武汉大学数学物理方法5_4用电像法求某些特殊区域的狄氏格林函数

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数学物理方法--格林函数法

第二类边界条件第三类边界条件
0, 0
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
G(r , r ') 4 (r r ')
3
感应电荷是边界问题
2. 格林公式第一格林公式：区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件求通解＝积分

定解＝积分＋边界条件（格林函数法）
u (r ) 和设
T
在

上有连续一阶导数。由高斯定理 uv dS (uv)dV

T
v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
7
5. 边值问题的格林函数
第一边值问题(狄里希利问题)
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u

f
u (r , r ') G(r , r ') 0
第一边值问题格林函数
1 u (r0 ) 4
1 G (r , r0 )r (r )dV 4 T
1
1
12.1
泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件求通解＝积分
1. 源问题例静电场 a.无界空间

定解＝积分＋边界条件（格林函数法）
q 4
r'
r r ' r
r
处静电场
1 (r ) u0 (r , r ') G(r , r ') r r '

用电像法确定格林函数

5.4 用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法定义5.4.1 电像法考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的点M放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解000(,)(-)(,)|0G G δΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r r r r （5.4.1）为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．5.4.1上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在000(,)M x y 处放置一正单位点电荷则虚设的负单位点电荷应该在100(,)M x y −于是得到这两点电荷在xoy 的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为0010022220000220022001111(,)ln ln 2π||2π||1111(,|,)ln ln 2π2π()()()()()()1ln[]4π()()G G x y x y x x y y x x y y x x y y x x y y =−−−=−−+−−++−++=−+−r r r r r r （5.4.2）据上述物理模型可求解下列定解问题例5.6.1 定解问题：00, (0)|() xx yy y u u y u x ϕ=+=>⎧⎨=⎩【解】根据第一边值问题，构建的格林函数满足200()()xx yy G G G x x y y δδΔ=+=−−−0|0y G ==0000(,),(,)x y x y −处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构建格林函数为2200002200()()1(,|,)ln[]4π()()x x y y G x y x y x x y y −++=−+−边界外法线方向为负y 轴，故有0000222222000000111||=2π()π()π()y y y y G G n y x x y x x y x x y Σ=∂∂=−−−=−∂∂−+−+−+代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（5.2. 13），拉普拉斯方程的自由项0f =,则由000(,)()(,)()d ()]d T G u G f V S ϕΣ∂=−∂∫∫∫∫∫w r r r r r r r n得002200()(,)d π()y x u x y xx x yϕ+∞−∞=−+∫(5.4.3)或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式（5.2.22）0000(,)()()]d G u S ϕΣ∂=−∂∫∫w r r r r n 得到00220()(,)d π()g x y u x y x x x y+∞−∞=−+∫(5.4.4)公式（5.4.3）或（5.4.4）称为上半平面的拉普拉斯积分公式．2 . 泊松方程的第一边值问题求解例5.6.2 定解问题：(,) (<<+,0)(,0)() (<<+,0)xx yy u u f x y x y u x x x y ϕ+=−−∞∞>⎧⎨=−∞∞=⎩根据第一类边值问题的解公式(5.2.5)得到00000000000(,)(,)(,;,)(,)d d ()|d y G u x y G x y x y f x y x y x x ϕ+∞+∞+∞=−∞−∞∂=−∂∫∫∫0n r r （5.4.5）根据半平面区域第一类边值问题的格林函数(5.4.2)式，得到2200002200()()1(,|,)ln[]4π()()x x y y G x y x y x x y y −++=−+−(5.4.6)因为边界上的法线为负y 轴，故002200||π[()]y y G Gn y x x y Σ=∂∂=−=−∂∂−+(5.4.7)将（5.4.6）和(5.4.7)代入（5.4.5）得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解22000000002222000()()()11(,)ln[](,)d d d 4π()()π()x x y y y x u x y f x y x y x x x y y x x yϕ+∞+∞+∞−∞−∞−++=+−+−−+∫∫∫5.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物理模型:yzx0000(,,)M x y z1000(,,)M x y z −(,,)M x y z 图 14.1例5.4.3在上半空间0z >内求解拉普拉斯方程的第一边值问题00,(0)|(,)xx yy zz z u u u z u x y ϕ=++=>⎧⎨=⎩【解】构建格林函数000(,,,,,)G x y z x y z 满足0000()()()|0 z G x x y y z z G δδδ=Δ=−−−−⎧⎨=⎩00111(,)4π||4π||G =−−−r r r r r r 根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为022222200000011(,)4π()()()4π()()()G x x y y z z x x y y z z =−−+−+−−+−++r r (5.4.8)即有为了把0(,)G r r 代入拉普拉斯第一边值问题的解的公式（5.2.22），需要先计算|zGn =∂∂即为0|z Gz =∂−∂00002220000022200002223/200||11 [()4π()()()1 +()]|()()()1 =2π[()()]z z z G G n zz x x y y z z z x x y y z z zx x y y z ===∂∂=−∂∂∂=−∂−+−+−∂∂−+−++−−+−+代入（5.2.22）即得到00002223/200(,)(,,)d d 2π[()()]g x y z u x y z x y x x y y z +∞+∞−∞−∞=−+−+∫∫这公式叫作半空间的拉普拉斯积分．（5.4.9）根据图5.2，这两线电荷在圆内任一观察点()P ρ所产生的电势为0111ln ln2π||2π||u c λ=++−−b ρρρ当观察点P 位于圆周上()a ρ=时，应该有0u =，即满足第一类齐次边值条件|0u Σ=,即为2222001ln[2cos()]ln[2cos()]04π4πa a ab abc λρρθϕθϕ−+−−−+−−+=上式应对任何θ值成立，所以上式对θ的导数应为零，即02222002sin()12sin()04π2cos()4π2cos()a ab a a a b ab ρθϕλθϕρρθϕθϕ−−−−=+−−+−−即得到222200[2cos()][2cos()]0b a a a b ab λρρθϕρθϕ+−−++−−=要求上式对任意的值要成立，故提供了确定,b λ的方程θ2222000()()0220b a a b a b a b λρρλρρ+++=+=联立解得21, ab λρ=−=于是圆形区域()a ρ≤的第一类边值问题的格林函数为02001111(,)ln ln2π||2π||G a=−−−ρρρρρρ（5.4.10）即为224200222002cos()1(,)ln{}4π[2cos()]a a G a ρρρρθϕρρρρθϕ+−−=+−−ρρ(5.4.11)2222000,x y x yρρ=+=+.其中例5.4.4求解如下泊松方程定解问题2()(),()()|(), ()a u f a u a ρρϕθρ=Δ=−<⎧⎨==⎩ρρρ根据第一类边值问题解的公式(5.2.5)，并取沿垂直于圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的面积分化为线积分．故得到0000()(,)()d ()|d a S l Gu G f S l n ρϕθ=∂=−∂∫∫∫v 0ρρρρ根据构建的圆内第一边值问题的格林函数（5.4.11）002222||2π[2cos()]a a GGa n a a a ρρρρρρθϕ==∂∂−==−∂∂+−−（5.4.12）代入得到圆内第一边值问题的解为2422π0000000222000222π002202cos()1(,)ln{}()d d 4π[2cos()]1()d 2π2cos()a a a u f a a a a ρρρρθϕρθρρρϕρρρρθϕρϕϕϕρρθϕ+−−=+−−−++−−∫∫∫(5.4.13)例5.4.5在圆a ρ=内求解拉普拉斯方程的第一边值问题20,(0)|()a u y u f ρϕ=Δ=>⎧⎨=⎩【解】根据公式（5.4.5），故有222π002200222π002201(,)()d 2π2cos()()d 2π2cos()a u f a a f a a a ρρϕϕϕρρθϕϕρϕρρθϕ−=+−−−=+−−∫∫（5.4.5）。

第十章习题课-武汉大学数学物理方法

r3
gi :
x
−
3
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
Wuhan University
第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2

数学物理方法格林函数

演化问题的格林函数
演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到问题等价问题
Gt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G | t 0 ( x )
Gtt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G |t 0 0 G | t t 0 ( x )
演化问题的基本解
无界输运问题的求解
2 ut a u xx f ( x, t ) u |t 0 0
f ( x, t ) d d f ( , ) ( x ) (t )
0

t

2 Gt a G ( x ) (t ) G |t 0 0
2 ( x ) t exp 2 4a (t ) u d d f ( , ) 2a ( t ) 0
u( x, t ) d d f ( , )G( x, ; t, )
0

t

( x ) 2 exp 2 4 a ( t ) G 2a ( t )

应用（求解数学物理方程的格林函数法）

稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到原问题方程
u f ( r )
点源问题
G ( r r ' )
点电荷电场
V q (r r ' ) / 0
解
u

f (r ' )d ' 1 q G V 4 | r r ' | 4 | r r ' | 4 0 | r r ' |

数学物理方法--格林函数法

G(r , r0)r(r )dV T

1
4

f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n

f
第二边值问题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n

0
u(r0 )

1
4
G(r , r0)(r )dV T

(u
v n

v
u )dS n

T
(uv

vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题边界条件
泊松方程
u
[
u n

u]

()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件求通解＝积分

定解＝积分＋边界条件（格林函数法）
T

设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在上有连续一阶导数。由高斯定理

uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：

4 0 q
a r1

数学物理方程第四章(调和)

y
|
x0
,
y0
)
1 4π
ln[ ( x (x
x0 x0
)2 )2
( (
y y
y0 )2 y0 )2
]
数学物理方程
第4章调和方程
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，
v
1
u dS u[ ( )]dS
n
r 4r
1
4
u
1 r2
r 2d
u(r0 )
u(r0 ) v(r , r0 ) f (r )dV
T
u(r) [v(r , r0 ) n
u(r)
v(r,
r0
)
]dS.
n
这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程的基本积分公式。
令f=0,即得调和方程的基本积分公式：
d
(
x
)dx
g( x)d ( x) g(0)d ( x)
f ( x)g( x)d ( x)dx f ( x)[g(0)d ( x)]dx
数学物理方程
第4章调和方程
令
x
d ( x)dx
(x)
1, 0,
x0 x0
两边微商，得
因为
由傅里叶逆变换，得
拉普拉斯变换 L d (t t0 ) d (t t0 )e ptdt e pt0 ,
r2 a2

数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]

第五章格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+，（4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习题五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1）如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1）验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=，求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3）设()u u r =, 222z y x r ++=，求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5．设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10．求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11．设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。

[理学]格林函数的应用

就相当于所要求的格林函数。
2
1
G(M , M 0 ) 4rMM0 v,
(17)
u(M 0 )
f
(M )
GdS n
(20)
4.3.1 半空间的格林函数及狄利克雷问题
求解上半空间 z 0内的狄利克雷问题
uxx u yy uzz 0 (z 0),
(22)
u |z0 f (x, y), x, y , (23) 先求出格林函数G(M , M 0 ). 为此，在上半空间 z 0 的点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 处放置一单位正电荷，在点
1
4
1 rMM0
R rOM0
1 rMM1
.
(30)
记 r0 rOM0 , r rOM , r1 rOM1 , 是OM 0和OM 的夹角，则(30)式变形为
G(M , M 0 )
1
4
1
R
r02 r 2 2r0r cos r0
1
r12 r 2 2r1r cos
20
1
G(M , M 0 ) 4rMM0 v,
1
2
ln
1 rMM0
1 ln
rMM1
,
(24’)
12
u(M 0 )
C
f
(x,
y) G n
dS.
(20’)
为了求得G问(M题, M(20 )2’2)1(2l3n’r)M1的M0 解 ln，rM1需M1 要, 计算(2Gn4|’y)0 .
由于在边界 y 0 上的外法线方向是 oy 轴的负
向，因此，G
M 0 关于平面z 0的对称点 M1(x0 , y0 ,z0 ) 处放置一
单位负电荷。

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的球体中情况
为半径为中心任意小，则应考虑以若e 00)2(M r =1
),,()1(000-=----=D òòòòòò
dxdydz
z z y y x x dxdydz G e
t t
d ，由òòò
-=D ®e
t e )
2(1lim
Gdxdydz 即
îí
ì=Î----=D 0
|,),,(1000s t
d G M z z y y x x G 、三维我们已求得
思路t d Î----=D M z z y y x x G ),,,(:000Q 故希望将现在的定解问题看成两部分迭加,有意识使其中一部分为前面讨论过的
),(),(),(000M M g M M F M M G +=令)
(),(00M M M M F --=D d 使二、狄氏格林函数
ì Dg = 0 ï 对于三维问题即求 : í 1 ï g |s = - 4pr |s î ìDg = 0 ï 对于二维问题即求 : í 1 1 ï g |l = - 2p ln r |s î
三、用电象法求某些边界形状的狄氏格林函数

ìDu = 0 , r < a的解 ï 1、求í ïu |r = a = f ( M ) î
(5.2.12) 得 : 由P244
u(M ) = -
r1
M1
òò
s
¶G f (M 0 ) ds 0 ¶n0
1 G(M , M 0 ) = +g 4pr ìDg = 0 ï 1 í ïg |r =a = - 4pr + g î
r =a
r0
r1

(1)分析 : 求u ® 求G ® g 即求M点电位 ® 求边界面上感应电荷在M ìDg = 0 ï 产生电位í 1 ï g | r = a = - 4pr |r = a î

2、用电象法求 g（不好求） (1)若能在s外M 0的象M1点放一适当负电荷 - q 设之与M的距离为r1 -q 则 D( ) = 0 在s内 4pe 0r1 q 1 |s = |s 4pe 0r1 4pr q 则即为g 4pe 0 r1
(*)

\问题在于 : r1 = ? q = ? 虽然对于某些好的边界形状r1是易于确定的如 :
r
M
M0
M1
r1
故由 (*)可确定q
\ 求g ® (1)确定象点M 1 , (2)确定 q大小问题 ® 可由(*)

( 2 )求 G : ìì 1 +g ï ïG = 4pr ïí ïï r<a í îDg = 0 ï ï g |r = a = - 1 |r = a ï 4pr î OM 0 = r 0 , OM1 = r1 使r 0 × r1 = a
2
r1
M1
r rM 0 r1 r0
r0 a 即 = a r1
则M1 - M 0象点设 MM 0 = r , M1M 0 = r1

1 |s = ? 对于 M 在 r = a 上 r Q D OM 0 M ∽ D OM 1 M
r0 a r \ = = a r1 r1 1 r0 a |r = a = |r 即 r1 r
=a
a r0 1 |r = a = |r = a 4p r 4p r1
e 0a r 0 |r = a = 4pe 0 r1

e 0a -e 0 a r 0 - a r0 g = \q = = 4 pe 0 r1 4 p r1 r0
1 a r0 \G = 4pr 4pr1
(3)电象法：
这种在象点放一虚构的电荷
来等效代替界面上的感应电荷所产生的电位的方法称之为电象法
3 求 u(M )
2 r = r 2 + r 0 + 2 rr 0 cos g

2 r1 = r 2 + r1 - 2 rr1 cos g
¶G 1 é ¶ æ 1 ö a ¶ æ 1 öù ç ÷ú = ê ç ÷¶n 4p ê ¶r è r ø r 0 ¶r ç r1 ÷ ú è øû ë r0 a r = = 2 2 r1 r1 a Q r = r + r 0 - rr 0 cos g
1 = r
1
2 r 2 + r0 - 2 rr0 cos g
2 r 2 + r0 - r 2 ® r0 cos g = 2r
(*)

¶ 1 ¶ = ¶n r ¶r =*
1
2 r 2 + r 0 - 2 rr0 cos g r - r 0 cos g 2 2 + r 0 - 2 rr0 cos g
(r
)
3 2
=-
2 2 r 2 - r 2 - r0 + r 2
2 rr 3
=
2 r0 - r 2 - r 2
2 rr 3

格林函数演示
1 无穷大接地导体平面上方放一平行均匀带电直导线，导体所在半无界空间的静电场由对称性可归结为二维点源的边值问题。

2 无穷长接地导体圆筒内平行于筒轴放置一无穷长均匀带电直导线，筒内的静电场由对称性可归结为平面圆内点源的边值问题。

以下各图将演示场的等势线和电力线。