第十二章 格林函数法
格林函数
格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,u a u f r t t∂-∇=∂v 表示温度场u 与热源(),f r t v之间关系 Poission ’s Eq.：()20u f r ρε∇=-=-v表示静电场u 与电荷分布()f r v之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r r ρφπεΩ=-⎰r r r这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩vv v v v 这里讨论的是静电场()u r v， ()f r ρv 代表自由电荷密度。
格林函数（ＰＤＦ）
T=0K 的费米子体系的格林函数虽然真实的系统从来也没有达到过零温, 但有很多量对温度并不特别敏感, 特别是低温下. 比如费米子体系, 在远低于费米温度时, 把系统处理为T=0K 是很好的近似.我们常常把系统描述为它的基态加上它的元激发. T=0K 的格林函数就是计算体系的基态和元激发的. 这样的计算适合电子气体和氦3液体.从T=0K 的格林函数中可以得到准粒子的有效质量, 寿命, 以及准粒子之间的散射解面(朗道费米液体理论中相互作用函数).量子统计中的格林函数方法是从粒子物理中处理量子电动力学中费曼—戴逊图形展开方法移植到凝聚态的多体问题中来的. 这个方法是研究有相互作用的多粒子体系的一个基本的强大的工具.;ˆˆˆ0i H H H+=我们知道, 系统的哈密顿量统常可写为如果相互作用部分比较小, 我们可以对它进行微扰展开. 费曼—戴逊图形展开方法就是一种微扰展开的方法. 它在很多问题上取得了很大的成功. 但并非所有问题都能解决. 比如在低能时, 量子色动力学用费曼—戴逊图形展开方法就不行. 再比如, 高温超导中的低掺杂情况, 也不能用微扰论来解决. 不过它是一个理解多体问题的基本框架.t t t a t a >>ΨΨ<+↑↑',|)()'(|00k k T=0K 的格林函数要研究的是形如下式的量这里是系统的基态. 基态动量为零. 上式中表示在时刻在基态上加上一个动量为粒子. 这个态的动量为. 一般地, 它不是系统的本征态.上式是表示时刻, 系统仍然处于这个态的几率. 这个式子是在海森堡绘景中的.0Ψt >Ψ+↑0|)(t a k k k 't 由于并不是系统的本征态, 原则上它可以用系统的总动量为的本征态来展开, 这些本征态的数量是非常巨大的, 而且能量是不同的. 这一点可以用经典粒子系统的类比来理解, 总动量为的组合方式有无限多种, 不同的组合方式动能和势能是不同的. 那么, 这个态可以展开为>Ψ+↑0|)(t a k k k ∑>Ψ>=Ψ+↑ii i c t a k k ||)(0>Ψi k |这里是总动量为的系统的本征态. 到时刻, 这个态演化为k 't )'(0||)'(t t iE ii i i ec t a −−+↑∑>Ψ>=Ψk k ∑−+↑↑>=ΨΨ<it t iE i i i ec c t a t a )'(*00|)()'(|k k 't 时刻, 系统仍然处于这个态的几率准粒子及其寿命>Ψ+↑0|)(t a k);(E c c i →由于这些本征态的数量巨大, 能量可以处理为连续化的, 也就是有∫∑∞∞−−−→dEeE D E c ec c t t iE it t iE i i i )'(2)'(*)(|)(|如果展开系数分布很宽, 比如constE D E c =)(|)(|2我们马上得到)'(2)'(t t dE et t iE −=∫∞∞−−πδ这是说马上系统就不处于开始的态上了.>Ψ+↑0|)(t a k 如果展开系数分布很窄, 比如)'()(|)(|2E E E D E c −=δ我们马上得到)'(')'()'(t t iE t t iE edE eE E −∞∞−−=−∫δ这是说系统以后永远呆在开始的态上了.>Ψ+↑0|)(t a k 如果展开系数分布为1222])'([)(|)(|−−+Δ=E E E D E c 则有)')('()'(1222])'([t t i E i t t iE ei dE eE E −Δ+∞∞−−−=−+Δ∫π也就是说, 这个几率随时间衰减, 寿命为. Δ=/1τ以上讨论其实是把海森堡的不确定性关系具体化了.洛仑兹分布这里的讨论其实很具一般性,适用于所有寿命有限的粒子.能量分布有宽度,寿命就有限.在时, 粒子之间无相互作用, ,以后随着时间的消逝相互作用缓慢地增长, 在时, 增加到实际大小, 这时系统达到真正的基态−∞→t >Φ>=−∞→Ψ0|)(|t I 0=t >Φ−∞>=−∞Ψ−∞>=Ψ00|),0(ˆ)(|),0(ˆ|U UI H此后, 当时, 再让相互作用缓慢地趋于零,,∞→t>Φ>≡Φ−∞∞>=Ψ∞000|ˆ|),(ˆ|)0,(ˆS UU H 这样就有iL H e U−>Φ∞>=Ψ00|)0,(ˆ|>Φ>=Φ−00||ˆiL e S系统又回到无相互作用的基态, 至多差一个相位因子绝热假设。
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
微分方程格林函数法的研究
微分方程格林函数法的研究
微分方程格林函数法是一个非常具有挑战性的方法，用于求解非
线性、复杂的微分方程组。
它是由英国数学家格林在19世纪60年代
发明的，也被誉为“积分方程化解法”。
格林函数法利用“积分”的
思想去求解一组微分方程，把求解的复杂的微分方程组变成求解一组
数值的问题，最终把这一组数值解合成一个“格林函数”，并以此函
数为基础解微分方程组。
格林函数法的优势在于可以快速精确的求解复杂的微分方程组，
而且它可以在非常复杂的情况下求解微分方程组，如非线性的、多变
量的、不稳定的情况等。
此外，格林函数法还可以求解符号和数值混
合方程组，这在微分方程中是很少见的。
格林函数法的研究已经源远流长。
它一直是微积分学习者深入探
索的重要内容，更是理论物理学、数学物理学和动力系统分析的重要
工具。
在过去的几十年中，格林函数法已经被用于求解非线性的微分
方程，如传播方程、拟制数据的稳定性等。
随着信息技术的飞速发展，格林函数法也受到了广泛的应用，并在一些具有实际意义的复杂问题
上发挥重要作用，如气流扩散等。
总之，微分方程格林函数法已经成为解决复杂微分方程的一个重
要工具，它对微积分学习者和理论物理学家都有着重要的意义。
研究
者不仅可以借助格林函数法，来解决一些具有实际意义的微分方程，
而且应用在其他领域也有很好的效果，例如精确科学计算。
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
数学物理方法--格林函数法
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。
数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。
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0 ( x ) Q ( x x )
显然
x x x x
(1)
( x )d Q ( x x)d Q
V V
5
对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为 ( x ) ( x x)
G 0 在一个单位电荷在空间所激发的电势。因此 n S 即代表单位电荷在边界上所激发的电场，由Gauss定 理知道
1 G( x x )ds n 0 S n G( x x )ds 0 S G( x x ) 0 n S
1 2 G ( x , x ) ( x x) 0 G ( x , x) 1 G ( x , x) 0, 或 S n 0S S
所在的位置， x 代表观察点，在（3）式和（4）式中，
(5)
7
五、Green公式和边值问题的解
式中V为包围面S所围的面积，该式称为Green第一公式。 如果上式中的 和 对调，即 a ，同理得到
( ) ( ) d n ds V S
2
(7)
将（6）式减去（7）式，得
d n n ds V S
2
而
1 0 r
2
(r 0)
2
1对小球体 当r=0时，取一小球面S 包围着原点，取 r
积V积分，即
21
1 1 1 r d V r d r ds V S r 1 2 3 ds 2 r d r r S S
故 a ( ) 2
V S S
又 ˆ an a n n
8
于是，有
( ) ( ) d n ds V S
2
(6)
2 0
2
2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷， 或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面 规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。
3
二、 Green函数法能解的情况
能用Green定理求解静电边值问题的情况: 给定区域V内电荷分布 (x ) 和区域V的边界面S 上各点的电势 φs 或电势法向导数
1 式中 ( x )ds 为 在边界面S上的平均值。 S S
17
在实际问题中，常遇到这类问题：在所考察的区
域包含有无穷大的边界面，假如，考察一导体球外的 空间电势分布问题，这时所考察的区域是球面和无穷 大曲面间包围的区域，所以这时边界面S→∞故有 G ( x x ) 1 0 n 0S S 于是 故得到
(2)
四、Green函数
一个处在 x 点上的单位点电荷，它所激发的电势
方程为
2
1
0
( x x )
(3)
假设有一包含 x 点的某空间区域V，在V的边界S上
有如下边界条件
1 S 0 或者 n S 0S
(4)
6
则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方 程在区域V的第一类或第二类边值问题的Green函数。 Green函数一般用 G ( x , x )表示，x 表示单位电荷 把 换成G，即Green 函数所满足的方程和边界条件 为
n
。
S
第一类边值问题:给定S上的电势φs, 也称狄利克
莱边值问题;
第二类边值问题:给定S上的 边值问题。
n
，也称诺埃曼
S
4
下面将讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电
荷的较简单的边值问题而得到解决的。
三、点电荷密度的函数表示
密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。若在 x
法。
19
（1）无界空间的Green函数
即在无穷大空间中放一个单位点电荷，求空间某 处的电势，也就是Green函数。
1 1 1 1 G ( x x ) 40 ( x x ) 40 ( x x) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2
且待求的边值问题：
2
S
1
0
( x)
S
V
给定了 (x )
10
相应的Green函数问题是：
1 G ( x x ) ( x x )
2
边界条件：
0
G 1 GS 0 或 n S 0S
现在，取 满足 2 1 ( x )
这实质上就是第一类边值问题的解 c)如果所取的Green函数属于第二类问题，即
G n
S
1 0S
在这里要说明一点的是：对第二类静电边值问题不能
G 用第二类齐次边界的Green函数，即 n
0 ，因
S
15
为 Green函数 G( x x ) 所代表的物理意义是在 x处存
第十二章 格林函数法
Method of Green Function
1
• 泊松方程的格林函数 • 用电像法求格林函数
• 含时间的格林函数
• 用冲量定理法求格林函数 • 推广的格林公式及应用
2
第一节 泊松方程的格林函数法
一、 分离变量法和镜像法能解的情况
1、分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界上， 也就是说：在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方 程转变为拉普拉斯方程)+边界条件。
0
满足 2G ( x , x ) 1 ( x x ) 取 0
代入Green第二公式，有
11
V
2 2 G ( x , x ) ( x ) ( x ) G ( x , x ) d G ( x x ) ( x ) G ( x x ) (x) ds n n S
由此可见
故
16
从而，Green函数在边界上的最简单的形式是取 G ( x x ) 1 n 0S S
这样且有第二类静电边值问题的Green函数解的形式：
( x ) 1 ( x ) G ( x x ) ( x )d 0 G ( x x ) ( x ) ds n 0S V S ( x ) 1 G ( x x ) ( x )d 0 G ( x x ) ds ( x )ds n S S V S
以上的讨论，表面上似乎把静电边值问题的解找
到了，其实并非如此，因为只有把问题的Green函数 找到了，才能对表达式（第一类边值问题的形式解和 第二类边值问题的形式解）作出具体的计算。实际求 Green函数本身并不是件容易的事，所以以上解的形
式只具有形式解的意义。
在这里介绍几种不同区域的Green函数的求解方
2
2
(8)
9
该式称为Green第二公式
Green第一、第二公式是等价的。同时，视方便而选
取之。Green公式对解静电问题的意义是：在区域V 内找一个待定函数 （ 为待求），通过这个公式从 已知确定未知。
（2）边值问题的解 给定一个区域V，其中给定了 ( x ) , S , n
2
这里把 x 与 x 互换，G( x x )不变，即有G( x x) G( x x )
这就说明Green函数具有对称性。
第二节 用电像法求格林函数
（2）上半空间的Green函数
即在接地导体平面的上半空间，由于 G S 0，属 于第一类边值问题。
在这里，将用Green公式把一般Poisson方程的边 值问题的解用Green 函数联系起来。 （1）先看Green公式的两种形式 根据 Gauss 定理，知道
( a )d a ds an ds
当 a , 和 均为连续，可微的标量点函数，
因为Green公式中积分，微分都是对变量 x 进行的， 由于Green函数关于源点和场点是对称的，即 G ( x x ) G( x x )，为方便起见，把变量 x 换为 x ，故有 改
为 ，即得
1 1 G( x, x ) 0 ( x) ( x) 0 ( x x )d V G ( x x ) ( x ) G ( x x ) ( x ) ds n n S
12
该式左边第二项为 1 1 ( x) ( x x )d ( x )
0
V
0
得到
1 1 G ( x x ) ( x )d ( x ) 0 0 V G ( x x ) ( x ) G ( x x ) ( x ) ds n n S
其中， x 代表单位电荷ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所在位置（源点坐标），x
代表观察点坐标（场点坐标）。
1
2
证明上述Green函数是否满足Green函数所满足
的微分方程。
证明： 选电荷所在处为坐标原点，即 x 0 ，在球坐
20
标系中
G ( x 0)
1 40 r
考虑球对称性，得到
1 2 1 G ( x 0) 40 r
1 ( x)ds 0 S S
( x ) ( x ) G( x x) ( x )d 0 G( x x ) ds n V S