武汉大学数学物理方法
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武汉大学数学物理方法4_2Γ函数
取 z = n 反复应用 ( 3 ) G ( n + 1) = n G ( n ) = n ( n - 1) G ( n - 1) = n ( n - 1)( n - 2 ) × × × [ n - ( n - 1)] G (1) = n! ( 5 )
1o当0 < x < 1 由(1) : G( x)G(1 - x) = ò e -t t x -1dt ò e -s s - x ds
G , B 来计算 2 个积分
下面我们用 1.
ò
0 1 0
1
x 3 e - x dx
4 -1
=
òx
e
-x
dx = G ( 4 ) = 3 !
= 6
2. ò
1
x
1
2n 2
-1
1- x x
dx =
-1
ò
0
x
2n 2
1- x
dx + ò
0
1
x
2n 2
1- x
dx
2
= 2ò
0
2n 2
1- x
dx, (注意B函数定义 )令x = t
p
于是得证
三. Γ函数是半纯函数 1.定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的函 数称为半纯函数. 2. Γ函数可延拓到除z=0,-1,-2…,n外的全平面. 3. Γ函数是半纯函数 4.利用函数关系可进行解析延拓.(见下页) 5. Γ函数的性质在全平面除z=0,-1,-2…外均成立.
(接上页性质 4 ) 如，由 P 87 知 B ( p , q ) = ò x p -1 (1 - x ) ( q -1) dx ,
¶ς ¶t ¶η ¶t ¶ξ ¶s -1 ¶η ¶s
武汉大学数学物理方法3_4罗朗级数
¥ 1 1 = = -å zk z -1 1- z k =0
\ f (z ) =
å (2
k =1
¥
k -1
1 - 1 k ,T展 z
)
(2 )以 z = 0 为中心
最后形式
1
o
å
k
c k z k , 范围 1o z < 1, 2 o1 < z < 2 ,3 o z > 2
T 展开
见 (1 )
2o
1< z < 2
k k =0
-1
¥
k
对于
å c (z - b )
k =0 k
k
: 在 z - b < R 内绝对收敛
在 z - b £ R ¢ < R 上一致收敛且和函数 f1 (z )解析
对于 å ck ( z - b ) = å c- k ( z - b )
k k = -1 k =1
-¥
¥
-k
1 ö æ = å c- kx ç x = ÷ z -bø è k =1
四、展开方法 1.直接利用展开定理(机会较少) 2.利用常用函数的T展开公式通过种种手段展开
例 : 将函数 f ( z ) =
(z - 1 )(z - 2 )
1
(1)在 z = 0的邻域中展开
(2 )以 z = 0 为中心展开 (3 )在环域 z - 1 > 1中展开
(4 )在奇点的去心邻域中展
1
开
1 1 解 : f (z ) = = (z - 1)(z - 2 ) z - 2 z - 1
(1 )z
= 0 的邻域 : 即 z < 1
×× 1 2
k
武汉大学：数学物理方法课件1_2三类数理方程的导出
Q u q= = K tS n
k 导热率
(3)热源强度:单位时间,单位体积放出热量
Q F= tV
2,分析: (1)研究的问题: [热量流动,是由温差造成]设u为温度 (2)已知:
Q C,ρ,k是常数
(3)方法: 与上面的方法相同
∴ u = u ( x,t )是一维问题
3,研究,建立方程: (1)考虑任一 x段在 t时间热量情况:
§1.2
三类数理方程的导出
一,弦的横振动: 1,物理模型:细长柔软弦,紧绷于A,B 之间,做微小横振动,求运动规律
2,分析:
α
(1)研究何问题: u(x , t) 为弦位移, 取如图所示坐标系 即平衡位置
α
1
2
T2
T1
x
x + x
(2)已知:
线密度 ρ ( x , t ) = ρ (t ), 重量不计 张力 T ( x, t )为切线方向 u 2 ux = 是小量 , u x = 0 x (3)研究方法:
2
∴由胡克定律可得: T ( x , t ) = T ( x ), (t ) = ρ ρ
又 sin x =
tgx 1 + tg 2 x
2
=
ux 1+ ux
2
= ux
∴ cos x = 1 + u x = 1 即 cos x1 = cos x2 = 1
代入<1> T1 = T2 = T 代入<2>
T [u x ( x + x1t ) u x ( x,t )] + F ( x + η 2 x1t ) x
ψ h ih = ψ + U ( r )ψ t 2
武汉大学数学物理方法5_5多值函数的积分
0 1+ x
f (z) = za -1
1+ z
za -1
=
1 z1-a
,0 < a
<1
\ f (z )的支点： 0, ¥ ; 奇点 : z = - 1
1.从 0 ® ¥ 沿正实轴作割线，划出 单值区域
cR
ce e
R
2.选如图所示路径
ò ( ) ( ) 则 R
ò e
xei0 a -1 1+ xei0 d
ce 1 + z
1-e
1-e
Ⅴ
=
lim
z® -
1
é êë
(
z
+ 1)×
z a -1 ù z + 1 úû
=
e (a -1 )p i
=
e -api
[ ]ò \ 1 - e i 2p (a -1) ¥ x a -1 dx = 2p ie ip (a -1) 0 1+ x
ò¥ xa -1
0 1+ x
dx
ò Ⅲ = -
¥ x a -1e i 2p (a -1 ) dx
0
1+ x
ò Ⅱ £
z a -1 dz £ R a -1 × 2 p R = 2 p R a ¾ R¾®¾¥ ® 0
cR 1 + z
R -1
R -1
ò Ⅳ £
z a -1 dz £ e a -1 × 2p R = 2pe a ¾e¾®¾0 ® 0
=
2pie ip (a -1) 1 - e i 2p (a -1)
=
2pi e -ip (a -1) + e ip (a -1)
=
f (z) = za -1
1+ z
za -1
=
1 z1-a
,0 < a
<1
\ f (z )的支点： 0, ¥ ; 奇点 : z = - 1
1.从 0 ® ¥ 沿正实轴作割线，划出 单值区域
cR
ce e
R
2.选如图所示路径
ò ( ) ( ) 则 R
ò e
xei0 a -1 1+ xei0 d
ce 1 + z
1-e
1-e
Ⅴ
=
lim
z® -
1
é êë
(
z
+ 1)×
z a -1 ù z + 1 úû
=
e (a -1 )p i
=
e -api
[ ]ò \ 1 - e i 2p (a -1) ¥ x a -1 dx = 2p ie ip (a -1) 0 1+ x
ò¥ xa -1
0 1+ x
dx
ò Ⅲ = -
¥ x a -1e i 2p (a -1 ) dx
0
1+ x
ò Ⅱ £
z a -1 dz £ R a -1 × 2 p R = 2 p R a ¾ R¾®¾¥ ® 0
cR 1 + z
R -1
R -1
ò Ⅳ £
z a -1 dz £ e a -1 × 2p R = 2pe a ¾e¾®¾0 ® 0
=
2pie ip (a -1) 1 - e i 2p (a -1)
=
2pi e -ip (a -1) + e ip (a -1)
=
第十章习题课-武汉大学数学物理方法
r3
gi :
x
−
3
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
Wuhan University
第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2
武汉大学：数学物理方法课件1_2Legendre多项式
( )
l
(13)
2.积分式
ξ -1) ( 1 Pl ( x ) = dξ ∫ l* l l +1 2π i 2 (ξ - x )
2
(14 )
*Legendre:(1752.9~1833.1)常和拉格朗 日(Lagrange)和拉普拉斯(Laplace)并称 为法国数学界的“三L”。他在数论、 椭圆函数等方面有重要贡献。在确定彗 星轨道论文(1805)中比高斯更早的发现 了最小二乘原理。
0
l (l + 1) ∴ c2 = c0 2 ⋅1
x1 : 3 ⋅ 2c3 - 2c1 + l (l + 1)c1 = 0
l ( l + 1) - 2 ∴ c3 = c1 3⋅2 l (l + 1) - k ( k + 1) ] [ k x : ck + 2 = ck ( k + 2) ⋅ (l + 1)
( 2l - 2 ) ! 由此得： cl -2 = ( -1) l 2 ( l - 1) ! ( l - 2 ) !
( 2l - 4 ) ! cl-4 = ( -1) l 2 2! ( l - 2 ) ! ( l - 4 ) !
2
( 2l - 2n )! cl -2 n = ( -1) l 2 n ! ( l - n ) ! ( l - 2n ) !
( 3)
l + l -2⋅3 ∴ c4 = c2 4⋅3
2
= ( -1)
2
( l - 2 ) l ( l + 1) ( l + 3)
4!
c0
c5 = ( -1)
2
( l - 3) ( l - 1) ( l + 2 ) ( l + 4 )
武汉大学数学物理方法4_1解析延拓函数
第四章解析延拓·Γ函数§4.1 解析延拓一.解析延拓前言：前面我们已经从微积分，级数等不同的角度了解到解析函数具有很多优秀的性质，然而解析都是对一定的点和区域而言的，婴儿人们自然想到，若能通过某种方式将解析区域扩大，那就能使解析函数的优越性在更大范围内体现.所以，它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为解析延拓,即简单的说解析延拓是解析函数的定义域的扩大.本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上有用的积分г(x)延拓为г(z)中心：解析延拓和Γ函数目的：1.通过学习了解析函数的内唯一性定理，掌握初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的值唯一确定（这将为后一章留数定理计算实积分奠定基础）2. г(z)的定义性质又如：在留数定理一章中，若f(x)在实轴上无奇点，改写f(x)为f(z)。
这实为，将解析函数在实轴上的值延拓到全平面除f(z)的奇点的所有点.注意：推广：若ïïïïîïïïïíì····Îκ)2()(2)1()(1)(s s H z f H z f z f 的解析函数、或为则)...](3)(2)[(1)(x f x f x f z f但不能经奇点延拓出z ，若此例中z=1正是这个奇点的存在，决定了解析延拓过程中各幂级数的收敛半径×××××®®=Î=<ºÇ=++Þå¥=)()()(1z )()(,)(,1|:|:)()(,....32121101111321z f z f z f H z f z z f z z f z f k kn 沿任一解析点邻域：去掉又在中在，如解析延拓可以不断进行中在解析区域由s s s s s ss s s s注意：由解析函数的唯一性定理知，解析函数在一个邻域上的值可由它在该区域内任一条小弧段或一个特殊的点列(只要它有一个点属于这个区域)完全确定.这又一次反映出解析函数有十分严格的内在联系,即在某一区域,值完全唯一的确定了.[如:在全平面解析,而在Zn=1/n取值为1/n(n=1,2…) 的函数只有一个W=z.因为,点列{1/n}以z=0为聚点,而z=0落在函数的解析区域内,w=z满足全平面解析,且在Zn=1/n取值为1/n的条件, 根据唯一性定理,这样的函数只有一个]由此可断言,象等这些初等解析函数只能象§1.4 那样定义.如,Sin z 和均解析而他们在实轴上的一段由相等还可推断初等实函等式在复函中也成立,如sin2z和2sinzcosz均解析,而它们在实轴上相等sinx=2sinxcosx,所以,sin2z=2sinzcosz还有如,实轴上取值等于Sin x,而在全平面上解析的函数只有一个,这个函数就定以为Sin z二.解析延拓的唯一性..,)(:1.ii 2i 2恒等则它们在整个区域也必域中恒等的一个字区已知它么在和中解析的函数若有两个在区域唯一性定理g G f z f G 即可中，在当中在只要证当中在则中在解析若中在中解析在和若欲证上结论0)(,0)(,0)(,0)()()()(,)(.2ii 2i 2ii 2i 22ii 2i 2¹¹®ºº-=®º=®z F g z F G G z F z F g f z f z F f z f G G f z f s3.证)(:)(,,0)(,,0)(0,0)(])()([,])([)()()(ii 2i 2,2,1,022110见后页注即以此类推即必须为与题设矛盾则当fz f G z z F g z z F a a a a g z z F a b z a b z a a b z b z a a b z b z a z F n m m m m m m mk k k ºÎº+κ××××××\Îι\»××××-+-+®××××-+-=-=+++¥=åa a[ 设E是一点集，a是一点（不属于E），若在a的任一邻域内都有E的异于a的点，则a称为点集E的一个聚点（或极限点）。
武汉大学：数学物理方法课件2_1Bessel函数
+1 :
ν
(ν - ν )C0 = 0, 设 C0 ≠ 0
2 2
2 2 ( ν + 1) ν C1 = 0 → C 1 = 0
x v+k :
2 2 ( ν + k ) ν C k + C k -2 = 0
Ck -2 ∴ Ck = （3） k (2ν + k )
n m
n m ——称之为
J n ( x)
0 x 的第m个零点如： 1 = ?
0 , x2 =?
③本征值问题（9）～（10）或（9）’～（10）’
n 本征值为： m
k
=
n xm 本征函数为：y = Jn ρ a
n xm a
证：∵ 由（9）’=1有：y ( x ) = J n ( x ) 而由（10）’ 有 J n (ka ) = 0 即 ∴
由书p353，常微方程的级数解法知，
1 p( x ) = , x ν q( x ) = 1 - x
2
∴ x＝0为（1）的正则奇点，故
k+ρ y = C x ∑ k 1．令
∞
k =0
代入（1）：
∑(k + ρ)(k + ρ -1)Ck x + ∑(k + ρ)Ck x + ∑Ck x
(-1) x y = J ±ν ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ( ±ν + k + 1) 2
∞ k 2 k +ν
（**）
当 ν ≠ n : y c = Cν Jν ( x ) + dν J -ν ( x ) 当 ν = n : J - n ( x ) = (-1) J n ( x ) 2.
ν
(ν - ν )C0 = 0, 设 C0 ≠ 0
2 2
2 2 ( ν + 1) ν C1 = 0 → C 1 = 0
x v+k :
2 2 ( ν + k ) ν C k + C k -2 = 0
Ck -2 ∴ Ck = （3） k (2ν + k )
n m
n m ——称之为
J n ( x)
0 x 的第m个零点如： 1 = ?
0 , x2 =?
③本征值问题（9）～（10）或（9）’～（10）’
n 本征值为： m
k
=
n xm 本征函数为：y = Jn ρ a
n xm a
证：∵ 由（9）’=1有：y ( x ) = J n ( x ) 而由（10）’ 有 J n (ka ) = 0 即 ∴
由书p353，常微方程的级数解法知，
1 p( x ) = , x ν q( x ) = 1 - x
2
∴ x＝0为（1）的正则奇点，故
k+ρ y = C x ∑ k 1．令
∞
k =0
代入（1）：
∑(k + ρ)(k + ρ -1)Ck x + ∑(k + ρ)Ck x + ∑Ck x
(-1) x y = J ±ν ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ( ±ν + k + 1) 2
∞ k 2 k +ν
（**）
当 ν ≠ n : y c = Cν Jν ( x ) + dν J -ν ( x ) 当 ν = n : J - n ( x ) = (-1) J n ( x ) 2.
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充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)
在(x,y)处满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
f
(z)
zz
dz
dt
Argf '(z0)
导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过 =f(z)映射后通过z0的任何曲线 在z0的伸缩率
=f(z)
lim f (z) f (z0 ) lim exp( i) lim ei( )
zz0
z z0
zz0 r exp( i ) zz0 s
Cauchy-Riemann条件 必要条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点
z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在区 域B内可导 两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处处不可导
可导必连续
求导法则
d dz
1
2
举例
f (z) z2
实部
虚部
f (z) sin z
实部
虚部
最大和最小值只能在边界上达到
给定实部或虚部，求解析函数
例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。
例2：已知某解析函数 f(z)的虚部
v(x, y) x x2 y2 ,
求该解析函数。
第三节 解析函数的变换性质
第二章 解析函数
第一节 导数 第二节 解析函数 第三节 解析函数的变换性质 第四节 平面标量场
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在
/3
x
f(z)=z3
v
Oa
z ia
O
u
O
x
在解析变换下调和方程式不变的
设 =f(z)是某区域B内的解析函数，它将z
平面上的区域B变为 平面上的一个区域
D，而将B上的函数u(x,y)将为u( , )，则
有
2u x2
2u y 2
|
f
(z) |2
2u
2
2u
2
y
u(x,y)
z=x+iy可导，那么有 1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在；
x y x y 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
u v , v u x y x y
逆命题不成立
f (z)
Re
z Imz
xy ,
xy 0
i | xy |, xy 0
f(z)在z=0处不可导
解析函数是一个保角映射
=f(z)
解析函数 非解析函数： =Rez
解析函数将z平面上的区域变为 平面上 的区域
解析函数可以将z平面上的一个区域变换 为 平面上的一个区域，其中区域的边界
变换为区域的边界，甚至保持边界的方向 不变；同时区域的内部变换为区域的内部
y
v
B
D
O
x =f(z)
O
u
举例
y
O
d1
dz
d2
dz
d dz
1
2
1
d2
dz
2
d1
dz
d dz
1 2
12 12 22
d 1 dz dz d
dF() dF d dz d dz
几何意义
导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过 =f(z)映射后在z0处的 转动角
=f(z)
d df (z0 ) dz(t0 )
dt tt0
函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内 可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann 条件
4. 解析函数的充分条件
设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足 (1) u(x, y)和v(x, y)在B内的偏导数存在且连续； (2)在B内每一点满足Cauchy Riemann条件
解析函数的概念
设函数 =f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0 处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内 是解析函数
说明
1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数 在B内可导
2. 称函数的不解析点为奇点
3. 解析函数的充分必要条件
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , v 1 du
r r r r d
举例
dez ez dz d sin z cosz
dz
dLnz 1 dz z
d cosz sin z dz
d sinh z coshz dz
d coshz sinh z dz
第二节 解析函数
sin
1 zz
,
z0
0,
z0
其实部在原点不连续
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可 导的充分必要条件是
1. u(x, y),v(x, y)在(x, y)点处可微； 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 df (z) u i v v i u dz x x y y
那么f(z)在B内解析。
解析函数的主要性质
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1， v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则 u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
u( , )
B
D
O
x
=f(z)
O
第四节 平面标量场
用复变函数表示平面标量场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场 等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则 称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的 场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方 向的平面上的场，这样的场称为平面场。
取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来