27.6(1)-正多边形与圆
《正多边形与圆》 讲义
《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形。
例如，等边三角形、正方形都是常见的正多边形。
二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆具有许多独特的性质，如圆的直径是圆中最长的弦，圆的周长等于2πr（r 为半径），面积等于πr² 等。
三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆将一个正多边形的各个顶点放在同一个圆上，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
外接圆的圆心是正多边形的中心，外接圆的半径就是正多边形的半径。
以正六边形为例，我们可以通过作正六边形的对角线，找到其外接圆的圆心。
因为正六边形的内角和为 720 度，每个内角为 120 度，所以连接相隔的两个顶点，所构成的三角形是等边三角形，从而可以确定外接圆的圆心。
2、正多边形的内切圆与正多边形各边都相切的圆叫做正多边形的内切圆。
内切圆的圆心是正多边形的内心，内切圆的半径就是正多边形的边心距。
比如正三角形，我们可以通过角平分线的交点找到内切圆的圆心。
角平分线将正三角形的内角平分，其交点到各边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径，即边心距。
四、正多边形的相关计算1、边长计算对于正n 边形，若外接圆半径为R，则其边长a ＝2Rsin(180°／n)。
例如，对于正六边形，n ＝ 6，外接圆半径为 5，则边长 a ＝2×5×sin(180°／6) ＝5×√3。
2、面积计算正 n 边形的面积 S ＝ 1/2 × n × a × r （其中 a 为边长，r 为边心距）以正四边形（正方形）为例，若边长为 a，边心距为 r，则面积 S ＝1/2 × 4 × a × r ＝ 2ar 。
因为在正方形中，r ＝ a/2，所以面积 S ＝ a²。
五、正多边形的作图1、用圆规和直尺作正多边形以正六边形为例，首先作一个圆，然后以圆的半径为长度，在圆周上依次截取六段弧，连接这些点，就得到了正六边形。
《正多边形和圆》课件
总结词
丰富多样的设计元素
详细描述
正多边形和圆的几何特性使得它们在视觉上具有独特的冲 击力。通过巧妙地运用正多边形和圆，可以创造出引人注 目的视觉效果，吸引人们的注意力。
详细描述
正多边形和圆作为基本的几何图形，在几何图形设计中有 着广泛的应用。它们可以单独使用或组合使用，创造出丰 富多样的设计元素，如标志设计、图案设计、图标设计等 。
。
圆的基本性质
01
02
03
圆心角与弧的关系
在同一个圆或等圆中，相 等的圆心角所对的弧相等 ，相等的弧所对的圆心角 相等。
弦与直径的关系
在同一个圆或等圆中，弦 的垂直平分线必经过圆心 ，经过圆心的弦是直径。
直径与半径的关系
在同一个圆或等圆中，直 径是半径的两倍，半径是 直径的一半。
圆的分类
按照半径的大小分类
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
《正多边形和圆》ppt课件
• 正多边形的定义和性质 • 圆的定义和性质 • 正多边形和圆的关系 • 正多边形和圆的实际应用
目录
CONTENTS
01
正多边形的定义和性质
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
正多边形和圆在日常生活中的应用
总结词
日常用品的设计
详细描述
交通工具的设计中也会经常运用到正多边形和圆。例如， 汽车、火车、飞机等交通工具的外形、轮毂、仪表盘等部 位都会涉及到正多边形和圆的应用。
详细描述
正多边形和圆在日常生活中有着广泛的应用。例如，一些 日常用品的形状、图案或纹理中会运用到正多边形和圆， 如餐具、服饰、家居用品等。
详细描述
正多边形和圆PPT课件
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
4．填表。
加数 加数
和
23 36 40 50
63 86
59 30 20 27
79 57
辨析：求和用加法，求加数用和减另一个加数。
小试牛刀（源于《典中点》） 1．想一想，填一填。
32＋40＝ 72 先算：30 ＋40 ＝ 70 再算：2 ＋ ＝70 72
感悟新知
知2－练
1 (西宁)一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能
完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
感悟新知
知识点 3 正多边形的作图
正多边形和圆有什么关系？ 你能借助圆画一个正多边形吗？
知3－讲
感悟新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 知3－讲
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC=
BC 2
4 2
=2（m）,利用勾股定理，
可得边心距r= 42 22 2 3(m).
亭子地基的面积S= 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
感悟新知
知2－讲
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
正多边形的有关概念 正多边形的有关计算 正多边形的作图
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
观察下列图形他们有什么特点？
感悟新知
华东师大版数学九年级下册27.正多边形和圆的关系课件
知识点 1 正多边形与圆的关系的认识
知1－讲
1. 正多边形的定义： 各条边相等、各个角也相等的多边形叫做正多边形．
要点精析：“各条边相等、各个角相等”是正多边形的两个基本 特征，边数 n＞3的多边形必须同时满足，二者缺一不可，否 则多边形就不是正多边形．例如，菱形的各边相等，但各角不 一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以它们都 不是正多边形．
知1－讲
2. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个 圆是同心圆．
3. 圆内接正n边形：把圆分成n(n＞2)等份，依次连结各 分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n边形，而 这 个圆是正 n 边形的外接圆．
拓展：(1)把圆分成n(n＞2)等份，经过各分点作圆的切 线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外 切正n边形，而这个圆是这个正n边形的内切圆．
总结
知1－讲
解答本题运用了定义法，即各选项中提到的多边形是 否具备各边和各角相等，这两个条件缺一不可．
知1－讲
例2 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C ＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．
导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧 相等，得出 BDE CDA 利用等式 的性质，两边同时减去 CDE ，即 可得到 BC AE，根据等弧所对的 弦相等，得出BC＝AE.
知3－讲
作法二：(1)作半径为0.9 cm的⊙O； (2)作⊙O的任一直径AB； (3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交⊙O于
C，F和D，E； (4)连结AD，DE，EA.则△ADE为所
求作的正三角形，如图所示．
总结
知3－讲
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
《正多边形与圆》 讲义
《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
例如，等边三角形、正方形、正五边形等等。
正多边形具有对称性，对称轴的条数与边数相同。
比如正六边形有6 条对称轴。
二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆有无数条直径和半径，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是圆心到圆上任意一点的线段。
圆的周长 C ＝2πr （其中 r 是半径，π是圆周率，通常取 314），圆的面积 S ＝πr² 。
三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆以正多边形的中心为圆心，以中心到顶点的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的外接圆。
例如，对于正三角形，我们可以找到它的外接圆。
通过三角形的三个顶点作圆，圆心到三个顶点的距离相等。
2、正多边形的内切圆以正多边形的中心为圆心，以中心到边的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的内切圆。
比如正六边形，我们可以作出它的内切圆。
内切圆与正六边形的各边都相切。
3、正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正 n 边形的中心角为 360°／n 。
以正五边形为例，其中心角为 360°÷5 ＝ 72°。
4、正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
5、正多边形的边心距正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
四、正多边形的计算1、边长计算对于正 n 边形，如果已知半径 R ，我们可以通过三角函数求出边长a 。
以正六边形为例，连接圆心与一个顶点，形成一个等腰三角形，其顶角为 60°，底角为 60°，则边长等于半径，即 a ＝ R 。
对于正 n 边形，边长 a ＝ 2Rsin(180°／n) 。
2、面积计算正 n 边形的面积可以通过分割成多个三角形来计算。
设正 n 边形的边长为 a ，边心距为 r ，则面积 S ＝ 1/2 × n × a × r 。
正多边形与圆ppt课件
∠BAE-∠COD=
A.60°
B.54°
( D)
C.48°
D.36°
【举一反三】
1.(2023·内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,点Q是
的中点,
则∠CPQ的度数为
A.30°
B.45°
(B)
C.36°
D.60°
2.如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=40 3 mm,则边长
当n为奇数时,正n边形不是中心对称图形.
对点小练
1.(1)已知正方形的边长为2 cm,那么它外接圆的半径长是_______cm.
6
(2)如果一个正多边形的中心角等于60°,那么这个正多边形的边数是_______.
新知要点
°
(−)×°
;
;
(1)正n边形的中心角为________正n边形的每一个内角的度数为____________
A. 2
B.2 2
C.4 2
D.2
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为2,则
边心距OM的长为_______.
3.(7分·推理能力、运算能力)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N分别是边BC,CD上的点,且
CM=DN,AM与BN交于点Q.
(1)求证:△ABM≌△BCN;
°
.
正n边形的每一个外角的度数为_____
等腰
(2)每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的______三角形;被它的半径和边心
直角
距分成2n个全等的______三角形.
2
2
r +( ) =R2
正多边形和圆课件
02
所有的内角都相等
03
04
对角线互相平分且相等
外接圆的半径和内切圆的半径 相等
正多边形的分类
等边三角形
等边n边形 等边六边形
等边四边形 等边五边形
02
正多边形的面积与 周长
正多边形的面积计算
公式
正多边形的面积 = (边长 × 边数) ÷2
解释
正多边形的面积可以通过计算其 边长和边数的乘积，然后除以2得 到。
自然界中的应用
在自然界中，正多边形和圆也经常出 现，如植物的花瓣、动物的壳等，这 些形状具有自然美和生物学意义。
THANKS
感谢您的观看
圆内接正多边形的性质：圆内接 正多边形的所有外角之和等于 360度
圆与直线的位置关系：圆与直线 相切、相交、相离
圆的应用
生活中的圆
车轮、钟表、瓶盖等
数学中的圆
几何证明、代数运算等
工程中的圆
机械零件、建筑设计等
04
圆与正多边形的关 系
圆内接正多边形
01
02
03
定义
圆内接正多边形是指一个 正多边形的所有顶点都在 同一个圆上。
05
正多边形与圆的几 何作图
正多边形的几何作图方法
定义
正多边形是各边等长、 各角等大的多边形。
边长确定
确定正多边形的边长是 作图的关键步骤。
角度确定
确定正多边形的内角大 小也是作图的关键步骤
。
作图方法
通过边长和角度，可以 按照正多边形的定义进
行作图。
圆的几何作图方法
01
02
03
04
定义
圆是平面上所有与给定点（圆 心）距离相等的点的集合。
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E D
P
B Q
A
E
A
O
S C D
B
C
R
三条边相等或三个角也 相等（60度）.
四条边都相等，且四 个角也相等（90度）.
正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正n边形：
有n条边的正多边形（n为正整：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
正多边形是旋转对称图形吗？
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72度
D
E .O A F B C
正三角形的中心角等于__________°
正方形的中心角等于_________°
正六边形的中心角等于__________°
正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. B 正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的圆心角. C 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
A
O · E
D
E
思考:正多边形有内切圆吗?如果有,请指 出它的圆心与半径. 内切圆的半径与边心距有什么关系? 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内 切圆,这两个圆是同心圆.
练一练
下列命题是真命题吗？如果不是，举出 一个反例。 （1）正多边形的各边相等。 （2）各边相等的多边形是正多边形。 （3）正多边形的各角相等。 （4）各角相等的多边形是正多边形。
正多边形是轴对称图形吗？
正多边形是中心对称图形吗？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接 圆和内切圆为同心圆．圆心就是正多边形对称轴的 交点