九年级数学正多边形和圆1
初三数学正多边形和圆公式
初三数学正多边形和圆公式
正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。
一、正多边形的公式
1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°
其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。
2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n
3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°
其中，Σexterior angles表示外角之和。
4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n
5、正多边形的周长公式：P= a × n
二、圆的公式
1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。
2、圆的周长公式：C=2πr
3、圆的面积公式：S=πr^2
4、弦长公式：L=2πr × 角度
5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)
以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。
人教版九年级数学上册《正多边形和圆》教学案
正多边形和圆 ( 一)素质教育目标1．使学生理解正多边形观点；使学生认识挨次连接圆的n 平分点所得的多边形是正多边形；过圆的n 平分点作圆的切线，以相邻切线的交点为极点的多边形是正多边形．2，经过正多边形定义教课培育学生概括能力；经过正多边形与圆关系定理的教课培育学生察看、猜想、推理、迁徙能力．3，向学生浸透“特别——一般”再“一般——特别”的唯物辩证法思想．教课要点、难点、疑点及解决方法1．要点：正多边形的定义；n 平分圆周 (n ≥ 3) 可得圆的内接正n 边形和圆的外切正n 边形．2．难点：对正n 边形中泛指“n”的理解．3．疑点及解决方法：揭露定理证明的思路和步骤，说明取n=5 的特别状况证明定理具有代表性．教法学法和教具1．教法：指引学生探究研究发现法。
2．学法：学生主动探究研究发现法。
3．教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。
教课步骤复习准备部分同学们思虑以下问题：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？[ 安排中下生回答]3．等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？[ 中上生回答：各边相等、各角相等] ．教师：我们今日学习的内容“7.15 正多边形和圆”．讲堂讲练部分一，正多边形的观点教师发问：1，什么是正多边形？[ 安排中下生回答：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．]师重申：假如一个正多边形有 n(n ≥ 3) 条边，就叫正 n 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．[ 教师展现图形]2，上边这些图形都是正几边形？[ 安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形，正六边形． ]3，矩形是正多边形吗？为何？菱形是正多边形吗？为何？[ 安排中下生回答：矩形不是正多边形，因为边不必定相等．菱形不是正多边形，因为角不必定相等．] 4，哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？[ 安排记起来的学生回答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其他量都相等．] 5，要将圆三平分，那么此中一等份的弧所对圆心角度数是多少？要将圆四平分、五等分、六平分呢？[ 安排中下生回答：将圆三平分，此中每等份弧所对圆心角120°、将圆四平分，每等份弧所对圆心角90°、五平分，圆心角72°、六平分，圆心角60° ] 6，哪位同学能用量角器将黑板上的圆三平分、四平分、五平分、六平分？[ 接排四名上等生上黑板达成，其他学生在下边练习本上用量角器平分圆周．]7，大家挨次连接各分点看所得的圆内接多边形是什么样的多边形？[ 学生答：正多边形．二，平分圆周法定理求证：五边形ABCDE是⊙ O的内接正五边形．教师指引学生剖析：1，以五边形为例，哪位同学能证明这五边形的五条边相等？[ 安排中等生回答：]2，哪位同学能明五形的五个角相等？[ 安排中等生回答：]3，前方的明明“挨次的五平分点所得的内接五形是正五形”的察后的猜想是正确的．假如n 平分周， (n ≥ 3) 、 n=6， n=8⋯⋯能否也正确呢？[ 安排学生充足] ．教: 因在同中，弧等弦等，n 平分就获得n 条弦等，也就是n 形的各都相等．又n 形的每个内角的(n-2)条弧，而每一内角所的弧都相等，依据弧等、周角相等，了然n 形的各角都相等，所以内接正五形的明拥有代表性．定理：把圆分红 n(n ≥ 3) 等份：(1) 挨次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；教：1，何要“挨次” 各分点呢？缺乏“挨次”二字会出什么象？大家看看．2，的五平分点作的切，大家察以相切的交点点的五形能否是正五形？PQ、 QR、 RS、 ST 分是分点A、 B、 C、 D、 E 的⊙ O的切．求：五形PQRST是⊙ O的外切正五形教引学生剖析：1, 由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同学能明五形PQRST的各角都相等？[ 安排中上生回答]2, 哪位同学能明五形PQRST的各都相等？[ 安排中等生回答．]教：前方同学的明，明“ 的五平分点作的切，以相切的交点点的多形是个的外切正五形．”同依据弧等弦等、弦切角等便可明的n 平分点作的切，以相切的交点点的n 个等腰三角形全等，进而了然个的以它n 平分点切点的外切n 形是正n 形．(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为极点的多边形是这个圆的外切正 n 边形．教师重申：定理(2) 中少“相邻”两字行不可以？少“相邻”两字会出现什么现象？同学们相互间议论研究看看．总结、扩展、反省本堂课我们学习的知识：1．学习了正多边形的定义．2． n 平分圆周 (n ≥ 3) 可得圆的内接正n 边形和圆的外切正n 边形．讲堂作业：教材P.143 ．练习 2、 3部署作业：P.157 中 2、 3．板书设计教后札记：学生对正多边形的观点能够理解，会用平分圆周法作图，可是，因为对多边形接触较少，应用有难度，解题不周祥，要指导学生对正多边形的观点作图和定理的反省学习。
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆形》圆课件
探究四：正多边形和圆的应用
练习：正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是
。
解：因为外角是20°，360÷20=18，则这个多边形是18边形。
【思路点拨】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和 求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握。
探究四：正多边形和圆的应用
活动2 提升型例题
解：如图，三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为，1 a
2
3a 2
∴S空白=1 a 3 a 3 a2
22 4
∵AB=a，
∴OC=，3 a
2
∴S正六边形6= 1 a 3 a 3 3 a2
22
2
∴S阴影=S正六边形﹣S空3白3=a2 3 a2 5 3 a2
2
4
4
S阴影
53 4
a2
5
S空白
3a
探究四：正多边形和圆的应用
例4.如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B
的坐标分别为（1，1），（-1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针
旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分
所形成的正八边形的边长为
。
【思路点拨】如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′ 的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′ 的长度，即可解决问题。
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动1 回顾旧知
观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形。
（1）正六边形；（2）正八边形；（3）等边三角形；（4）正五边形。
探究一：从旧知识过渡到新知识
活动2 整合旧知
正多边形与圆有什么关系呢？
2023-2024学年九年级上数学：正多边形和圆(精讲教师版)
2023-2024学年九年级上数学：第24章圆
24.3
正多边形和圆
正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
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九年级数学正多边形和圆
A
求证： 正五边形的对角线相等
B D
E
C
类比联想
怎样找圆的内接正三角 形？怎样找圆的外切正 三角形？ •怎样找圆的内接正方 形？怎样找圆的外切正 方形？
A
D
B
H
A D
C
E B F CG来自•怎样找圆的内接正n边 形？怎样找圆的外切正 n边形？
把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这 个圆的内接正多边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形。
有没有外接圆和内切圆？ 怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个 内切圆，并且这两个圆是同心圆。
正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫 做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正 多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边 形的边心距。正多边形各边所对的外接圆 的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边 形的每个中心角都等于360°/n。
P B
A
T E O S
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
Q
C R D
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
⌒ ⌒ 又∵AB=BC
∴AB=BC
∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA 又∵五边形PQRST的各边都与 ⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五 边形。
1、判断题。
×） ②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ） P A F
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ 2、证明题。
24.3 多边形和圆 第1课时 初中数学人教版九年级上册教学课件
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于 它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
例
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是正六边形，所 以它的中心角等于 360 60
6 △OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它半径.
因此，亭子地基的周长 l 6 4 24(m)
边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径
2.∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72°.
例
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDE是 正六边形，所以它的中心角等于 360 60
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆 心的外接圆.
问题3
任何正多边形都有一个外接圆和内切圆
以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
A
E
B
O
G
H
DF
C
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线， BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心 的内切圆.
（3）OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC的 内切圆的半径
（4）∠BOC是正△ABC 中心 角，∠BOC＝120 度； ∠BOD＝ 60 度
及时练
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD
的 内心 .
2.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫
做正方形ABCD的 边心距 .
及时练
1. O是正五边形ABCDE的外接圆，弦心距OF叫正五
《正多边形和圆》PPT课件 人教版九年级数学
课堂检测
基础巩固题
1. 填表
正多边形边 数
半径
边长
边心距
周长
面积
3
2 23
1
23
33
4
22
1
8
4
6
22
3 12 6 3
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个
多边形的边数是 3 .
课堂检测
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似
看作为正七边形，则一个内角为
128 4 7
度.（不
取近似值）
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;
∴六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形,如图所示.
巩固练习
画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正 五边形的各条对角线，画出一个五角星.
链接中考
尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下 列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六 个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两 弧的一个交点；③连结OG． 问：OG的长是多少？ 大臣给出的正确答案应是（ D ）
探究新知
知识点 2 正多边形的有关概念
问题1 以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出
什么结论？
EF是边AB、CD的垂直平分线，
A
E
∴OA=OB,OD=OC.
B
GH是边AD、BC的垂直平分线，
O
∴OA=OD,OB=OC.
G
H ∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心
DF
C
的外接圆.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.∴CG=
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