正多边形与圆的定义

半径R 30 边心距r
AC
M
AC
M
AC
M
中心角
360
n
E
中心角
D
边心距OG把△AOB分成
2个全等的直角三角形
F
..O
C
AOG BOG 180 n
R
a
A GB
a 设正多边形的边长为 ,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r R2（ a）2 ， 2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
BD2 OD2 OB2 2
2
(a)2 (1 R)2 R2
R
a
·1OR. 2
22
B
2D
C
解之得: a 3R
S 1 BC AD 1 a (R R) 3 3R
2
2
24
即正三角形的边长为
3R 边心距为
1 2
R.
面积为
3 4
3R
例题选讲
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
n
中心角是___________3;60 正是多__边__形__的__中. 心角与外角n的大小关系
相等
同步练习
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的
中心
2、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 边心距
A
D
.O
B EC
同步练习
3、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度
边心距r
C 边长一半 M
探索新知
当n 3时，AOM 1 中心角 1 360 180 60
2
23 3
当n 4时，AOM 1 中心角 1 360 180 45
2
24 4
当n 6时，AOM 1 中心角 1 360 180 30
2
26 6
O
O
O
半径R 60 边心距r
半径R 45 边心距r
探索新知
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆 分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接 正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
AA
BB
EE
O·
CC
DD
我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接
各分点得到正五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA
4．已知正六边形的边心距为 3 ，则它的
周长是__1_2__.
巩固练习
5．如图，正六边形ABCDEF的半径为2，以它
的中心O为坐标原点，顶点B、E在x轴上，求正
六边形ABCDEF的各顶点的坐标．源自A（-1， 3 ）y
B（-2，0 ）
A
F
C（-1， 3） D（1， 3）
B O
E
x
E（2，0 ）
F（ 1， 3 ）
作业：P108:1、2
C
D
巩固练习
6．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH， 若△ADE的面积为10，则正八边形
ABCDEFGH的面积为( A )
A. 40 B .50 C. 60
D. 80
A
H
B
G
C D
F E
巩固练习
7．边长为6的正三角形的半径是___2__3___.
8．如图，⊙O的周长为 6π cm,求以它的半
4、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
探索新知
连接OA，由垂径定理（运用圆的有关知识）得
AM 1 AB
E
D
2
AOM 1 中心角 1 360 180
2
2 n nF
.O
C
在RtΔAOM中，有 OA2 OM 2 AM 2.
A
半径R
MB
O
中心角一半
径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
S 27 3 cm2 2
A
F
B
O
E
C
D
例题选讲
分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形
的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R， 设BC=a
A
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
a
边心距＝OD= 1 R. BD= a
②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA）
③正多边形每一边所对的圆心角叫 A
F
做正多边形的中心角（即∠AOB ）
④中心到正多边形的一边的距离
B
· 中心角 半径R
O
边心距r
E
叫做正多边形的边心距（内切圆
的半径、即OM）
CM D
同步练习
（n 2）•180
正n边形的每一个内角的度数都是____________;
2
2
巩固练习
1．正八边形的每个内角是_1_3__5_°_度.
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
∠CFD的度数是（ C ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5°
巩固练习
3．如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与
原来的图形重合，那么这个正多边形是（ B ）
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
想一想
三条边相等，
正三角 形
三个角相等
（60°）
正方形
正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形. 正n 边形：如果一个正多边形有n 条边，
那么这个正多边形叫做正n 边形.
四条边相等， 四个角相等 （90°）
人教版九年级上册
找一找
观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形.
想一想
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为 什么？
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE2 OB2
2
边心距OE 2 OB 2 R
2
2
A
D
·O
B
E
C
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
2
S正方形ABCD ABgBC 2R 2R2
当堂训练
1.课本P108第1题
正多边形 内 中心 半 边 边心 周 面 边数 角 角 径 长 距 长 积
3
60° 120 2 2 3 1 6 3 3 3
4
90 90 2 2 1 8 4
6
120 60 2 2 3 12 6 3
O
O
O
半径R 60 边心距r
半径R 45 边心距r
半径R 30 边心距r
AC
M
AC
M
AC
M
课堂小结
一、正多边形的性质： 1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
二、正多边形的计算：
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
A
∴BCE=CDA=3AB ∴ ∠A=∠B.
B
E
O·
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
C
D
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
探索新知
你能作出正五边形的内切圆吗？
A
B
E
O·
C
D
概念学习
①我们把一个正多边形的外接圆（内切圆） 的圆心叫做这个正多边形的中心（即点O）