九年级数学正多边形和圆
九年级数学同步辅导与测试——正多边形和圆
九年级数学同步辅导与测试——正多边形和圆重点、难点：1. 正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。
2. 正多边形与圆的关系（1）把圆分成n （n ≥3）等份，有如下结论：其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。
其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形，这圆是正n 边形的内切圆。
（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
3. 有关的概念（1）正多边形的中心 （2）正多边形的半径 （3）正多边形的边心距 （4）正多边形的中心角4. 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
这里我们设：正n 边形的中心角为α，半径为R ，边心距为r ，边长为a n ，周长为P n ，面积为S n ，则有（）；（）；（）；（）；（）；（）；136022*********4561212222α=︒=⋅︒=⋅︒=⋅=⋅=⋅⋅=⋅na R nr R nR r a P n a S n r a r P n n n n n n n sin cos（）正多边形的每一个内角，内角和721802180=-⋅︒=-⋅︒()().n n n5. 每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。
6. 重点和难点：（1）重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。
（2）难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。
〖知识总结〗正多边形的定义要理解后记牢，这里各边都相等，各角都相等，缺一不可，边数一样多的正多边形是相似多边形。
对于任意三角形来讲都有外接圆和内切圆，但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。
有关正多边形的计算实质是把问题转化为解直角三角形的计算，所以这里要用到三角函数及勾股定理等有关知识。
初三数学正多边形和圆公式
初三数学正多边形和圆公式
正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。
一、正多边形的公式
1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°
其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。
2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n
3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°
其中，Σexterior angles表示外角之和。
4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n
5、正多边形的周长公式：P= a × n
二、圆的公式
1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。
2、圆的周长公式：C=2πr
3、圆的面积公式：S=πr^2
4、弦长公式：L=2πr × 角度
5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)
以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。
人教版数学九年级上册24.3.2《正多边形和圆》教案
人教版数学九年级上册24.3.2《正多边形和圆》教案一. 教材分析《正多边形和圆》是人民教育出版社出版的数学九年级上册第24章第三节的内容。
本节内容主要介绍了正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过学习正多边形和圆，学生能够理解圆的定义，掌握圆的性质，并能够运用圆的知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了多边形的基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力。
但是对于正多边形和圆的关系的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要通过实例和图形的演示，帮助学生建立直观的认识，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：–能够理解正多边形的定义和性质。
–能够理解圆的定义和性质。
–能够运用正多边形和圆的知识解决实际问题。
2.过程与方法：–通过观察和操作，培养学生的观察能力和动手能力。
–通过小组合作，培养学生的合作能力和沟通能力。
3.情感态度与价值观：–培养学生对数学的兴趣和好奇心。
–培养学生的自主学习能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点•正多边形的定义和性质。
•圆的定义和性质。
•正多边形和圆的关系的理解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
2.通过实例和图形的演示，帮助学生建立直观的认识。
3.采用小组合作的学习方式，培养学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的图形和图片，用于演示和解释正多边形和圆的性质。
2.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用图片和实例，引导学生回顾多边形的基本概念和性质。
–提出问题，引导学生思考正多边形和圆的关系。
2.呈现（15分钟）–通过图形和实例，展示正多边形的定义和性质。
–解释正多边形和圆的关系，引导学生理解圆的定义和性质。
3.操练（15分钟）–学生分组合作，进行实际操作，探究正多边形和圆的性质。
–教师引导学生进行讨论和交流，解答学生的疑问。
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
九年级数学正多边形和圆
A
求证： 正五边形的对角线相等
B D
E
C
类比联想
怎样找圆的内接正三角 形？怎样找圆的外切正 三角形？ •怎样找圆的内接正方 形？怎样找圆的外切正 方形？
A
D
B
H
A D
C
E B F CG来自•怎样找圆的内接正n边 形？怎样找圆的外切正 n边形？
把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这 个圆的内接正多边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形。
有没有外接圆和内切圆？ 怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个 内切圆，并且这两个圆是同心圆。
正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫 做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正 多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边 形的边心距。正多边形各边所对的外接圆 的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边 形的每个中心角都等于360°/n。
P B
A
T E O S
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
Q
C R D
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
⌒ ⌒ 又∵AB=BC
∴AB=BC
∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA 又∵五边形PQRST的各边都与 ⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五 边形。
1、判断题。
×） ②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ） P A F
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ 2、证明题。
九年级数学上册教学课件《正多边形和圆》
B
4.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？
解：如图，∠ABC=120°. AB＝BC＝a, AC＝b.过B作BD⊥AC于点D,则AD=DC= b.在Rt△ABD中，∠BAC=30°,∴BD= AB=3mm.∴b=2AD=6 mm.即扳手张开的开口b至少要6 mm.
例
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120°
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
A
O
C
B
有关正多边形的作图
知识点3
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
3. 分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边 心距和面积.
【教材P106练习 第3题】
解:半径为R的圆内接正三角形的边长为 R，边心距为 R，面积为 R2.
半径为R的圆内接正方形的边长为 R，边心距为 R，面积为2R2.
即x2+8x-16=0.
6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM.(1)求证：△BCF≌△CDM；(2)求∠BPM的度数.
综合应用
(1)证明：在正五边形ABCDE中， BC=CD,∠BCF=∠CDM， 又CF＝DM, ∴△BCF≌△CDM.(2)解：由(1)知∠FBC=∠MCD， ∴∠BPM=∠FBC+∠BCM =∠MCD+∠BCM =∠BCF= ×180°=108°.
5.如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.
九年级数学人教版(上册)24.3正多边形和圆
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
1. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长 边心距 周长
2 23
22 22
1 23
1
8
3
12
面积
33
4Hale Waihona Puke 632. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这 个多边形的边数是 3 .
侵权必究
当堂练习
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 看作为正七边形，则一个内角为 128 4 ___度.
(1)求图①中∠MON=___1_2_0_°_;图②中∠MON= 90 °;
图③中∠MON= 72 °;
MON 360
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
n
E
A
A
D
M .O
O M
A
D
O
M
B
NC B
图① 侵权必究
NC
图②
N
B
C
图③
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
正多边形 的对称性
侵权必究
新课导入
观察下列图形他们有什么特点？
侵权必究
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
侵权必究
讲授新课
知识点 1 正多边形的概念
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 （60度）.
正方形
四条边相等， 四个角相等 （900）.
侵权必究
讲授新课
定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边 形叫做正n边形.
九年级数学： 24.3 正多边形和圆教案
24.3正多边形和圆教案一、【教材分析】1.通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；2.通过正多边形有关概念的教学培养学生的阅读理解能力．二、【教学流程】边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．自主探究问题一、如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．问题二、我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．问题三总结和归纳问题1.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径．3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．教师提出问题学生相互讨论思考1.如何画这个图形的外接圆？2.圆与正多边形顶点以及位置关系是怎么样的？3.如何利用圆画正多形：作相等的弧外接圆与内接圆的区别和联系？在教师和和学生的探讨中解决问题：在动手操作与实践中认识问题对问题的一种升华认识对问题的梳理认识尝试应用1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．2.利用正多边形的概念和性质来画正多边形，利用手中的工具画一个边长为3cm的正五边形（1）画法（2）步骤3. 巩固训练教材P106 练习1、2、3 P108 探究题、练习．教师提出问题学生独立思考解答并板书师生探讨分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径可选做，学生独立完成一种成果的展示探讨正多边形的画法补偿提高1．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的边AB上的高h．（2）设DN=x，且h DN NFh AB-=，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．让学生课堂讨论分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题对不同能力学生的升华认识_h_F_D_E_C_B_A_N_GFDECBAOM解：（1）由AB ·CG =AC ·BC 得h=8610AC BC AB ⨯=g =4.8（2）当x =2.4时，S DEFN 最大（3）当S DEFN 最大时，x =2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF =2.4，BF =3． ∴BE =22223 2.4DE EF -=-=1.8 ∵BM =1.85，∴BM >EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x =2.4时，DE =5∴AD =3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:小结:三、【板书设计】24.3 正多边形和圆1.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2. 外接圆的半径叫做正多边形的半径．3. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．四、【教后反思】《正多边形与圆》这一节的教学目标是：让学生能将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决；会用量角器或尺规等分圆、画出正多边形.通过学习使学生能认识到事物之间是普遍联系的，事物之间是可以相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识能力和解决实际问题的能力，渗透数形结合的思想和方法.。
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2、怎样判定一个多边形是正多边形？
根据正多边形与圆关系的 第一个定理
达标检测：
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。
（× ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。 B E A F
C
D
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A
1
⌒
⌒
⌒
B
2 3 4
5
E
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， C ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
D
中心角 360 n
E 中心角
D
180 AOG BOG n
探究
按照一定比例,画一个停车 让行的交通标志的外缘
停
练习： （1）用量角器作五角星； （2）P116.
A
如图：
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外 切正五边形
B O C D
E
小结： 1、怎样的多边形是正多边形？ 各边相等，各角 也相等的多边形 叫做正多边形。
你能举例说明吗？
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
中心 角， 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 它的度数是 72度 D
E C
.O A F B
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
B
C
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十 二边形吗？
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形. 先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边 形………
F
E O ·
A
D
B
C
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
外接 △ABC的中心，它是△ABC的 1、O是正 圆与 内切 圆的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 半径
它是正△ABC的 外接 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC 的 的 内切 圆的半径。
，
.O D
C
B
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 中心 正方形ABCD的 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
正多边形和圆
E
A
D
B
C
三条边相等，三个角也相等 （60度）。
四条边都相等，四个角也相 等（90度）。
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n条边，
那么这个正多边形叫做正n边形。
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
（2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接 正三角形.
A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA =120°． ②用量角器或30°角的 三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
A O ·
90°
D
B O
A
F E
E O ·
60°
·
72°
A
D
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
O ·
只要作出已知⊙O的互相垂 直的直径即得圆内接正方 形，再过圆心作各边的垂 线与⊙O相交，或作各中心 角的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形，照此 方法依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十四 边形……
解:
由于ABCDEF是正六边形，所以 它的中心角等于 360 60 ， 6 OBC是等边三角形，从而正
F
E
A
B
2
. .O
r R P
D
C
六边形的边长等于它的半径.
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在RtOPC中，OC 4，PC
BC 4 2 2 2
根据勾股定理，可得边心距r 亭子的面积S
4
2
2 2 3
1 1 2 Lr 24 2 3 41 .6(m ) 2 2
（n 2） 180 n 正n边形的一个内角的度数是____________;
360 n 中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系 相等 是________.
抢答题：
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
E
中心角
D
F
. 半径R O.
边心距r
C
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
F
R
.O .
a
C
G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
A
a R （ ） ， 2
2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
Eห้องสมุดไป่ตู้
D
F
.O
C
A
B
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆
(1)正四、正八边形的尺规作图