第四章格林函数法

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那么，这个假想的点电荷应在区域外的什么位置，所带电量 又如何呢？ 这个点应是 M 0 关于边界曲面 的对称点。但是，对一般 区域而言，这个对称点并不易得到。下面看两个特殊问题。
§4.３ 格林（Green）函数的应用
1 半空间上Green函数及狄利克莱问题的解
如我们研究上半空间 {( x, y, z) z 0, x, y } 用静电源象法求其Green函数： M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 在M 0 关于边界曲面 z 0 的对称点为 M1 ( x0 , y0 , z0 ) 在 M1放置一单位负电荷，则它们所形成的静电场的电位在边 界 z 0 上恰好为零。
推导：由第一Green公式，有
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d u u v u v u v vud v n dS ( x x y y z z )d
( x, y , z ) v 0, 1 v 4 r MM 0
这又是一个狄利克莱问题。如何求解？
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2 Green函数的静电学意义
设在 M 0 处有一个单位点电荷，则其在空间任一点 产生的电场电位为
M
处所
1 4 rMM 0
若在 M 0 点的点电荷是包围在一个封闭的导电面内，而这个 导电面又是接地的，此时在导电面上的电位恒等于零，在 M 导电面内任一点 的电位由两部分组成：
1 1 u( M ) [u(M ) n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0
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4 调和函数的基本性质 性质1：设 u ( x, y, z ) 在有界区域 内为调和函数，且在 上有一阶连续偏导数，则 u n dS 0 证：令 v 1 将 u, v 代入第二Green公式即可。 ( x, y , z ) 推论1：诺伊曼问题 u 0, u n f
udS
a
证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有
1 u(M 0 ) 4
而
1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS a 0 0
1 ( ) r rMM 0 1 2 a
为什么？
1 ( ) n rMM 0
a
a
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为什么？
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又为什么？
因此上半空间的Green函数为：
1 1 1 G(M , M 0 ) ( ) 4 rMM 0 rMM1
z0 u 0, 对狄利克莱问题 u z 0 f ( x, y) x, y
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。
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ln
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2
M 0 ( x0 , y0 ) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
2 Green公式
（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其 边界曲面且足够光滑， P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在 上连续，在 内有连续偏导数，则
1 u 1 u rMM n dS a n dS 0 为什么？ a a 0 于是 u ( M ) 1 0 2 udS 4 a a 性质3（极值原理）：若 u ( x, y, z ) 在有界区域 内为调和函
数，在 上连续，且不为常数，则其最大值、最小值只能 在边界 上 达到。
（3）
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选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成

称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
（2）第二Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
v u (uv vu)d (u n v n )dS
（4）
令 G( M , M ) 0 则（4）式表示为
称为Green函数法
（5）
G u(M 0 ) u n dS
于是狄利克莱问题的解可表示为 u ( M ) 0


G f dS n
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问题：Green函数 G(M , M 0 ) 如何构造？即 v 如何构造？ 在上面的分析中，我们要求 v 应满足
1 rMM 0

1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2
特点：除 M 0 ( x0 , y0 , z0 )点外，任一点满足Laplace方程。 同学们自己验证。
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二维Laplace方程的基本解：
u ( x, y) ln
特点：除
1 rMM 0
满足
1 g (M , M 0 ) 4 rMM 0

我们采用如下方法获得 g (M , M 0 ) 假设区域外也有一个点电荷（不一定单位电荷），它对自由 空间的电场也产生一个电位。设这两个点电荷所产生的电位 在导电面上恰好抵消，则这个假想的点电荷在区域内电位就 g (M , M 等于感应电荷所产生的电位，这样0 ) 就得到了。 这种获得 g (M , M 0 ) 的方法称为静电源象法（镜象法）
u 0, u f
( x, y , z )
证明： u1 和 u2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足 设
由极值原理， u 0
u 0, u 0
( x, y , z )
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( x, y , z ) u 0, 推论3：对狄利克莱问题 u a (常数)
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第四章 格林函数法
拉普拉斯方程边值问题的求解方法
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§4.1 格林（Green）公式及其应用
1 拉普拉斯（Laplace）方程的基本解
调和函数： 具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满 足Laplace方程的函数。 三维Laplace方程的基本解：
u ( x, y, z )
有 ua
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§4.2 格林（Green）函数
1 Green函数的引入 对狄利克莱问题 u 0, u f
1 u(M 0 ) 4 1 4
( x, y , z )
由调和函数的积分表达式，其解可以表示成 M 0
1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0 1 1 u [ f n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0
证明从略
推论1：设 u, v 在有界区域 内为调和函数，在 上连 续，若在 上 有 u v ，则在 内也有
uv
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证明：用反证法 若在 内有 u v ，即 u v 0 ，而在边界上 u v 0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。 推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
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P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
有解的必要条件是
同学们考虑为什么？


fdS 0
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性质2（平均值定理）：设 u ( x, y, z ) 在有界区域 内为调和 函数，M 0 ， a 是以 M 0 为球心，以 a 为半径的球面，则 有 1
u(M 0 )
意义：球平均值
4 a
2
意义：调和函数在 内任一点的函数值可用其边界上的函数值 及其法向导数值表示。 证明： 取 v
1
rMM 0
M0
如图作球 KM
0
M0

则 u 和 v 在 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ K 内均为调和函数， 由第二Green公式有

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1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0 0
在 上（其外法线方向如何？）
于是
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n rMM 0 r rMM rMM
0 0
1 1 u n ( rMM )dS 2 0
udS

1
2
4 2 u 4 u


1 u 1 u u dS n dS 4 n rMM 0 n
两式相减即可得。
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3 调和函数的积分表达式 定理：设 u ( x, y, z )在有界区域 内为调和函数，且在 上 有一阶连续偏导数，则 M 0 ，有
1 u(M 0 ) 4 1 1 u( M ) [u(M ) n ( rMM ) rMM n ]dS (M ) 0 0
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u

（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
1 G(M , M 0 ) g (M , M 0 ) 4 rMM 0
其中 g (M , M 0 ) 表示导电面上感应电荷所产生的电位。
（该函数结构即是Green函数）
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可见只要将 g (M , M 0 ) 确定了，则 G(M , M 0 ) 也就确定了。
g (M , M 0 ) 如何确定呢？根据Green函数的结构， (M , M 0 ) 必须 g
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代入上式，得
1 1 u u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 4 u 4 n 0 0 0 u ( M 0 ) u 令 0 ，则 u u ( M 0 ) n n
从而得证
1 u(M 0 ) 4
（1）
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u u 但在边界上， 未知，不能用上述公式求解，必须消去 n n
为此，引入Green函数的概念。
取 u, v 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续 的偏导数，则由第二Green公式，有
v u (u n v n )dS 0