格林函数法详解
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4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
2019/2/12
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
2019/2/12
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第六章 格林函数法
0 0 0
利用格林公式，有
U ΔUdV n dS Ω S
取边界S 为球面，其半径为 r，则有
1
S
U U B dS dS 2 dS 4πB n r r S S
1 4π
所以
B
最后得三维拉普拉斯方程的基本解
1 U 3 M ; M 0 4πrMM 0
整理后得
u v u v u v uΔΔdV dV x x y y z z Ω Ω v u dS n S
于是得到第一格林公式
v uΔ vdV u n dS - grad u grad vdV S
第六章 格林函数法
本章主要研究基本解和格林函数及其在边
值问题中的应用，并介绍初值问题的相关
解法。
6.1 格林公式 三维问题
高斯公式
P Q R x y z dV Ω
S
Pn1 Qn2 Rn3 dS
（1）
其中 n 为S的外法线方向。 在高斯公式中取
考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步 确定B值，对式（a）两边进行面积分得
Δ Ud x x , y y d 1
0 0 D D
利用格林公式，有
U Δ Udσ n ds D C
取边界C为圆周， 其半径为 r ，则有
1 U U B ds ds ds 2πB n r r C C C
（2）
同理，有
u vΔ udV v n dS - grad u grad vdV S
将上二式两边相减得第二格林公式
（3）
u v uΔ v - vΔ u dV u n v n dS S
利用格林公式，有
U ΔUdV n dS Ω S
取边界S 为球面，其半径为 r，则有
1
S
U U B dS dS 2 dS 4πB n r r S S
1 4π
所以
B
最后得三维拉普拉斯方程的基本解
1 U 3 M ; M 0 4πrMM 0
整理后得
u v u v u v uΔΔdV dV x x y y z z Ω Ω v u dS n S
于是得到第一格林公式
v uΔ vdV u n dS - grad u grad vdV S
第六章 格林函数法
本章主要研究基本解和格林函数及其在边
值问题中的应用，并介绍初值问题的相关
解法。
6.1 格林公式 三维问题
高斯公式
P Q R x y z dV Ω
S
Pn1 Qn2 Rn3 dS
（1）
其中 n 为S的外法线方向。 在高斯公式中取
考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步 确定B值，对式（a）两边进行面积分得
Δ Ud x x , y y d 1
0 0 D D
利用格林公式，有
U Δ Udσ n ds D C
取边界C为圆周， 其半径为 r ，则有
1 U U B ds ds ds 2πB n r r C C C
（2）
同理，有
u vΔ udV v n dS - grad u grad vdV S
将上二式两边相减得第二格林公式
（3）
u v uΔ v - vΔ u dV u n v n dS S
第六讲格林函数法刘
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上
G n
|z0
G z
|z0
{ } 1
4
z z0
3
z z0
3
(
x
x0
)2
y
y0
2
z
z0
2
2
[ x x0 2 y y0 2 z z0 2]2
|z0
1
2
z0
(x
x0
)2
y
y0
2
z02
u |z0 f x, y
首先找格林函数 GM , M. 在0 半空间 z的 0
点放M 0 置x0 ,单y0 ,位z0 正电荷， 关于边界 M 0 的对称
点为z 0 ，
M1x0 , y0 ,z0
在M1放置单位负电荷，则它与 M 0处的单位
正电荷所产生的正电位在平面 z 0上互相
u n
dS
4
u
4
u n
0
令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
第三章格林函数法
r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
数学物理方法--格林函数法
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
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V
q (r r') /0
解 u f (r')d ' G 1 V q
4 | r r'|
4 | r r'|
40 | r r'|
基本思路
原问题 点源问题
关系
u f (r ) u | 0
G (r r ' )
G | 0
f (r) f (r') (r r')d '
A JGdV
V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
• 这种方法称为电像法
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解：根据题目，定解问题为
G ( x x' ) ( y y' ) (z z' ), z 0
G |z0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
设想在M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为 + ε0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零， 这表明在N点的点电荷就是电像。
Q (x x) 0, (x≠x’点)
Q (x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
V
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
输运问题
(t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0
波动问题
(tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0
无界空间 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的基
基本解
基本解
本解
齐次边界 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的格
G|Γ= 0 格林函数 格林函数
格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和
边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表
示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解 问题；
3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可 以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
1、点电荷密度的δ函数表示
(1)、 函数
(x) 0, (x) ,
V (x)dV 1,
(x≠0) (x = 0) (积分区域V包含x = 0点)
函数---密度函数
(2) 函数的一个重要性质
若 f (x)在x’点附近连续，则
V f (x) (x x)dV f (x)
同理，若 f (x) 在原点附近连续，则
• 分类：
– 按泛定方程可以分为：
• 稳定问题的格林函数 L = Δ • 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) • 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
– 按边界条件可以分为
• 无界空间的格林函数，又称为基本解； • 齐次边界条件的格林函数。
稳定问题
格林函数 ΔG
= δ(r-r’)
V f (x) (x)dV f (0)
这一性质称为函数的选择特性。
(3) 点电荷的电荷密度
处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示
V (x)dV V (x)dV 1
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
(x) Q (x)
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
(x) Q (x x)
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
电荷源
静态场时，位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位为
q 1 qG 4 0r 0
式中，G 1 ，G为静态场的自由空间Green函数。 4r
利用格林函数，分布电荷的标量位为
1 GdV 0 V 上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。
u(r) f (r')G(r,r')d '
• 求解方法
• 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。
• 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个 电量为 - ε0 的点电荷。
• 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同 产生。
• 在一些情况下，导体中所效电荷称为点电 荷的电像。
– 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 – 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数， 不同的实际问题对应不同的格林函数。
4、稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
原问题
点源问题 点电荷电场
方程
u f (r)
G (r r')
场与源
电流源
时谐场中，位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为
A
Idl e jkr
Idl G
4r
位于原A点m 的 磁I m流d4l元erImjkdr l在 自I m由dl空G间产生的矢量电位为
式中 G e jkr ，G为交变场中的自由空间格林函数。 4r
利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为