初三数学《正多边形和圆》课时练习(附答案)
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。
2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。
在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。
九上 圆 5.7 正多边形与圆含答案
5.7 正多边形与圆1．正八边形的每个内角为_______．2．半径为4的圆的内接正四边形的面积为_______．3．已知正六边形的六个顶点确定的圆是正六边形的外接圆，与正六边形各边都相切的圆是正六边形的内切圆，若正六边形的边长为2，则此正六边形的外接圆半径为_______，内切圆半径为_______．4．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点．例如，它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形，请你再写出它们的两个相同点和不同点．相同点：(1)____________________________；(2)____________________________．不同点：(1)____________________________；(2)____________________________．5．(1)用量角器画一个正九边形（写出作法）；(2)你能不能不借助圆画出一个正九边形？如果能，请画出一个边长为2 cm的正九边形；如果不能请说明理由．6．如图所示是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图①）和梅花图案（图②）（图中的折扇无重叠）．请根据图形信息，求梅花图案中的五角星的五个锐角的度数．7．某学习小组在探索“各个内角都相等的圆的内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆的内接矩形；乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图①，△ABC是正三角形，AD＝BE＝CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形．丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形……(1)请你说明：乙同学构造的六边形各角相等；(2)请你说明：各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图②)是正七边形（不必写已知、求证）；(3)根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．8．如图，M、N分别是⊙O的内接正△ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……正n 边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是_______，图③中∠MON的度数是_______．(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．9．探究：某班在探讨正多边形问题时，得到以下命题：(i)如图①，正△ABN中，点P、Q分别从点B、A出发，在边BN、NA的延长线上运动，若BP＝AQ，则M是PQ的中点．(ii)如图③，正五边形ABCDN中，点P、Q分别从点B、A出发，在边BC、NA的延长线运动，若BP＝AQ，则M是PQ的中点．归纳：对于正多边形ABC…N，点P、Q分别从点B、A出发，在边BC、NA的延长线上运动，若BP＝AQ，则M为PQ的中点．(1)请你从两个命题中任选一个进行证明；(2)请在图②中根据上面归纳画出图形，并比较AM和BM的大小：AM_______BM；(3)如图④，在正六边形ABCDEF中，点P在边AF上，PB交DC的延长线于点Q，求证：BP＝BQ．参考答案1．135°2．32 3．24．（答案不唯一）相同点：(1)每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；(2)都是轴对称图形（或都有外接圆）；不同点：(1)正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；(2)正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条．5．(1)画图略，作法如下：先画一个圆，然后借助量角器将这个圆九等分（即每份所对圆心角为40°），依次连接各等分点所得的多边形就是正九边形．(2)不借助圆能画出正九边形．6．48°7．略8．(1)120°(2)90°72°(3)360 n9．(1)略(2)＝(3)略。
24.3正多边形与圆同步课后练习++2024—2025学年人教版九年级数学上册
人教版九年级数学上册24.3正多边形与圆同步课后练习一、选择题⌢上一点，连接AC、BC．若∠AOB=128°，1、如图，OA、OB是⊙O的半径，C是AB则∠ACB的大小为（）A．126°B．116°C．108°D．106°2、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE⏜上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD 的度数为（）A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°3、已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（）A．4 B．23C．2 D．434、已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（）A．2√2B．2 C．√2D．45、如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，这两个圆的半径分别为OB，OC．则::OA OB OC的值是（）A．3:2:1B．9:4:1C32D．626、有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是( )A.9B.10C.11D.127、如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a等于( )A.√3 cmB.2√3 cmC.2 cmD.√2 cm8、如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,S△AFO =8,S△CDO=2,S正六边形ABCDEF的值是( )A.20B.30C.40D.随点O位置而变化9、如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG⏜的中点.若FM=2√2，则⊙O的半径为( )A. 2B. √6C. 2√2D. 2√6二、填空题10、已知正六边形的边长为6cm，那么它的边心距等于__________cm．11、线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是°．12、一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n 的值为______13、如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD 相交于点E,则线段 BE 的长为.14、如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．15、如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为√3m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 m ．三、解答题16、如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4,OC OG BC =⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．17、如图，已知正三角形ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的内接正十二边形的一条边长，连接CD ，若CD =6√2cm ，求⊙O 的半径．18、如图，正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧CD 上(不与点C 重合)．(1)求∠BPC的度数;(2)若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．。
人教版九年级数学上《正多边形和圆》练习题含答案 (2).docx
24.3正多边形和圆知识点1正多边形与圆的关系1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()A ．矩形B．菱形C．正方形 D ．不能确定2．如图 24－ 3－ 1 所示，已知△ ABC 是⊙ O 的内接等腰三角形，顶角∠ BAC＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ ABC ，∠ACB.求证：五边形 AEBCD 是正五边形．图24－ 3－ 1知识点2与正多边形有关的计算3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()A ． 4 B． 5 C． 6D． 74．若正方形的边长为 6，则其内切圆半径的大小为 ()A ． 3 2B ．3 C． 6D． 625． 2016 ·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于 ()A ． 4 B． 2 C． 2 3D． 436．如图 24－ 3－ 2 所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙ O，则∠ ADB 的度数是 ()图24－ 3－ 2A ． 60°B． 45°C．30°D． 22.5°7．正八边形的中心角等于________度．8．将一个边长为 1 的正八边形补成如图24－ 3－3 所示的正方形，这个正方形的边长等于________． (结果保留根号 )图24－ 3－ 39．2017 ·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－ 3－ 4 所示拼接在一起，则∠ ABC ＝________° .图24－ 3－ 410．如图 24－ 3－ 5，已知正五边形ABCDE ， M 是 CD 的中点，连接 AC， BE， AM .求证： (1)AC＝ BE；(2)AM ⊥ CD.图24－ 3－ 5知识点3与正多边形有关的作图11．已知⊙ O 和⊙ O 上的一点 A，作⊙ O 的内接正方形和内接正六边形 (点 A 为正方形和正六边形的顶点 )．12．如图 24－ 3－ 6 所示，⊙ O 的内接多边形的周长为3，⊙ O 的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()图24－ 3－ 6A. 6B. 8C. 10D. 1713．若 AB 是⊙ O 内接正五边形的一边，AC是⊙ O内接正六边形的一边，则∠ BAC等于()A ． 120°B． 6°C．114°D． 114°或 6°14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A. 2 B ． 2 2－ 2C．2－ 2 D. 2－115． 2017 ·达州以半径为2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()2 3A. 2B. 2C. 2D. 316．2017 ·云南如图 24－ 3－ 7，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于⊙ O，切点分别为 E，F ，G， H.则图中阴影部分的面积为 ________．24－ 3－ 717．如 24－ 3－ 8，正六形ABCDEF 内接于⊙ O，若⊙ O 的内接正三角形 ACE 的面 48 3，求正六形的周．24－ 3－ 818．如 24－ 3－9①②③④， M， N 分是⊙ O 的内接正三角形ABC，正方形 ABCD ，正五形 ABCDE ，⋯，正 n 形 ABCDEFG ⋯的 AB，BC 上的点，且 BM＝ CN，接 OM ， ON.图 24－ 3－ 9(1)求图①中∠ MON 的度数；(2)图②中，∠MON 的度数是 ________，图③中∠ MON 的度数是 ________；(3)试探究∠ MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系 (直接写出答案)．教师详解详析1．C [解析 ] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C.2．证明：∵△ ABC 是等腰三角形，且∠ BAC＝36° ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝ 72° .又∵ BD 平分∠ ABC ， CE 平分∠ ACB ，∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝∠ BCE ＝∠ ACE ＝ 36°，即∠ BAC ＝∠ ABD ＝∠ CBD ＝∠ BCE ＝∠ ACE ，︵︵︵︵︵∴BC＝ AD ＝ CD ＝ BE＝ AE ，∴A ， E， B， C， D 是⊙ O 的五等分点，∴五边形 AEBCD 是正五边形．3． B [ 解析 ] 设这个正多边形为正n 边形，由题意可知72n＝ 360，解得 n＝5.故选 B.4． B5． A [ 解析 ] 正六边形的中心角为360°÷ 6＝ 60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于 4.6． C[ 解析 ] 连接 OB ，则∠ AOB ＝ 60°，∴∠ ADB ＝12∠ AOB ＝30° .7． 458． 1＋2[解析 ] 如图，∵△ BDE 是等腰直角三角形，BE＝1，∴BD ＝22，∴正方形的边长等于AB ＋2BD ＝ 1＋ 2.9．24 [ 解析 ] 正六边形的一个内角＝1× (6－ 2)× 180°＝ 120°，正五边形的一个内角6＝1×(5 － 2)× 180°＝ 108°，∴∠ BAC ＝ 360°－ (120 °＋ 108° )＝132° .∵两个正多边形 5的边长相等，即 AB ＝AC ，∴∠ ABC ＝12× (180°－ 132°)＝24° .10．证明：(1)由五边形ABCDE 是正五边形，得 AB ＝AE ，∠ ABC ＝∠ BAE ，AB ＝ BC ，∴△ ABC ≌△ EAB ，∴AC ＝ BE.(2)连接 AD ，由五边形ABCDE 是正五边形，得 AB ＝AE ，∠ ABC ＝∠ AED ，BC ＝ ED ，∴△ ABC ≌△ AED ，∴AC ＝AD.又∵ M 是 CD 的中点，∴AM ⊥ CD.11．解：如图所示．作法：①作直径AC ；②作直径 BD ⊥ AC ，依次连接 AB ， BC， CD， DA ，则四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形；③分别以点 A， C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙ O 于点 E，H 和 F，G，顺次连接 AE ，EF，FC ，CG， GH， HA ，则六边形 AEFCGH 为⊙ O 的内接正六边形．12． C [解析 ] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于 3 而小于 3.4，选项中只有C满足要求．13． D [解析 ] 分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵ AB 是⊙ O 内接正五边形的一边，∴∠ AOB ＝360°＝ 72° .∵ AC 是5⊙O 内接正六边形的一边，∴∠ AOC ＝360°＝60°，∴∠ BOC＝ 72°－60°＝ 12°，∴∠61BAC ＝2∠BOC ＝ 6°.(2)如图②所示，∠ AOB ＝ 72°，∠AOC ＝ 60°，∴∠ OAB ＝ 54°，∠ OAC ＝ 60°，∴∠BAC ＝ 60°＋ 54°＝ 114° .综上所述，可知选 D.14．B [解析 ] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为 2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得CD＝ CE＝ r， AD ＝ BE ＝ AO＝BO ＝ 2 2－ r，∴ AB ＝ AO ＋ BO ＝4 2－ 2r＝ 4，解得 r＝ 2 2－ 2.故选 B.15． A[解析 ] 如图① ，∵ OC＝2，∴ OD＝ 1；如图② ，∵ OB ＝2，∴ OE＝2；如图③ ，∵ OA ＝2，∴ OD ＝3，则该三角形的三边长分别为1，2， 3.∵ 12＋ ( 2)2＝ (3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是1× 1× 2＝2 2 2.故选 A.16．2π＋ 4[ 解析 ] 如图，连接 HO，并延长交 BC 于点 P，连接 EO，并延长交 CD 于点 M.∵正方形 ABCD 外切于⊙ O，∴∠ A ＝∠ B＝∠ AHP ＝ 90°，∴四边形 AHPB 为矩形，∴∠ OPB＝ 90° .又∵∠ OFB ＝ 90°，∴点 P 与点 F 重合，∴ HF 为⊙ O 的直径，同理： EG 为⊙ O 的直径．由∠ D＝∠ OGD ＝∠ OHD ＝ 90°且 OH ＝ OG 知，四边形 DGOH 为正方形．同理：四边形OGCF 、四边形OFBE 、四边形OEAH 均为正方形，∴DH ＝ DG＝ GC＝ CF＝2，∠ HGO ＝∠ FGO＝ 45°，∴∠ HGF＝ 90°， GH＝ GF＝ GC2＋ CF2＝ 22，1则阴影部分面积＝2S⊙O＋S△HGF121× 2 2× 2 2＝·π · 2＋22＝2π＋ 4.故答案为 2π＋4.17．解：如图，连接 OA ，作 OH ⊥AC 于点 H，则∠ OAH ＝ 30° .在 Rt△ OAH中，设OA ＝ R，则 OH ＝1AH ＝22＝R ，由勾股定理可得OA － OH2R2－（1R）2＝13R.22而△ ACE 的面积是△ OAH 面积的 6 倍，即 6×1×1 2 2即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48. 18．解： (1) 方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC 内接于⊙ O，∴∠ OBM ＝∠ OCN ＝ 30°，∠ BOC＝ 120° .又∵ BM ＝ CN， OB＝ OC，∴△ OBM ≌△ OCN ，∴∠ BOM ＝∠ CON ，∴∠ MON ＝∠ BOC＝ 120°.方法二：如图②，连接OA，OB.13R×2R＝ 483，解得 R＝8，图②∵正三角形ABC 内接于⊙ O，∴AB ＝BC ，∠ OAM ＝∠ OBN ＝30°，∠AOB ＝120° .∵BM ＝ CN，∴ AM ＝ BN.又∵ OA ＝ OB，∴△ AOM ≌△ BON ，∴∠ AOM ＝∠ BON ，∴∠ MON ＝∠ AOB ＝ 120°.(2)90° 72° (3)∠ MON ＝360°. n。
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：________________一、填空题1．已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_______，面积为_______．2．正十二边形的中心角是_____度．二、解答题3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图①，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A'、D的位置时，你能求出①A'、①D、①1与①2之间的数量关系吗？并说明理由．4．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2，正五边形ABCDE 内接于①O ，AB ＝2，求对角线BD 的长．5．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．6．如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ．（1）求证：AC ①ED ；（2）求证：ME ＝AE ．7．如图1，正五边形ABCDE 内接于①O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；①以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与①O 交于点M ，N ；①连接,,AM MN NA ．(1)求ABC∠的度数．(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在①O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．8．如图，ABC是等边三角形，点D、E、G分别在边AB、AC、BC上，且AD CE BG==，BE、CD、AG分别相交于点F、P、Q．求证：①PQF是等边三角形．9．如图，在圆内接正三角形ABC中,若①DOE保持120°角度不变，求证：当①DOE绕着O点旋转时，由两条半径和①ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是①ABC的面积的13．10．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．三、单选题11．如图，已知①O 的半径为1，AB 是直径，分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧．两弧相交于C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．52π-B ．56πC ．53πD ．83π-12．对于等边三角形的性质，下列说法不正确的是（ ）A ．等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等；B ．等边三角形的边都等于60，角都等于60°；C ．等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点；D ．等边三角形具有等腰三角形的所有性质；132，则这个多边形的内角和为（ ）A ．720︒B ．360︒C ．240︒D ．180︒14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A．6B．8C．10D．1215．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分①CHEC．整个图形不是中心对称图形D．CEH△是等边三角形参考答案及解析：1．1)a22)a【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可；利用正八边形的面积等于正方形的面积减去剪掉的四个等腰直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，∴正方形边长为a，如图所示，设正八边形的边长为x，在Rt AEL 中，LE x =,AE AL x ==，2x x a ∴+=，解得：1)x a =，即正八边形的边长为1)a ．2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=正方形正八边形．故答案是：1)a ，22)a ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程．2．30 【分析】根据正多边形的中心角公式：360n计算即可 【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式3．（1）2①A ＝①1+①2；见解析；（2）2①A ＝①1﹣①2；见解析；（3）2（①A +①D ）＝①1+①2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，①3=EDA '∠=12（180-①1），①4=DEA '∠=12（180-①2），①①A +①3+①4=180°，①①A +12（180-①1）+12（180-①2）=180°，整理得，2①A =①1+①2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180+①2），①①A+①3+①4=180°，①①A+12（180-①1）+12（180+①2）=180°，整理得，2①A=①1-①2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180-①2），①①A+①D+①3+①4=360°，①①A+①D+12（180-①1）+12（180-①2）=360°，整理得，2（①A+①D）=①1+①2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．4．（1）AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅；（2）1【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接,AD AC ，根据圆周角与弦的关系可得AD AC BD ==，设BD x =，在四边形ABCD 中，根据托勒密定理有，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，建立方程即可求得BD 的长【详解】（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接,AD AC ，五边形ABCDE 是正五边形，则E ABC BCD ∠=∠=∠,2AB BC CD ===AD AC BD ∴==设BD x =，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅即2222x x =⨯+解得1211x x ==1BD ∴=+【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．5．(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)3+【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，；（2）易求D（6，0），E（8，，待定系数法求出DE的解析式为y﹣次函数即可求点Q．（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，①P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，①BP＝4，G是CD的中点，①sin604PG BO BC==⋅︒==①P（4，，①P在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，①k＝①反比例函数解析式为y由正六边形的性质可知，A（2，，①点A在反比例函数图象上；（2）解：由（1）得D （6，0），E （8，，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，①608m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①y﹣由方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x＝3，①Q点横坐标为3+．．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒，由①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，得到①EAC ＝1144722⨯︒=︒，同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，则 ①EAC +①AED ＝180°，即可证明ED∥AC ；（2）由①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，得到①AEB =36°，则①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，可推出①EAM ＝①EMA ＝72°，即可证明 EA ＝EM ．【详解】解：①正多边形必有外接圆，①作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒， ① ①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，① ①EAC ＝1144722⨯︒=︒， 同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，① ①EAC +①AED ＝180°，① ED∥AC ；（2）①①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，①①AEB =36°，①①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，① ①EAM ＝①EMA ＝72°，① EA ＝EM ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．7．(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．（1）解：①正五边形ABCDE ．①BC CD DE AE AB ====， ①360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ①3AEC AE =，①AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ①1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； （2）解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,①ON OF =，①ON OF FN ==，①OFN △是正三角形，①60OFN ∠=︒，①60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，①60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，①AMN 是正三角形；（3）①AMN 是正三角形，①2120A N A N M O =∠=︒∠．①2AD AE =，①272144AOD ∠=⨯︒=︒，①DN AD AN =-，①14412024NOD∠=︒-︒=︒，①3601524n==．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．8．见解析【分析】先根据“SAS”证明△ACD①△CBE，得到①ACD=①CBE，结合三角形外角的性质可证①BFD=①60°，进而可证△PQF是等边三角形．【详解】证明：①△ABC是等边三角形，①①A=①BCE=60°，AC=CB，又①AD=CE，①△ACD①△CBE（SAS）；①①ACD=①CBE，①①ACB=①ACD+①BCF=60°，①①BFD=①CBE+①BCF=①ACD+①BCF =60°，同理可得，①APE=60°，①△PQF是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．9．见解析【分析】连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得：①OAB①①OBC①①OCA．则①1＝①2，再证明①OAG①①OCF，即可求解．【详解】如图：连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得①OAB①①OBC①①OCA．①①1＝①2．设OD 交BC 于F ，OE 交AC 于G ，则①AOC ＝①3+①4＝120°，①DOE ＝①5+①4＝120°，① ①3＝①5．∴在①OAG 和①OCF 中2135OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，① ①OAG ①①OCF ．① ΔAOC ΔABC 13OFCG S S S ==四边形． 【点睛】本题考查了正多形和圆的性质，全等三角形的判定和性质，将阴影部分的面积转化为固定的三角形面积是解题关键．10．(1)2(3)-【分析】（1）根据题意可得GE DC ∥，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AG AD AE AC ==根据旋转的性质可得DAG CAE ∠=∠，进而证明GAD EAC ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明①ADG ①①ACE ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1） 解：正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ，点G 在AD 上，F 在AB 上，GE DC ∴∥AG AE DG EC ∴= EC AE DG AG∴= 四边形AFEG 是正方形 ∴AE =∴2DG AGE === （2）解：如图，连接AE ，正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，DAG CAE ∴∠=∠AG AD AE AC ==GAD EAC ∴∽∴AC CE DG AD= （3） 解：①如图，AB =AG AD =，AD AB ∴==8AG ==,16AC ==， ,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC ==8CE GC GE ∴=-=，由（2）可知GAD EAC ∽，∴CE AC DG DA==()816DA CE DG AC ⋅∴==4==． ①如图：由（2）知△ADG ①①ACE ，①DG AD CE AC ==，①DG ， ①四边形ABCD 是正方形，①AD =BC ，AC 16，①AG ，①AG =8， ①四边形AFEG 是正方形，①①AGE =90°，GE =AG =8，①C ，G ，E 三点共线．①①AGC =90°①CG①CE =CG +EG，①DG =综上，当C ，G ，E 三点共线时，DG 的长度为-【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接AC 、BC ，如图，先判断△ACB 为等边三角形，则①BAC ＝60°，由于S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，所以图中阴影部分的面积＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O ，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【详解】解：连接BC ，如图，由作法可知AC ＝BC ＝AB ＝2，①①ACB 为等边三角形，①①BAC ＝60°，①S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，①S 阴＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O＝4（S 扇形BAC ﹣S △ABC ）+2S △ABC ﹣S ⊙O＝4S 扇形BAC ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O＝42602360π⨯⨯-222﹣π×12 53=π﹣ 故选：A ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．12．B【分析】根据等边三角形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ． 等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等，故该选项正确，不符合题意；B ． 等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，不一定等于60，故该选项不正确，符合题意；C ． 等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点，故该选项正确，不符合题意；D ． 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．A【分析】设AB 是正多边形的一边，OC①AB ，在直角①AOC 中，利用三角函数求得①AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：①2，①2，设AB 是正多边形的一边，OC①AB ， 2OC OA OB k ===，，在直角①AOC 中，OC cos AOC AO ∠== ①①AOC=30°，①①AOB=60°， 则正多边形边数是：360660︒︒=， ①多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．14．D【分析】连接,,AC OD OF ，先根据圆内接正多边形的性质可得点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，从而可得1145,3022CAD BAD CAF EAF ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据角的和差可得15DAF ∠=︒，然后根据圆周角定理可得230DOF DAF ∠=∠=︒，最后根据正多边形的性质即可得．【详解】解：如图，连接,,AC OD OF ，四边形ABCD 为O 的内接正四边形，AEF 为O 的内接正三角形，∴点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，90,60BAD EAF ∠=︒∠=︒，1145,3022CAD BAD CAF EAF ∴∠=∠=︒∠=∠=︒， 15DAF CAD CAF ∴∠=∠-∠=︒，230DOF DAF ∴∠=∠=︒， DF 恰好是圆O 的一个内接正n 边形的一边，3603601230n DOF ︒︒∴===∠︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．15．D【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．【详解】解：A ．① 根据正八边形的性质， 四边形ABCH 与四边形EFGH 能够完全重合，即四边形ABCH 与四边形EFGH 全等①四边形ABCH 与四边形EFGH 的周长相等，故选项正确，不符合题意；B ．连接DH ，如图1，① 正八边形是轴对称图形，直线HD 是对称轴，① HD 平分①CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．①八边形ABCDEFGH是正八边形，① B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，①DOE＝360=45 8︒︒①OE＝OH①①OEH＝①OHE＝12①DOE＝22.5°①①CHE＝2①OHE＝45°①①HCE＝①HEC＝12（180°－①CHE）＝67.5°①CEH△不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．。
2.6正多边形与圆课时作业-2021-2022学年苏科版数学九年级上册(含答案)
2.6正多边形与圆知识点1正多边形的相关概念1.[2020·株洲]一个蜘蛛网如所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心点为O,点M,N 分别在射线OA,OC上,则∠MON=°.2.[教材练习第2题变式]如所示,正六边形ABCDEF内接于半径为5的☉O,则DF=.知识点2画正多边形3.画正六边形.⏜上,且BC是☉O的内接正十边4.[2019·扬州]如,AC是☉O的内接正六边形的一边,点B在AC形的一边.若AB是☉O的内接正n边形的一边,则n=.5.[2020·通辽]如,中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm,点P,Q同时分别从点A,D出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t s.(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;(2)当四边形PBQE是矩形时,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.教师详解详析1.80[解析] 根据正多边形的性质,得中心角为∠AOB=360°÷9=40°,∴∠MON=2∠AOB=80°.2.5√3[解析] ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠AOF=360°÷6=60°.又∵OA=OF,∴△AOF 为等边三角形.∴AF=AO=OD=5,∠OF A=60°.∵OD=OF,∴∠ADF=∠OFD=30°.∴∠AFD=90°.在Rt△AFD中,DF=√AD2-AF2=5√3.3.[解析] 画正六边形的途径有两种,一种是用量角器将圆六等分;另一种是用圆规和直尺将圆六等分.解: (方法一)用量角器将圆六等分(略).(方法二)用直尺和圆规将圆六等分.作法:1.在☉O中任意作一条直径AD;2.分别以点A,D为圆心,☉O的半径为半径画弧,与☉O相交于点B,F和点C,E;3.依次连接AB,BC,CD,DE,EF,F A,六边形ABCDEF就是所求作的正六边形.4.15[解析] 连接BO.∵AC是☉O的内接正六边形的一边,∴∠AOC=360°÷6=60°.∵BC是☉O的内接正十边形的一边,∴∠BOC=360°÷10=36°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-36°=24°,∴n=360°÷24°=15.5.解:(1)证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=BC=CD=DE=EF=F A,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.∵点P,Q同时分别从点A,D出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ=t ,PF=QC=6-t.在△ABP 和△DEQ 中,{AB =DE ,∠A =∠D ,AP =DQ ,∴△ABP ≌△DEQ (SAS),∴BP=EQ.同理可证PE=QB ,∴四边形PBQE 为平行四边形.(2)如图①,连接BE ,OA ,则∠AOB=360°6=60°.∵OA=OB ,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OA=6,BE=2OB=12.当t=0时,点P 与点A 重合,点Q 与点D 重合,四边形PBQE 即为四边形ABDE.由题易知∠EAF=∠AEF=30°,∴∠BAE=120°-30°=90°,∴此时四边形ABDE 是矩形,即四边形PBQE 是矩形.当t=6时,点P 与点F 重合,点Q 与点C 重合,四边形PBQE 即为四边形FBCE ,如图②所示. 同法可知∠BFE=90°,此时四边形PBQE 是矩形.综上所述,当t=0或t=6时,四边形PBQE 是矩形.由题易知AE=√122-62=6√3,∴矩形PBQE 的面积=矩形ABDE 的面积=AB×AE=6×6√3=36√3.∵正六边形ABCDEF 的面积=6×△AOB 的面积=6×14×矩形ABDE 的面积=6×14×36√3=54√3,∴矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比为23.。
九上 圆 第12课时 正多边形与圆含答案
第12课时正多边形与圆1．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是( )A．10 B．9 C．8 D．62．正六边形的边心距与边长之比为( )A．3：3 B．3：2 C．1：2 D．2：23．如图，要拧开一个边长为a＝6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口6至少为( )A．62cm B．12 cmC．63cm D．43cm4．下列命题中正确的是( )①矩形是正多边形；②边数相等的正多边形一定是形状相同；③正五边形的对角线都相等；④正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．A．①③④B．②④C．②③D．①②③④5．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( )A．3 B．4－3C．4 D．6－236．等边三角形的边长为a cm，则它的高为_______cm，面积为_______cm2，它的外接圆的半径为_______cm，面积为_______cm2，它的内切圆半径为_______cm，面积为_______．7．半径为2 cm的圆内接正方形的对角线长为_______cm，面积为_______cm2．8．在线段、正三角形、正方形、正五边形、正六边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______．9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为_______cm2．10．小亮从A点出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_______m．11．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝52cm，求⊙O的半径R．12．如图⊙O中，直径AB、CD互相垂直，试画出⊙O的一个内接正方形和外切正方形，并求出这两个正方形的面积比．13．如图，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆的半径长．14．如图，⊙O与⊙O'交于A、B两点，AB既是⊙O的内接正六边形的一边，又是⊙O'的内接正方形的一边，且AB＝12，求圆心距⊙O'．15．如图，O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为a的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．(1)若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α＝120°，请你通过观察或测量，填空：①如图①，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_______；②如图②，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_______；(2)若正多边形为正方形，扇形的圆心角α＝90°时，①如图③，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_______；②如图④，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；(3)若正多边形为正五边形，如图⑤，当扇形纸板的圆心角α为_______时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．(4)一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．参考答案1—5 BBCCB6．2 4a3 23a π 6a 2212a cm π 7.4 88．线段、正方形、正六边形9.4010.24011.5 cm12．1：213．2．14．6＋15．解：(1)①a ；②a ；(2)①a ；②正方形ABCD 的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a ．(3)108°．(4)()2180n n-•︒。
人教版九年级数学上册《正多边形和圆》课时提升作业(含答案)
课时提高作业正多边形和圆(30 分钟 50 分)一、选择题 ( 每题 4 分, 共 12 分)1. 如图 , 在☉ O中,OA=AB,OC⊥AB,则以下结论错误的选项是 ()A. 弦 AB的长等于圆内接正六边形的边长B. 弦 AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.=D.∠BAC=30°= , ∠【分析】选 D.∵OA=AB=OB,∴△ OAB是等边三角形 , ∴∠ AOB=60°. 又∵ OC⊥AB,∴ AOC=∠ BOC=30° , ∴∠ BAC=15°, 因此选项 A,B,C 都正确 ,D 错误 .2.(滨州中考 ) 若正方形的边长为6, 则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A. 6,3B.3, 3C.6,3D.6,3【分析】选 B. 作图以下 , 由正方形的性质、垂径定理可得OE=AE=3,OA=3 .【变式训练】正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为()A.2∶B.∶2C.2∶1D.∶1【分析】选 A. 设正六边形的半径是r, 则外接圆的半径为r, 内切圆的半径是正六边形的边心距, 因此是r, 因此正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶.3.( 绵阳中考 ) 如图 , 要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽 , 扳手张开的张口 b 起码为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4 mm【分析】选 C.连结 AC,过 B 作 BD⊥ AC于 D;∵AB=BC,∴△ ABC是等腰三角形 ,∴AD=CD∵.此多边形为正六边形 ,∴∠ ABC=120°, ∴∠ ABD=60° ,∴ ∠ BAD=30° , ∴ BD=3,AD==3,∴b=2AD=6 (mm).二、填空题 ( 每题 4 分, 共 12 分)4.一元钱的硬币的直径约为 24mm,则它完整覆遮住的正三角形的边长最大不可以超出mm(结果保存根号 ).【分析】如图 , 已知此圆半径为 12mm,则 OB=12mm在.直角△ OBD中 , ∠BOD=60°, ∴∠ OBD=30°, ∴OD=6mm,BD==6 mm.∴BC=12 mm.答案: 125.( 南京中考 ) △ OAB是以正多边形相邻的两个极点A,B 与它的中心O 为极点的三角形 , 若△OAB的一个内角为 70° , 则该正多边形的边数为.【分析】依据已知 , △OAB为等腰三角形 , 且△ OAB的一个内角为 70°, 则这个角可能是底角 , 也可能是顶角 . 若 70°角为顶角 , 则边数为 = , 不切合题意 , 舍去 ; 若 70°角为底角 , 则顶角为 40°, 则边数为=9, 切合题意 , 故边数为 9.答案: 96.将一个边长为 1 的正八边形补成以下图的正方形 , 这个正方形的边长等于 ( 结果保存根号 ).【分析】∵△ BDE是等腰直角三角形 ,BE=1, ∴ BD= ,∴正方形的边长等于AB+2BD=1+.答案: 1+三、解答题 ( 共 26 分)7.(8分)已知:五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠ E,边AB,BC,CD,DE,EA与☉ O分别相切于点 A′,B ′,C′,D′,E′.求证 : 五边形 ABCDE是正五边形 .【 明】 作☉O 的半径 OA ′ ,OB ′ ,OC ′,OA ′⊥ AB,OB ′⊥ BC,OC ′⊥ CD.∴∠ OA ′B=∠OB ′B=∠ OB ′ C=∠ OC ′C=90°,由 OA ′=OB ′， OB=OB ，可得△ OA ′ B ≌△ OB ′ B(HL),∴A ′B=B ′B ，∠ OBA ′=∠OBB ′，同理可得∠ OCB ′=∠OCC ′又∵∠ ABC=∠BCD,∴∠ OBB ′=∠OCB ′， ∴BB ′ = 1BC, 2同理 A ′ B=1AB, ∴AB=BC,2同理得 AB=BC=CD=DE=EA,又∵∠ EAB=∠ABC=∠BCD=∠ CDE=∠DEA,∴五 形 ABCDE 是正五 形 .8.(8 分)( 安徽中考 ) 我 把正六 形的 点及其 称中心称作如 (1) 所示基本 的特点点 , 然 的 基本 共有 7 个特点点 . 将此基本 不停复制并平移 , 使得相 两个基本 的一 重合 , 获得 (2) 、 (3) ⋯(1) 察以上 形并达成下表 :形名称基本 的个数特点点的个数(1) 1 7 (2) 2 12 (3) 3 17(4)4⋯⋯⋯猜想 : 在 (n)中 , 特点点的个数( 用含n 式子表示 )(2) 如 , 将 (n)放在直角坐系中, 此中第一个基本的称中心O1的坐(x 1,2), x1 =;(2013) 的称中心的横坐.【分析】 (1)22 5n+2.(2) 正六形的是2, 因此心距,x1=;(2)的称中心在正六形的一上, 横坐2;(3)的称中心是正中的正六形的中心, 横坐3, ⋯ , 以此推 ,(2013)的称中心的横坐2013.【知拓展】正多形的性(1)各相等 ; 各角相等 .(2)正多形都是称形 , 一个正 n 形有 n 条称 , 每一条称都通正 n 形的中心.① 数是偶数的正多形既是称形, 又是中心称形 ;② 数是奇数的正多形是称形.【培】9.(10 分 ) 如 (1),(2),(3), ⋯,(n),M,N 分是☉ O的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五形ABCDE、⋯、正 n 形 ABCDE⋯的 AB,BC上的点 , 且 BM=CN,接 OM、ON.(1)求 (1) 中∠ MON的度数 .(2) (2) 中∠ MON的度数是, (3) 中∠ MON的度数是.(3)尝试究∠ MON的度数与正 n 边形边数 n 的关系 ( 直接写出答案 ). 【分析】 (1) 连结 OB,OC.∵正△ ABC内接于☉O,∴∠ OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.又∵ BM=CN,OB=OC,∴△ OBM≌△ OCN∴∠. BOM=∠CON.∴∠ MON=∠BOC=120°.(2)90 °72°(3) ∠MON=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正多边形和圆》课时练习（附答案）一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法21•正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（.3A.-6丁3B.-42.3 C.-3\3D.一32•已知正多边形的边心距与边长的比为1-，则此正多边形为A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
4•中心角是45。
的正多边形的边数是 5•已知△ ABC 的周长为20A ABC 的内切圆与边 AB 相切于点D,AD=4,那么BC= 二、课中强化（10分钟训练）21•若正n 边形的一个外角是一个内角的时，此时该正32•同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是 （A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 34•已知O O 和O O 上的一点 A （如图2.6-1）.⑴作O O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH ; ⑵在（1）题的作图中，如果点 E 在弧AD 上，求证：DE三、当堂巩固（30分钟训练） <6A.-23 B.—44 D.-33•周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是（ ）一、课前预习（5分钟训练）1•圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正A.扩大了一倍B.扩大了两倍2•正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为A.3 : 2 : 1B.4 : 3 : 2n 边形的边长与半径之比（)C ・扩大了四倍D ・没有变化( )C.4 : 2 : 1D.6 : 4 : 33•正五边形共有条对称轴，正六边形共有 n 边形有 条对称轴•是O O 内接正十二边形的一边条对称轴•图 2.6-13. _________________________________________________________ 已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为 ______________________________________ cm.4•正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_________________ 度.5. 如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB 为2・3，在O O i中为内接正三角形的一边，在。
2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比6. 某正多边形的每个内角比其外角大100 °求这个正多边形的边数.7. 如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？8. 如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).(1) ⑵图 2.6-410.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6( n), M、N 分别是O O 的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE 的边AB、BC上的点，且BM=CN ,连结OM、ON.图 2.6-6⑴求图2.6-6(1)中/ MON的度数;⑵图2.6-6(2)中/ MON的度数是____________ ，图2.6-6(3)中/ MON的度数是___________(3)试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).⑴U)、课前预习（5分钟训练）1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比（）思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同。
答案: 4•中心角是45。
的正多边形的边数是360360°思路解析：因为正 n 边形的中心角为二^，所以45。
= ，所以n=8。
答案：8nn5•已知△ ABC 的周长为20A ABC 的内切圆与边 AB 相切于点D,AD=4,那么BC=思路解析：由切线长定理及三角形周长可得。
答案 ：6二、课中强化（10分钟训练）参考答案A.扩大了一倍B.扩大了两倍C •扩大了四倍D.没有变化思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍, 所以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）A.3 : 2 : 1B.4 : 3 : 2C.4 : 2D.6 : 4 : 3 』3思路解析：如图，设正三角形的边长为a ,则高AD= —?a , 2外接圆半径OA 」边373心距 0D= a ,所以 AD : OA : OD=3 : 2 : 1。
答案：A63•正五边形共有条对称轴，正六边形共有条对称轴•3601•若正n 边形的一个外角是一个内角的思路解析：因为正 n 边形的外角为 2时，此时该正n 边形有3360 条对称轴•所以由题意得，一个内角为n360 = 2 （-2）・18。
，解这个方程得(n-2) *180 n=5。
答案：52•同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是 （）A. 一23 B.—4,6C.—34 D.-3思路解析：画图分析，分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A 。
答案：A3•周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是（ ）A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S31.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为（ ）C.2.3 3思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1,所以边心距为 0.5,则边长为思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大。
答案： B4•已知O O 和O O 上的一点 A （如图2.6-1）.（1 ）作0 O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH ;⑵在⑴题的作图中，如果点 E 在弧AD 上，求证：DE 是O O 内接正十二边形的一边思路分析：求作O O 的内接正六 边形和正方形，依据定理应将O O 的圆周六等分、四等 分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是O O 内接正十二边形的一边， 由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于 360 °12 = 30 °⑴作法：①作直径AC;②作直径BD 丄AC;③依次连结 A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 即为O O 的内接正方形；④分别以A 、C 为圆心，0A 长为半径作弧，交O O 于E 、H 、F 、G;⑤顺 次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.六边形AEFCGH 即为O O 的内接正六边形. ⑵证明：连结OE 、DE.AOD == 90° / AOE == 60°,4 6•••/ DOE = Z AOD -Z AOE = 30°二DE 为O O 的内接正十二边形的一边三、当堂巩固（30分钟训练）图 2.6-1答案：D12•已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为（）2A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选 B 。
答案：B3.已知正六边形的半径为 ______________________ 3 cm ，则这个正六边形的周长为cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用 P 6= 6a n 求出周长。
答案：184•正多边形的一个中 心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于 _________________ 度•答案：144.5•如图2.6-2，两相交圆的公共弦 AB 为2-. 3，在O O i 中为内接正三角形的一边，在。
0?中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径 R 3与R 6的平方比即可• 解：设正三角形外接圆O的半径为R 3,正六边形外接 圆O 02的半径为R 6，由题意得3R 3^ - AB , R 6=AB ,••• R 3 : R 6= . 3 : 3..・.O O i 的面积：O O 2 的面积=1 : 3.36. 某正多边形的每个内角比其外角大 100 °求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求 解：设此正多边形的边数为n ,则各内角为（n一2）・18°，外角为360，依题意得nn（_2厂18°-疤=100°解得 n = 9.nn7. 如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？4个圆;11 / 10 作法:思路分析：设三个圆的圆心为 O i 、O 2、O 3,连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm的正△ O 1O 2O 3,设大圆的圆心为 O,则点O 是正△ O 1O 2O 3的中心，求出这个正△ O 1O 2O 3 外接圆的半径，再加上O O i 的半径即为所求•解：设三个圆的圆心为 O i 、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正4yf3△ O 1O 2O 3 ,则正△ O 1O 2O 3外接圆的半径为 cm ,所以大圆的半径为34一34-3 6 +2= (cm).3 38•如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形间参与交流、评价).答案：略.9•用等分圆周的方法画出下列图案:(小组之图 2.6-4(1)分别以圆的(2) 分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6( n), M、N 分别是O O 的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE- 的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结0M、ON.图 2.6-6(1)求图2.6-6(1)中/ MON的度数；⑵图2.6-6(2)中/ MON的度数是____________ ，图2.6-6(3)中/ MON的度数是___________⑶试探究/ MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案：⑴方法一：连结OB、OC.•••正△ ABC 内接于O O,.・./ OBM= / OCN = 30° / BOC=120 .又••• BM=CN ,OB=OC , •••△OBM ◎△ OCN. /-Z BOM =Z CON. /-Z MON= / BOC=120 方法二：连结OA、OB. v 正厶ABC 内接于O O，/ AB=AC , Z OAM= Z OBN=30 ,Z AOB=120又v BM = CN，•/ AM=BN.又v OA=OB, •△ AOM 也厶BON. AOM= Z BON. MON= Z AOB=120(2) 90 ° 72 °360 s(3) Z MON= .n《正多边形和圆》课后作业：一、填空题1. ____________________________________________________________ 在一个圆中，如果60*的弧长是n，那么这个圆的半径r= _________________________________2. _______________________________ 正n边形的中心角的度数是.3. __________________________________________ 边长为2的正方形的外接圆的面积等于__________________________________________________ .4. __________________________________________________ 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_____________________________________________ .二、选择题5•正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是( ).(A) 两角互余(B)两角互补(C)两角互余或互补(D)不能确定6•圆内接正三角形的边心距与半径的比是( ).(A)2: 1 ( B)1：2 ( C) ,3:4 ( D) ,3:27•正六边形的内切圆与外接圆面积之比是( )3 V3 1 1(A) (B) (C) (D)—4 2 2 4&在四个命题：(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形；是正多边形；(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形；(4) 多边形，其中正确的个数为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 9.已知：如图，ABCD为正方形，边长为a,以B为圆心，以积为()•(A) (1- n ) a2( B) 1- n (C) (D) a24 4附：答案1. 3 ;2. 2二；4. •3 2 ；DBABD (2)各边相等的圆外切多边形各角相等的圆外切多边形是正BA为半径画弧，则阴影部分面。