形的顶点也可以视作是圆的切点，这种关系在解决几何问题时非常有用。
其次，正多边形和圆在面积和周长方面也有着密切的联系。
一个正多边形的面积可以通过将其分割成等边三角形，并使用三角形的公式来计算。
而一个圆的面积可以通过应用πr²的公式来计算，其中r是圆的半径。
然而，一个有趣的事实是，当正多边形的边数越来越多时，它的面积逐渐接近于圆的面积。
这意味着，当正多边形的边数无限增加时，它将无限接近于一个圆。
此外，正多边形和圆的联系还可以扩展到三角函数和复数的领域。
在三角函数中，我们可以使用正多边形的顶点来解释正弦和余弦函数。
当我们在单位圆上绘制一个正多边形，并对应地观察顶点的纵坐标，我们会发现这些纵坐标形成了正弦曲线。
同样地，我们可以观察顶点的横坐标，发现它们形成了余弦曲线。
这个发现为我们理解三角函数的特性提供了一种直观的方式。
此外，在复数的领域，正多边形和圆也有一些有趣的应用。
复数可以表示为实部和虚部的和，可以用复平面上的点表示。
当我们在复平面上绘制一个正多边形，以原点为中心，并且把每个顶点都与原点相连，我们会发现这个多边形的顶点实际上形成了一个圆。
这个圆被称为“单位圆”，它的半径等于1。
这个联系不仅在数学上有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥着重要的作用。
综上所述，正多边形与圆之间存在着广泛而丰富的联系。
《正多边形与圆+第2课时》精品教学课件
学习目标
正
1.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
多
2.掌握正多边形的性质，并能运用这些性质解决简单的实际
边
问题；
形
3.通过正多边形的有关计算，培养学生的计算能力，发展学
的
生的转化思想和解题能力；
性
4.通过对正多边形的研究，进一步了解正多边形与圆的密切
质
圆中的元素和正多边形有什么关系呢？ D
我们把一个正多边形的外接圆和内切 圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
E O
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角.
正n边形的每个中心角= 360 . n
AH
中心
C
B
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合作探究
是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？
以正五边形为例来进行研究.
D
如图，过正五边形ABCDE的顶点A，B， E
C作⊙O，连接OA，OB，OC，OD，OE.
∵ OB=OC，
∴ ∠1=∠2.
A
4C 2 O 1 3
B
又 ∵ ∠ABC=∠BCD， ∴ OA=OD，即点D在⊙O上.
∴ ∠3=∠4.
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随堂练习
3.有一正六边形ABCDEF的内切圆半径为R，求R与这个正六边形
ABCDEF的外接圆半径之比.
E
D
解：如图所示：过点O作OM⊥AB，垂足
为M，连接OA，
F
正多边形与圆的关系
正多边形与圆的关系正多边形和圆是几何学中常见的两种图形，它们之间存在着一些特殊的关系。
在本文中，我们将探讨正多边形与圆的关系，并介绍其中的几个重要概念和性质。
一、正多边形的定义和性质正多边形是指所有边相等、所有角度相等的多边形。
以正n边形为例，它共有n条边和n个顶点，每个内角都是360°/n。
由于每个内角相等，所以每个外角也相等，每个外角都是360°/n。
正多边形具有一些重要的性质。
首先，正多边形的内角和外角之和分别为180°和360°。
其次，正多边形可以通过将圆分成若干等分扇形得到。
每个扇形对应正多边形上的一个顶点，而圆心则对应于正多边形的中心。
二、正多边形与圆的内切关系正多边形可以与一个圆内切，即正多边形的每个顶点都在圆上。
以正六边形为例，将其内接于一个圆，使得每个顶点都与圆的周边相切。
这样，正六边形的外接圆和内接圆就是同一个圆。
在正多边形内切圆的情况下，我们可以推导出一些有趣的数学关系。
首先，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
其次，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的内接圆的半径之和。
三、正多边形与圆的外接关系正多边形还可以与一个圆外接，即正多边形的每条边都与圆相切。
这种情况下，正多边形的外接圆和内接圆不再是同一个圆。
在正多边形外接圆的情况下，我们可以得到与内接圆类似的数学关系。
首先，正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
其次，正多边形的内接圆的半径等于正多边形的边长与正多边形的外接圆的半径之和。
四、正多边形与圆的面积关系正多边形的面积可以通过将其划分成若干等边三角形求和得到。
以正n边形为例，其面积可以表示为S=0.5*n*r*l，其中r为内接圆的半径，l为正多边形的边长。
而圆的面积可以表示为S=π*r^2，其中r为圆的半径。
通过比较正多边形的面积公式和圆的面积公式，我们可以发现一个有趣的关系：当n无限增大时，正多边形的面积逐渐接近于圆的面积。
正多边形与圆课件
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证明 ∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA
BCE=CDA ∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E ∴五边形ABCDE是正五边形，
A
B
E
O
C
D
问题2：如图，点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分． （1）在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形， 并把它们叠合在一起； （2）把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再 旋转60°呢？
六边形ABCDEF是正六边形
E
D
E
D
F O
A
CF O
B
A
C B
归纳
定义：一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依
次连接各等分点就得到这个圆的内接正n边形，这个圆是 这个正n边形的外接圆.正多边形的外接圆的圆心叫做正 多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心到正多边形一边的距 离叫作正多边形的边心距.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边 形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相 等．菱形不是正多边形，因为角不一定相 等．
正多边形与圆有什么关系呢？
正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同 心圆． 分析：正三角形三个顶点把圆三等分； 正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把 等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？
2.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是 （ C）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
B
A E
O·
C
D
3.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2， 则该圆的内接正三角形ACE的面积为（ D ）
正多边形与圆
正多边形与圆正多边形和圆是几何学中的基本概念，它们具有独特的性质和特点。
正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
本文将详细讨论正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、正多边形的定义与性质正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形。
按照边的数量，我们可以称之为正三边形、正四边形、正五边形等。
下面以正三边形为例，介绍正多边形的一些性质。
1. 正多边形的特点正三边形是最简单的正多边形，它的三条边相等，三个内角也相等。
除了边长和角度相等外，正多边形的对角线长度也相等，对称轴的存在使得正多边形具有额外的对称性。
2. 正多边形的内角和外角正多边形的内角和外角和的关系是一个重要的性质。
以正三边形为例，它的内角和为180度，外角和为360度。
无论正多边形的边数增加到多少，内角和始终是180度，而外角和始终是360度。
二、圆的定义与性质圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
以下是圆的一些定义与性质。
1. 圆的定义圆是由平面上到一个给定点（圆心）的距离相等的所有点所组成的集合。
圆的长度单位是周长，面积单位是平方单位。
2. 圆的性质圆具有许多独特的性质，如以下几点：- 圆的直径是圆上任何两点间的最长线段，它等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点绕圆心一周所经过的长度，用2πr表示，其中r代表圆的半径。
- 圆的面积是圆内所有点所构成的区域的大小，用πr²表示，其中r代表圆的半径。
三、正多边形与圆的关系正多边形与圆之间存在着密切的关系，下面将介绍两者之间的一些关联性。
1. 内接圆和外接圆正多边形与圆的关系可以通过内接圆和外接圆来描述。
内接圆是指一个圆完全位于正多边形内部且与多边形的每一边都相切，而外接圆是指一个圆完全包围住正多边形且与多边形的每一条边都相切。
对于正多边形来说，内接圆和外接圆的圆心都位于正多边形的中心。
2. 正多边形与圆的面积关系正多边形与圆的面积关系可以通过比较它们的面积得出。
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块。
2.7 正多边形与圆
1．边长为a的正六边形的内切圆的半径为( )
A．2a B．a
C．32a D．12 a
2．[2019·湖州]如图2-7-5，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，
则∠ABD的度数是( )
图2-7-5
A．60° B．70°
C．72° D．144°
3．[2019·南充]如图2-7-6，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形
ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝ 度．
图2-7-6
4．如图2-7-7，AB︵＝BC︵＝CD︵＝DE︵＝EF︵＝FA︵，试证明六边形ABCDEF是
⊙O的内接正六边形．
图2-7-7
5．已知正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径是R，求正六边形ABCDEF
的边长a和面积S.
图2-7-8
6．如图2-7-9，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周
上，T2的6条边都和⊙O相切．
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；
(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2.
图2-7-9
7．如图2-7-10，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，
正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且BM＝
CN，连接OM，ON.
图2-7-10
(1)求图2-7-10(1)中∠MON的度数；
(2)图2-7-10(2)中∠MON的度数是 ，图2-7-11(3)中∠MON的度数
是 ；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．
.
参考答案
2．7 正多边形与圆
【分层作业】
1．C 2.C 3.15 4.略
5．a＝R S＝332R2
6．(1)r∶a＝1∶1 r∶b＝3∶2
(2)S1∶S2＝3∶4
7．(1)120° (2)90° 72° (3)360°n
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