243正多边形和圆(1)

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形 ABCD的______．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做 正方形ABCD的______．
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中 心角是____度，半径是___，边心距是 ， 它的每一个内角是______．
4、正n边形的一个外角度数与它的______角 的度数相等．
A
D
.O
B EC
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的
，
它是正五边形ABCDE的
圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 它的度数是
D
角，
E
C
.O
A
FB
判断：
1.各边相等的圆内接多边形是正多边形（ ） 2.各边相等的圆外切多边形是正多边形（ ） 3.各角相等的圆内接多边形是正多边形（ ） 4.各角相等的圆外切多边形是正多边形（ ）
中心角 360 中心角E
D
n
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
F
..O
C
AOG BOG 180
R
a
n
AGB
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r R2（ a）2 ， 2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
2
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段 弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴BCE=CDA=3AB
∴ ∠A=∠B.
B
E
O·
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
C
D
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形,
5.正多边形一定是 对称图形,一个正n边 形共有 条对称轴,每条对称轴都通 过 ;如果一个正n边形是中心对称图 形,n一定是 数.
6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要 旋转 度,才能与原来的图形位置重合.
7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12
和18,则它们的周长之比为 ,面积之比
为
.
8.下列说法中正确的是( )
2
边心距OE 2 OB 2 R
2
2
A
D
·O
B
E
C
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
S正方形ABC一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心
角等于360 60，△OBC是等边三角形，从而正 六边形的6边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC= BC 4 2，
22
F
利用勾股定理,可得边心距
E
r 42 22 2 3.
O
亭子地基的面积
1﹕3,则n等于( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
11. 如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就和
原来的图形重合,那么这个正多边形是( )
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
12.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的
13.正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的
⊙O是五边形ABCD的外接圆.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径 E
D
正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
. F
中心角
O.
半径R
C
边心距r
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边
A
B
的距离.
以中心为圆心,边心距为半径 的圆与 为各正边多有边何形位 的置 内关 切系 圆?
A.平行四边形是正四边形 B. 矩形是正四边形
C. 菱形是正四边形
D. 正方形是正四边形
9. 下列命题中,真命题的个数是( )
①各边都相等的多边形是正多边形;
②各角都相等的多边形是正多边形;
③正多边形一定是中心对称图形;
④边数相同的正多边形一定全等.
A.1
B.2
C. 3
D. 4
10.已知正n边形的一个外角与一个内角的比为
A
D
rR
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). B P 22
C
练习：分别求出半径为R的圆内接正三角形， 正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距＝OD=
1 2
R.
A
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
三条边相等，
四条边都相等，
三个角也相等（60度）。
正多边形：
四个角也相等（90度）。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如果一个正多边形有n条边，那么这个正 多边形叫做正n边形。
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成n等份,顺次连接各分点就可以作出 这个圆的内接正n边形, 这个圆就是这个正多边形的外接圆.
AD OA OD R 1 R 3 R，
22
·O
∴AB= 3R
∴S△ABC=
3R •
3 2
R
3
2
B
3R2 4
D
C
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE2 OB2