1正多边形与圆
正多边形和圆知识点
正多边形和圆
知识要点
1、正多边形
（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性
（1）、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
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2020年九年级数学上册专题24.3正多边形和圆(讲练)【含解析】
2020年九年级数学上册专题24.3正多边形和圆（讲练）一、知识点1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC 为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2二、标准例题：例1：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接BD ．则∠CBD 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF 中，∠BCD ＝＝120°，BC ＝CD，(62)1806-⨯∴∠CBD ＝（180°﹣120°）＝30°，12故选：A ．总结：本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．例2：如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）A ．B ．C ．D ．45342312【答案】C【解析】连接AC ，设正方形的边长为a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=90°，∴AC 为圆的直径，a ，，223π=≈故选C.总结：本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．例3：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G .(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)已知FG ＝，求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析；(2) 图中阴影部分的面积为.83π【解析】(1)证明：连接OF ，AO ，∵AB ＝AF ＝EF ，∴，AB AF EF ==∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠EBF ＝30°，∵OB ＝OF ，∴∠OBF ＝∠BFO ＝30°，∴∠ABF ＝∠OFB ，∴AB ∥OF ，∵FG ⊥BA ，∴OF ⊥FG ，∴FG 是⊙O 的切线；(2)解：∵，AB AF EF ==∴∠AOF ＝60°，∵OA ＝OF ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AFO ＝60°，∴∠AFG ＝30°，∵FG ＝，∴AF ＝4，∴AO ＝4，∵AF ∥BE ，∴S △ABF ＝S △AOF ，∴图中阴影部分的面积＝.260483603ππ⨯=总结：此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角三、练习1．如图，正六边形的边长为2，分别以点为圆心，以为半径作扇形，扇形ABCDEF ,A D ,AB DCABF ．则图中阴影部分的面积是（ ）DCE A ．B ．C ．D．43π83π-43π-43π【答案】B 【解析】解：∵正六边形的边长为2，ABCDEF ∴正六边形的面积是：，，ABCDEF ()22sin 606622︒⨯⨯=⨯=120FAB EDC ∠=∠=∴图中阴影部分的面积是：，21202823603ππ⨯⨯-⨯=故选：B ．2．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则的值是（）1∠A ．B ．C ．D ．15︒18︒20︒9︒【答案】B 【解析】解：正五边形的内角的度数是1(52)1801085︒︒⨯-⨯=正方形的内角是90°，则∠1=108°-90°=18°．故选：B ．3．如图，已知正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点逆ABCD A B O C D O ABCD A 时针旋转，使点落在上.若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为D O ABCD O 6cm D （）A ．B ．C ．D ．2cmπ32cm πcm π12cm π【答案】C 【解析】解：设圆心为O ，连接AO ，BO ， OF ，∵AB=6，AO=BO=6，∴AB=AO=BO，∴三角形AOB 是等边三角形，∴∠OAB=60°∵AF=AO=FO=6，∴△FAO 是等边三角形，∴∠OAF=60°∠FAB=∠OAB+∠OAF =120°，∴∠EAC=120°-90°=30°，∵AD=AB=AF=6，∴点D 运动的路径长为：=π．306180π⨯⨯故选：C ．4．如图，在正五边形中，，的延长线交于点，则等于（ ）.ABCDE AE CD FF ∠A ．B ．C ．D ．30°32︒36︒38︒【答案】C 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AED =∠EDC =108°，∴∠FED =∠FDE =72°，由三角形的内角和定理得：∠F =180°﹣72°﹣72°=36°．故选C ．5．如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）ABCDE O BD ABD ∠A ．B ．C ．D ．60︒70︒72︒144︒【答案】C 【解析】∵五边形为正五边形ABCDE ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒∵CD CB =∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选：C ．6．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）A ．B ．C ．D ．π-2π-π+2π+【答案】A【解析】解：6个月牙形的面积之和，2132622πππ⎛=--⨯⨯= ⎝故选：A ．7．阅读理如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定,有序数对(θ,m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”。
《正多边形和圆(1)》教案
《正多边形和圆（1）》教案一、教学内容1、正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距。
2、在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系。
3、正多边形的画法。
二、教学目标1、了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。
2、复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容。
三、教学重、难点重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
难点：通过例题使学生理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
四、教学过程（一）、复习引入请同学们口答下面两个问题。
1、什么叫正多边形？2、从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点。
想一想：菱形是正多边形吗？矩形、正方形呢？（二）、探索新知1、如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形。
∵AB=BC=CD=DE=EF∴AB=BC=CD=DE=EF又∴∠A= BCF= （BC+CD+DE+EF）=2BC∠B= CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD∴∠A=∠B同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O 的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆。
这个正多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心。
外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
圆与正多边形的性质
圆与正多边形的性质圆与正多边形都是几何学中常见的几何形体，它们具有一些独特的性质和特点。
本文将以圆与正多边形的性质为主线，探讨它们之间的关系，并给出对应的数学论证。
一、圆的性质圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
在圆的内部，我们可以找到一些重要的性质。
1. 圆心和半径圆心是指圆的中心点，记作O，确定了整个圆的位置。
半径是指圆心到圆上任意点的距离，记作r。
圆的半径是圆的重要属性之一，与圆的大小直接相关。
2. 弧和圆心角在圆上，我们可以定义弧和圆心角。
弧是指圆上两点之间的弧段，圆心角是指以圆心为顶点的角度，它的度数等于对应的弧所对应的圆心角。
3. 切线和法线切线是指与圆相切且只与圆相交于一个点的直线，切点在切线上的位置与圆的切线位置相互垂直。
法线是指从切点到圆心的直线段，与切线垂直。
二、正多边形的性质正多边形是指各边相等且各角相等的多边形。
在正多边形中，我们可以找到一些重要的性质。
1. 边和内角正多边形的边数决定了它的名称，如三边形、四边形、五边形等。
每个内角的度数等于 (n-2) × 180° / n，其中n为正多边形的边数。
2. 对角线对角线是指从正多边形的一个顶点到非相邻顶点的线段，正多边形的对角线个数为 n(n-3)/2，其中n为正多边形的边数。
三、圆与正多边形的关系除了各自的性质外，圆与正多边形还存在一些有趣的关系。
1. 内接正多边形内接正多边形是指一个正多边形的每个顶点都在圆上，并且正多边形的边都是圆的切线。
在内接正多边形中，圆心角和内角是相等的，每个内角的度数为 180° / n，其中n为正多边形的边数。
2. 外接正多边形外接正多边形是指一个正多边形的每条边都与圆相切，并且圆的圆心位于外接正多边形的外部。
在外接正多边形中，内角和对应的圆心角是相等的，每个内角的度数为 180° - 360° / n，其中n为正多边形的边数。
初中数学知识点：正多边形和圆知识点
初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
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8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
平面几何中的正多边形与圆的周长
平面几何中的正多边形与圆的周长在平面几何中，正多边形与圆的周长是一个重要的概念。
正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形，而圆的周长则是指圆的边缘一周的长度。
本文将探讨正多边形和圆的周长的关系，并介绍一些计算正多边形和圆的周长的方法。
一、正多边形的周长正多边形的周长可以通过计算每条边的长度之和来得到。
设正多边形有n条边，边长为a，则正多边形的周长L可以表示为L = n * a。
例如，一个有6条边的正六边形，若每条边的长度为3cm，则正六边形的周长L = 6 * 3 = 18cm。
需要注意的是，正多边形的周长与边数以及边长有关。
当边数n增加时，正多边形的周长也会增加；当边长a增加时，正多边形的周长也会增加。
二、圆的周长在平面几何中，圆的周长又称为圆的周长或圆周长。
圆的周长C可以通过计算圆的直径或半径与圆周率π的乘积来得到。
根据定义，圆周率π的近似值约为3.14159。
1. 通过直径计算设圆的直径为d，则圆的周长C可以表示为C = π * d。
例如，一个直径为10cm的圆的周长C = 3.14159 * 10 = 31.4159cm。
2. 通过半径计算设圆的半径为r，则圆的周长C可以表示为C = 2 * π * r。
例如，一个半径为5cm的圆的周长C = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159cm。
需要注意的是，无论是通过直径还是半径计算，圆的周长都与圆周率π有关。
当直径或半径增加时，圆的周长也会增加。
三、正多边形与圆的周长的关系在考察正多边形和圆的周长时，我们可以发现一个有趣的现象。
当正多边形的边数n足够大时，正多边形的周长L会趋近于圆的周长C。
这可以通过以下推理来解释：首先，在一个给定的正多边形中，边数越多，每条边的长度a则越短，这意味着多边形的周长L越接近于n * a。
而当n趋近于无穷大时，正多边形的周长L趋近于无限，也就是周长无限长。
而圆的周长C是有限且确定的，不会随着边数的增加而增加。
正多边形和圆教案
正多边形和圆教案第一章：正多边形的定义和性质1.1 教学目标了解正多边形的定义和性质能够计算正多边形的边数和内角大小1.2 教学内容引入正多边形的概念，通过图片和实物展示让学生直观感受讲解正多边形的性质，如边数、内角大小、对称性等引导学生通过观察和推理得出正多边形的性质1.3 教学活动通过图片和实物引导学生思考什么是正多边形学生自主探究正多边形的性质，记录下来并与同学交流教师总结正多边形的性质，并给出相关例题让学生巩固第二章：圆的定义和性质2.1 教学目标了解圆的定义和性质能够计算圆的半径和直径2.2 教学内容引入圆的概念，通过图片和实物展示让学生直观感受讲解圆的性质，如半径、直径、圆心等引导学生通过观察和推理得出圆的性质2.3 教学活动通过图片和实物引导学生思考什么是圆学生自主探究圆的性质，记录下来并与同学交流教师总结圆的性质，并给出相关例题让学生巩固第三章：正多边形和圆的关系3.1 教学目标了解正多边形和圆的关系能够计算正多边形的内切圆和外接圆3.2 教学内容讲解正多边形和圆的关系，如内切圆和外接圆的概念引导学生通过观察和推理得出正多边形和圆的关系3.3 教学活动学生通过观察和推理得出正多边形和圆的关系学生自主探究正多边形的内切圆和外接圆的计算方法，记录下来并与同学交流教师总结正多边形和圆的关系，并给出相关例题让学生巩固第四章：正多边形和圆的面积计算4.1 教学目标能够计算正多边形的面积和圆的面积4.2 教学内容讲解正多边形和圆的面积计算公式引导学生通过观察和推理得出正多边形和圆的面积计算方法4.3 教学活动学生通过观察和推理得出正多边形和圆的面积计算方法学生自主探究正多边形和圆的面积计算公式，记录下来并与同学交流教师总结正多边形和圆的面积计算方法，并给出相关例题让学生巩固第五章：正多边形和圆的应用5.1 教学目标了解正多边形和圆在实际中的应用5.2 教学内容讲解正多边形和圆在实际中的应用，如几何图形、建筑设计等5.3 教学活动学生通过图片和实物观察正多边形和圆在实际中的应用学生自主探究正多边形和圆在其他领域的应用，记录下来并与同学交流教师总结正多边形和圆的应用，并给出相关例题让学生巩固第六章：正多边形的内切圆和外接圆6.1 教学目标理解正多边形的内切圆和外接圆的概念。