正多边形的有关计算(一)
正多边形的有关计算
2．如图 24-3-2，正△ABC 内接于半径为 1 cm 的圆，则阴 影部分的面积为__π_－__3__4__3_cm2.
正多边形和圆
1．正多边形和圆的有关概念 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的___中__心__； 外接圆的半径叫做正多边形的___半__径___； 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的__中__心__角__； 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的__边__心__距__． 2．正多边形的画法 画正 n 边形只要先画一个圆，然后把圆_____n___等分，依 次连接各分点，即可得正 n 边形．
探索新知
等分圆
正多边形
（1）用量角器画一个等于
360o n
的圆心角；
（2）在圆上依次截取与该圆心角所对的弧相等 的弧（或依次画出相等的圆心角），得到圆的n 个等分点；
（3）顺次连接这些等分点，即得到正n边形。
类比联想
问题1：画圆的内接正三角形 （2）如果圆心O未知 ，你该怎么做呢？
还有其他 方法吗？
复习回顾
回顾：正多边形和圆
F
E
. A
中心角 半径R
O
D
边心距r
B
C
探索新知
由于正多边形在生产、生活实际中有 广泛的应用性，所以会画正多边形是学生必 备能力之一。
思考：怎样画一个正多边形？
探索新知
问题1：画圆的内接正三角形 （1）已知⊙O，请画出圆的内接正三角形.
O
·
利用这种方法, 可以画出任意 的正n边形.
正多边形的性质与相关问题
正多边形的性质与相关问题正多边形是几何学中的重要概念之一，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我将为大家介绍正多边形的性质，并探讨与之相关的一些问题。
一、正多边形的定义与性质正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
以正三边形、正四边形和正五边形为例，它们的边数分别为3、4和5，边长相等，内角也相等。
正多边形的性质如下：1. 内角和公式正多边形的内角和公式为：(n-2) × 180°，其中n为正多边形的边数。
以正五边形为例，它的内角和为(5-2) × 180° = 540°。
2. 外角和公式正多边形的外角和公式为：360°/n，其中n为正多边形的边数。
以正五边形为例，它的外角和为360°/5 = 72°。
3. 对角线的数量正多边形的对角线数量为n(n-3)/2，其中n为正多边形的边数。
以正五边形为例，它的对角线数量为5(5-3)/2 = 5。
二、正多边形的应用问题正多边形的性质在数学和日常生活中都有广泛的应用。
下面我将介绍一些与正多边形相关的问题，并给出解决方法。
1. 如何判断一个多边形是否为正多边形？要判断一个多边形是否为正多边形，需要满足两个条件：所有边相等，所有角相等。
可以通过测量多边形的边长和内角来进行判断。
2. 如何计算正多边形的面积？正多边形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (边长 ×边长 × n) / (4 ×tan(π/n))，其中n为正多边形的边数。
通过测量正多边形的边长，可以代入公式计算出面积。
3. 如何在平面上画出一个正多边形？要在平面上画出一个正多边形，可以通过以下步骤进行：首先确定一个顶点，然后以该顶点为中心，根据正多边形的内角和公式计算出每个顶点的位置，依次连接各个顶点即可。
4. 如何计算正多边形的周长？正多边形的周长等于边长乘以边数。
可以通过测量正多边形的边长，然后代入公式计算出周长。
正多边形的性质与计算
正多边形的性质与计算正多边形是指所有边的长度相等，所有内角的度数也相等的多边形。
在几何学中，正多边形具有许多独特的性质和特点，同时也可以通过一些数学计算方法来求解其各个参数。
本文将介绍正多边形的基本性质，并探讨如何计算其边长、面积和内角度数。
一、正多边形的性质1. 边长相等：正多边形的每条边长度都相等。
2. 内角度数相等：正多边形的每个内角的度数都相等。
3. 外角度数相等：正多边形的每个外角的度数都相等。
4. 顶角小于180度：正多边形的顶角（内角的对角）度数小于180度。
5. 对角线相等：正多边形的任意两个对角线的长度都相等。
6. 中心对称：正多边形以中心为对称轴具有对称性。
二、计算正多边形的边长要计算正多边形的边长，我们可以使用以下公式：边长 = 周长 / 边数其中，周长是指正多边形的所有边的总长度，边数则表示正多边形的边数。
三、计算正多边形的面积正多边形的面积计算有多种方法，根据不同情况可以选择相应的公式：1. 如果已知边长：面积 = 0.25 * n * 边长² * cot(180度 / n)其中，n代表正多边形的边数，边长则表示正多边形的边长。
2. 如果已知内角度数：面积 = 0.5 * n * 边长² * tan(180度 / n)其中，n代表正多边形的边数，边长则表示正多边形的边长。
3. 如果已知外接圆半径：面积 = 0.5 * n * 边长 * 外接圆半径其中，n代表正多边形的边数，边长则表示正多边形的边长。
四、计算正多边形的内角度数计算正多边形的内角度数，可以使用以下公式：内角度数 = (n - 2) * 180度 / n其中，n代表正多边形的边数。
五、应用案例以正五边形为例，假设边长为a，则可以使用上述公式进行计算：1. 计算周长：周长 = 5 * a2. 计算面积：面积 = 0.25 * 5 * a² * cot(36度)3. 计算内角度数：内角度数 = (5 - 2) * 180度 / 5 = 108度通过以上计算公式和案例，我们可以根据给定的正多边形参数，灵活计算出正多边形的边长、面积和内角度数等重要参数。
正多边形的面积与周长计算
正多边形的面积与周长计算正多边形是指所有边长和内角相等的多边形，它具有许多独特的性质，其中包括计算面积和周长的方法。
本文将介绍如何计算正多边形的面积和周长，并提供一些实例以便更好地理解。
一、正多边形的面积计算方法要计算正多边形的面积，需要知道边长和边的个数。
以下是计算正多边形面积的公式:面积 = (边长^2 * 边数) / (4 * tan(π/边数))其中，边长表示正多边形的任意一条边的长度，边数表示正多边形的边的个数，tan为正切函数，π为圆周率。
例如，如果要计算一个正五边形的面积，边长为4cm，根据上述公式进行计算：面积= (4^2 * 5) / (4 * tan(π/5)) = 20 / (4 * 0.7265) ≈ 6.8814 cm^2因此，正五边形的面积约为6.8814平方厘米。
二、正多边形的周长计算方法正多边形的周长等于边长乘以边数。
以下是计算正多边形周长的公式：周长 = 边长 * 边数同样以正五边形为例，边长为4cm，根据上述公式进行计算：周长 = 4 * 5 = 20 cm因此，正五边形的周长为20厘米。
三、实例分析让我们进一步通过两个实例来应用上述计算方法。
实例1：计算正六边形的面积与周长。
已知正六边形的边长为8cm，我们可以使用前述的公式进行计算。
面积= (8^2 * 6) / (4 * tan(π/6)) ≈ 96.8873 cm^2周长 = 8 * 6 = 48 cm因此，正六边形的面积约为96.8873平方厘米，周长为48厘米。
实例2：计算正十边形的面积与周长。
已知正十边形的边长为3cm，我们同样可以通过公式进行计算。
面积= (3^2 * 10) / (4 * tan(π/10)) ≈ 42.0726 cm^2周长 = 3 * 10 = 30 cm因此，正十边形的面积约为42.0726平方厘米，周长为30厘米。
结论通过上述分析，我们了解了正多边形的面积和周长的计算方法，并通过实例进行了验证。
正多边形的有关计算
例 求同圆的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比． 分析：边数相同的正多边形是相似形，因此要求同因的内接正六边形与外切正六边形的周长比与面积比，只需求出相似比(边长比、边心距比、半径比均为相似比) 解：如图，连接OA ’、OA ，则在△ABC 中，2330cos 6180cos n 180cos OA 'OA =︒=︒=︒=． ∵OA ’、OA 分别为⊙O ；的内接正六边形的半径和外切正六边形的半径， ∴它们的相似比=23OA 'OA =∴周长比为23 ， 面积比为43)23(2=． 说明：①转化为直角三角形；②同圆的内接正n 边形与外切正n 边形的相似比为n180cos︒． 例 如图，⊙O 为正三角形ABC 的内切圆，EFGH 是⊙O 的内接正方形，且2EF =，求正三角形的边长．分析：因为⊙O 是正三角形的内切圆；又是正方形的外接，所以求⊙O 的半径成为解题的关键．解：连结OB 、OE 、OF ， 在等腰直角三角形OEF 中，122245sin EF OF =⨯=︒⋅=．在Rt △BOF 中，∠BOF=60°，OF=1， ∴BF=OF ·sin60°=3． ∴BC=2BF=23．故正三角形的边长为23．说明：应用圆外切三角形和圆内接正方形的性质，构造直角三角形．例 如图，⊙O 的直径为AB 、CD ，AB ⊥CD ，弦MN 垂直平分OB ．求证：CM 为正十二边形的一个边，MB 为正六边形的一个边，CB 正四边形的一个边，MN 为正三角形的一个边． 证明：连结OM 、ON∵MN 垂直平分OB ，∴OM=MN ． ∵OM=OB ，∴△OBM 为等边三角形．∴∠MOB=60°，即360°/n=60°，∴n=6，∴MB 为正六边形的一个边．∵AB ⊥CD ，∴∠COM=30°，即360°/n=30°BC D∴n=12，∴CM 为正十二边形的一个边．同理由∠COB=90°，得CB 正四边形的一个边，∠MON=120°，得MN 为正三角形的一个边．典型例题四例 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。
《正多边形的有关计算》 知识清单
《正多边形的有关计算》知识清单一、正多边形的定义正多边形是指各边相等，各角也相等的多边形。
比如常见的正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形等。
二、正多边形的内角和对于一个 n 边形，其内角和公式为：（n 2)×180°。
以正五边形为例，根据内角和公式可得内角和为：（5 2)×180°＝540°。
因为正五边形的五个角都相等，所以每个内角的度数为 540°÷5 ＝108°。
三、正多边形的外角和无论正多边形的边数是多少，其外角和始终为 360°。
例如，正六边形的每个外角为 360°÷6 ＝ 60°。
四、正多边形的中心角正多边形的中心角是指以正多边形的中心为顶点，以正多边形的一边为角的一边所形成的角。
正 n 边形的中心角的度数为 360°÷n 。
比如正八边形的中心角为 360°÷8 ＝ 45°。
五、正多边形的半径正多边形的半径是指从正多边形的中心到顶点的距离。
六、正多边形的边心距正多边形的边心距是指从正多边形的中心到边的距离。
七、正多边形的面积计算1、对于正三角形，如果边长为 a ，则面积为：S ＝√3a²/4 。
2、对于正方形，如果边长为 a ，则面积为：S ＝ a²。
3、对于正 n 边形，如果边长为 a ，边心距为 r ，则面积为：S ＝1/2 × n × a × r 。
八、正多边形的周长计算正多边形的周长等于边长乘以边数。
例如，正六边形的边长为 b ，则周长为 6b 。
九、正多边形的对称性正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形有 n 条对称轴。
当 n 为偶数时，正 n 边形还是中心对称图形。
十、正多边形的应用正多边形在生活中有广泛的应用。
比如建筑设计中的地砖图案、蜂巢的结构等都常常会用到正多边形的性质。
正多边形的有关计算
正多边形的有关计算正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
它们具有一些特殊的性质和计算方法，让我们来探讨一下。
公式推导我们以正n边形为例，其中n表示边的数量。
对于正n边形，可以推导出以下一些重要的公式：内角和正n边形的内角和等于(n-2) * 180度。
这可以通过以下方法推导得出：正n边形的每个内角都相等，表示为α度。
根据正多边形的性质，α ° + α ° + α ° + … + α ° = 360 °。
而正n边形有n个角，所以总的内角和为n * α °。
因此，我们可以得出公式：n * α = 360 °，即α = 360 ° / n。
由此可得，内角和= n * α = n * (360 ° / n) = 360°。
外角正n边形的外角等于360° / n。
这可以通过以下方法推导得出：正n边形的每个内角α加上与之相邻的外角β等于180°，即α + β = 180°。
我们已经求得α = 360° / n，所以β = 180° - α。
因此，正n边形的外角角度为β = 180° - (360° / n) = 360° / n。
边长正n边形的边长可以通过以下方法计算得出：假设正n边形的边长为s，那么可以使用三角函数来计算边长。
以正n边形的一个角的一条边为底边，那么根据三角函数，可以得到s = 2 * R * sin(π / n)，其中R为正n边形的外接圆半径。
另一种方法是使用正多边形的周长公式来计算边长。
正n边形的周长等于n * s，即n * s = 2 * n * R * sin(π / n)。
这样我们可以得到边长为s = 2 * R * sin(π / n)。
面积正n边形的面积可以通过以下方法计算得出：假设正n边形的边长为s，那么可以使用正多边形的面积公式来计算面积。
正多边形的性质与计算公式解析
正多边形的性质与计算公式解析正多边形是指所有边相等，所有内角相等的多边形，是几何学中的重要概念。
本文将对正多边形的性质及计算公式进行详细解析。
一、正多边形的性质1. 所有边相等：正多边形的每条边长度相等，记作a。
2. 所有内角相等：正多边形的每个内角的度数相等，记作α。
3. 边数与内角数的关系：正多边形的边数n与内角数m存在以下关系：m = n - 2。
例如，三角形（n=3）的内角数为1，四边形（n=4）的内角数为2，以此类推。
4. 内角的度数：正多边形每个内角的度数可以通过公式计算：α = (n-2) × 180° / n，其中n为边数，α为内角度数。
二、正多边形的计算公式1. 周长：正多边形的周长可以通过公式计算：周长 = n × a，其中n 为边数，a为边长。
2. 面积：正多边形的面积可以通过公式计算：面积 = (1/4) × n × a^2 × cot(π/n)，其中n为边数，a为边长，cot为余切函数。
3. 外接圆半径：正多边形的外接圆半径可以通过公式计算：外接圆半径= a / (2 × sin(π/n))，其中n为边数，a为边长，sin为正弦函数。
4. 内切圆半径：正多边形的内切圆半径可以通过公式计算：内切圆半径= a / (2 × tan(π/n))，其中n为边数，a为边长，tan为正切函数。
三、计算示例以一个六边形为例，边长为5cm。
根据上述公式计算：1. 周长 = 6 × 5 = 30cm。
2. 内角的度数α = (6-2) × 180° / 6 = 120°。
3. 面积= (1/4) × 6 × 5^2 × cot(π/6) ≈ 64.95cm^2。
4. 外接圆半径= 5 / (2 × sin(π/6)) ≈5.77cm。
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正多边形的有关计算(一)
教学目的：1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；教学重点：化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．教学难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．二、新课讲解：哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．)什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．)正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．)什么叫正多边形的中心角？(安
排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)正n 边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数正n 边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中(幻灯展示练习题，学生思考，回答)1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．解此方程n=9．幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如图7-138，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．1．观
察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)2．观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(安排中等生回答：全等，依据(s．s．s)或(s．a．s))3．将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(安排中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．)套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如图7-139，安排学生观察、思考并回答以下问题：1．这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？为什么？(安排中下生回答)共2页，当前第1页122．这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(安排中下生回答：边心距)3．正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(安排中等生回答：2n个)给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．再套幻灯片的复合片，如图7-140，安排学生观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成．安排中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径r、一条直角边是正多边形的边心距．另一直角边是正多边形边长的一半(在此安排中等生回答：为什么？)半径与边心距的夹角是正多边形一
个中心角的一半．(安排中等生回答“为什么？”)讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决．幻灯给出正多边形抽象的计算图7-141，教师讲解：由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画．图中r表示半径，rn表示正n边形的边心距，an表示正n边形的边长，an表示正n边形的中心角．提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形(教师讲解)：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的r、rn、an其中一项赋值就可求出其它元素．例如：(幻灯展示题目)例1 已知：如图7-142，正△abc的边心距r3=2．求：r、a3．问：要解此题，首先要做什么？(找中等生回答：画出基本计算图)最后要做什么工作：(找中上生回答：选择三角函数)解：∵n=3又完成下列各题：(幻灯展示题目)1．已知，正方形abcd的边长a4=2．求：r，r4．2．已知：正六边形abcdef的半径r=2，求：r6，a6．(对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生)再回到例1，问：你会求这个正三角形的周长p3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：边长×3，因
为正三角形三边相等)．再问：你会求这个正三角形的面积s3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：直角△aoc的面积×6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍．或者，等腰△aob 的面积×3，由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同．)请同学们分别计算上述二题的周长和面积(计算快而准的学生让其自拟题目再练习)(幻灯给出例2)：已知正六边形abcdef的半径为r，求这个正六边形的边长a6、周长p6和面积s6．(提问)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：画基本计算图)2．然么？(安排中下生回答：选择三角函数)∴p6=9r．通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？(安排中下生回答：相等)希望大家记住这个结论：a6=r，因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据．三、课堂小结：哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排中等生归纳)1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2．运用正多角计算．四、布置作业教材p.163中1、2；p.165中2．学有余力者布置下题：已知正n边形的半径为r，求an、pn、rn、sn．共2页，当前第2页12。