武汉大学2008级数学物理方程试题
武汉大学高数上往届试题
武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。
2008年高考数学直线和圆的方程试题集
2008年高考数学第七章（直线和圆的方程）试题集锦2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I) 3.原点到直线052=-+y x 的距离为 A.1 B.3 C. 2 D.56.设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值A.-2B. -4C. -6D. -87设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a A. 1 B.21 C. -21 D.-12008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅱ) （5）同文科第6题（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 A ．3 B. 2 C. 31- D. 21-(14)设曲线axey =在点（0，1）处的切线与直线012=++y x 垂直，则a= .2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修1+选修Ⅰ) (4)曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (A)30°(B)45°(C)60° (D)12°(10)若直线by ax +＝1与图122=+y x 有公共点，则(A)122≤+b a(B) 122≥+b a (C)11122≤+ba(D)11122≥+ba（13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 .2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ） 7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-10．若直线1x y ab+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111ab+≤ D ．22111ab+≥13．同文科第13题2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数 学（文史类）6、同理科第4题2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'⨯=）4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A ．1133y x =-+ B ．113yx =-+C ．33y x =-D ．113yx =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是答案： 解析：所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离d=2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（文史类）(3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为(A)(x -1)2+(y +1)2=1 (B) (x +1)2+(y +1)2=1 (C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=1（15）已知圆C ： 22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x -y +2=0 的对称点都在圆C 上，则a = .2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类） (3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切（15）直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）2．设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．515．已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类） （2）同文科第2题 。
2008年湖北省高考数学试卷(理科)及答案
2008年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（）A．（﹣15，12）B．0 C．﹣3 D．﹣112．（5分）若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．4．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）B．（﹣4，0）∪（0.1） C．[﹣4，0）∪（0，1] D．[﹣4，0）∪（0，1）5．（5分）将函数y=sin（x﹣θ）的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则θ的一个可能取值是（）A．B． C．D．6．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．1507．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）已知m∈N*，a，b∈R，若，则a•b=（）A．﹣m B．m C．﹣1 D．19．（5分）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．16条B．17条C．32条D．34条10．（5分）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2；②a1﹣c1=a2﹣c2；③c1a2＞a1c2；④．其中正确式子的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）设z1是复数，z2=z1﹣i1，（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是﹣1，则z2的虚部为．12．（5分）在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为．13．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2﹣6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为．14．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{a x}的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=．15．（5分）观察下列等式：，，，，，，…，=．可以推测，当k≥2（k∈N*）时，=a k﹣2三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（t）=．（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数g（x）的值域．17．（12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．19．（13分）如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|﹣|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C过点P．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围．20．（12分）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i﹣1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．21．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，S n为数列{b n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．2008年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•湖北）设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（）A．（﹣15，12）B．0 C．﹣3 D．﹣11【分析】先求出向量，然后再与向量进行点乘运算即可得到答案．【解答】解：∵=（1，﹣2）+2（﹣3，4）=（﹣5，6），=（﹣5，6）•（3，2）=﹣3，故选C2．（5分）（2008•湖北）若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件【分析】找出A，B，C之间的联系，画出韦恩图【解答】解：x∈A⇒x∈C，但是x∈C不能⇒x∈A，所以B正确．另外画出韦恩图，也能判断B选项正确故选B．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2008•湖北）函数的定义域为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）B．（﹣4，0）∪（0.1） C．[﹣4，0）∪（0，1] D．[﹣4，0）∪（0，1）【分析】函数的定义域要求分母不为0，负数不能开偶次方，真数大于零．【解答】解：函数的定义域必须满足条件：故选D．5．（5分）（2008•湖北）将函数y=sin（x﹣θ）的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则θ的一个可能取值是（）A．B． C．D．【分析】根据题设中函数图象平移可得F，的解析式为，进而得到对称轴方程，把代入即可．【解答】解：平移得到图象F，的解析式为，对称轴方程，把代入得，令k=﹣1，故选A6．（5分）（2008•湖北）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33种分法，分成2、2、1时，有种分法，所以共有种方案，故选D．7．（5分）（2008•湖北）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，故选C8．（5分）（2008•湖北）已知m∈N*，a，b∈R，若，则a•b=（）A．﹣m B．m C．﹣1 D．1【分析】通过二项式定理，由可得=b，结合极限的性质可知a=﹣1，b=m，由此可得a•b=﹣m．【解答】解：∵，∴=b，结合极限的性质可知，∴a=﹣1，b=m⇒a•b=﹣m故选A．9．（5分）（2008•湖北）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）A．16条B．17条C．32条D．34条【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数．【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y﹣2）2=132，圆心（﹣1，2），半径r=13过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+2×15=32条．故选C．10．（5分）（2008•湖北）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2；②a1﹣c1=a2﹣c2；③c1a2＞a1c2；④．其中正确式子的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【分析】根据图象可知a1＞a2，c1＞c2，进而根据基本不等式的性质可知a1+c1＞a2+c2；进而判断①④不正确．③正确；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2；【解答】解：如图可知a1＞a2，c1＞c2，∴a1+c1＞a2+c2；∴①不正确，∵a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|，∴a1﹣c1=a2﹣c2；②正确．a1+c2=a2+c1可得（a1+c2）2=（a2+c1）2，a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，即b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＞b2所以c1a2＞a1c2③正确；可得，④不正确．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2008•湖北）设z1是复数，z2=z1﹣i1，（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是﹣1，则z2的虚部为1．【分析】设出复数z1的代数形式，代入z2并化简为a+bi（a，b∈R）的形式，令实部为﹣1，可求虚部的值．【解答】解：设z1=x+yi（x，y∈R），则z2=x+yi﹣i（x﹣yi）=（x﹣y）+（y﹣x）i，故有x﹣y=﹣1，y﹣x=1．答案：112．（5分）（2008•湖北）在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为．【分析】利用余弦定理的变式化角为边，进行化简．【解答】解：由余弦定理，bccosA+cacosB+abcosC=bc×+ca×+ab×=故应填13．（5分）（2008•湖北）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2﹣6x+2，其中x ∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为∅．【分析】先通过f（x）的解析式求出f（bx），建立等量关系，利用对应相等求出a，b，最后解一个一元二次方程即得．【解答】解：由题意知f（bx）=b2x2+2bx+a=9x2﹣6x+2∴a=2，b=﹣3．所以f（2x﹣3）=4x2﹣8x+5=0，△＜0，所以解集为∅．14．（5分）（2008•湖北）已知函数f（x）=2x，等差数列{a x}的公差为2．若f （a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=﹣6．【分析】先根据等差数列{a x}的公差为2和a2+a4+a6+a8+a10=2进而可得到a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8，即可得到a1+…+a10=﹣6，，即可求出答案．【解答】解：依题意a2+a4+a6+a8+a10=2，所以a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8∴⇒log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=﹣6故答案为：﹣615．（5分）（2008•湖北）观察下列等式：，，，，，，…，可以推测，当k≥2（k∈N*）时，=a k=0．﹣2【分析】观察每一个式子当k≥2时，第一项的系数发现符合，第二项的系数发现都是，第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，=0．所以a k﹣2【解答】解：由观察可知当k≥2时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，=0，所以，第四项均为零，所以a k﹣2故答案为，0．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2008•湖北）已知函数f（t）=．（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数g（x）的值域．【分析】（1）将f（sinx），f（cosx）代入g（x），分子分母分别乘以（1﹣sinx），（1﹣cosx）去掉根号，再由x的范围去绝对值可得答案．（2）先由x的范围求出x+的范围，再由三角函数的单调性可得答案．【解答】解：（Ⅰ）=∵，∴=sinx+cosx﹣2=（Ⅱ）由，得∵sint在上为减函数，在上为增函数，又（当），即，故g（x）的值域为17．（12分）（2008•湖北）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=k）=，可出分布列，再由期望、方差的定义求期望和方差；（2）若η=aξ+b，由期望和方差的性质Eη=aEξ+b，Dη=a2Dξ，解方程组可求出a 和b．【解答】解：（Ⅰ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4分布列为：ξ01234P∴．．（Ⅱ）由Dη=a2Dξ，得a2×2.75=11，即a=±2．又Eη=aEξ+b，所以当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=﹣2；当a=﹣2时，由1=﹣2×1.5+b，得b=4．∴或即为所求．18．（12分）（2008•湖北）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．【分析】本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力．（1）若要证明AB⊥BC，可以先证明AB⊥平面BC1，由线面垂直的性质得到线线垂直．（2）要判断直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ的大小关系，可以先做出二面角的平面角，再根据三角函数的单调性进行解答．也可以根据（1）的结论，以以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量，求出两个角的正弦值，再根据三角函数的单调性解答．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=φ，于是在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a，AC=b，AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），，于是，．设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z），则由．得．可取n=（0，﹣a，c），于是与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角．，，所以，于是由c＜b，得，即sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，19．（13分）（2008•湖北）如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|﹣|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围．【分析】（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，由题意得|MA|﹣|MB|=|PA|﹣|PB|=﹣=2＜|AB|=4．由此可知曲线C的方程；（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得|MA|﹣|MB|=|PA|﹣|PB|=﹣=2＜|AB|=4．∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c=2，2a=2，∴a2=2，b2=c2﹣a2=2．∴曲线C的方程为．（Ⅱ）解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴⇔．∴．②设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得|x1﹣x2|=．③当E、F在同一支上时S△OEF=|S△ODF﹣S△ODE|=|OD|•||x1|﹣|x2||=|OD|•|x1﹣x2|；当E、F在不同支上时S△OEF=S△ODF+S△ODE=|OD|•（|x1|+|x2|）=|OD|•|x1﹣x2|．综上得S=，于是由|OD|=2及③式，△OEF=．得S△OEF若△OEF面积不小于2，即，则有⇔k2≤2，解得．④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为且k≠±120．（12分）（2008•湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i﹣1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．【分析】（1）分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围，注意实际问题x要取整．（2）一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期，则V（t）的最大值只能在（4，10）内达到，然后通过导数在给定区间上研究V（t）的最大值，最后注意作答．【解答】解：（Ⅰ）①当0＜t≤10时，，化简得t2﹣14t+40＞0，解得t＜4，或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．②当10＜t≤12时，V（t）=4（t﹣10）（3t﹣41）+50＜50，化简得（t﹣10）（3t ﹣41）＜0，解得，又10＜t≤12，故10＜t≤12．综合得0＜t＜4，或10＜t≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，4，11月，12月共6个月．（Ⅱ）（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在（4，10）内达到．由V′（t）=，令V′（t）=0，解得t=8（t=﹣2舍去）．当t变化时，V′（t）与V（t）的变化情况如下表：t（4，8）8（8，10）V′（t）+0﹣V（t）极大值由上表，V（t）在t=8时取得最大值V（8）=8e2+50=108.32（亿立方米）．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21．（14分）（2008•湖北）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，，其中λ为实数，n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b，S n为数列{b n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．（2）用数列a n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．【解答】解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（Ⅱ）解：因为b n=（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）+1=（﹣1）n•（a n﹣3n+21）=﹣b n又b1=﹣（λ+18），所以当λ=﹣18，b n=0（n∈N+），此时{b n}不是等比数列：当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，b n=0，S n=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，故知b n=﹣（λ+18）•（﹣）n﹣1，于是可得S n=﹣，要使a＜S n＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）得①当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）。
武汉大学2008级数学物理方程试题
武汉大学2009 —2010 学年度第 一 学期《数学物理方法》试卷（A ）学院 专业 班 学号 姓名 分数一．求解下列各题（10分×4=40分）1．一条弦绳被张紧于点（0，0）与（1，0）两端之间，固定其两端，把它拉成x A πsin 的形状之后，由静止状态被释放而作自由振动。
写出此物理问题的定解问题，并写出本征值和本征函数。
2．写出一维无界波动问题的达朗贝尔公式，利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==xu x u t x u u t t t xx tt sin cos )0,(0200 并画出t =2时的波形。
3．定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==><<=-====2,sin 1,)0,0(000202t t t l x x xx tt u x u t u t u t l x u a u ，若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。
4．计算积分⎰-=112)(dx x P x I l 二．（本题15分）用分离变量法求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<=-===x l u u u t l x Du u t l x x x x xx t π2cos 0)0,0(000三．（本题15分）有一内半径为a ，外半径为2a 的均匀球壳，其内、外表面的温度分 布分别保持为零和θcos ，试求此均匀球壳的稳定温度分布。
四．（本题15分）计算和证明下列各题：(1) （10分） dx x J x I ⎰=)(03（将计算结果中的贝塞尔函数化为零阶和一阶的，因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。
）(2) （5分）利用递推关系证明：)(1)()('0''02x J xx J x J -=五.（本题15分）设有一长为l 的圆柱，其半径为R 。
若圆柱的侧面及下底面（0=z ）接地，而上底面（l z =）保持电势分布为f (ρ)。
2008高考湖北数学理科试题附答案(word)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设(1,2)a =-,(3,4)b =-,则(2)a b c +=A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 2. 若非空集合,,A B C 满足AB C =，且B 不是A 的子集，则A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为A.38π B. 328πC. π28D. 332π4. 函数1()f x x=的定义域为 A. (,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1D. [4,0)(0,1)- 5.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是A.π125 B. π125- C. π1211 D. 1112π-6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A. 540B. 300C. 180D. 150 7.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-8.已知*m N ∈,,a b R ∈，若0(1)limm x x ab x→++=,则a b ⋅= A ．m - B ．m C ．1- D ．19.过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有 A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 . 12．在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .13.已知函数2()2f x x x a =++,2()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 .14.已知函数()2xf x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= .15.观察下列等式：2111,22ni i n n ==+∑ 2321111,326ni i n n n ==++∑ 34321111,424n i i n n n ==++∑ 454311111,52330n i i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212ni in n n n ==++-∑ 67653111111,722642ni i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测，当x ≥2（*k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 2k a -= .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若a b ηξ=+, 1E η=,11D η=,试求a,b 的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A B C 所成的角为θ,二面角1A B C A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.x t t e t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨⎪--+<≤⎩ （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i =）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）.已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 12.612 13.∅ 14.-6 15. 12k，0 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x xg x xxx x--=+++ 2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xxx x--=+1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+-- sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分） （Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得AD ⊥平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 则AA 1⊥底面ABC ， 所以AA 1⊥BC. 又AA 1AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1，又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=在Rt △ADB 中，sin ,ADABϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02πθϕ＜，＜，所以θϕ＜，解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,则B (0,0,0),A (0,c,0),1(0,,),C A c a 于是 221(,0,0),(0,,),BC b c BA c a =-= 221(,,0),(0,0,).AC b c c AA a =--=设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则由10,0,n BAn BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cy az +=⎧=可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC =＞，与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角.sin cos n AC n AC b a θ-β==11cos BA BABA BAa ϕ==所以sinϕ=于是由c ＜b即sin sin ,θϕ＜又0,2πθϕ＜，＜所以,θϕ＜19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a b y a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由.4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有 解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示）， S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆O D F O EF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆O EF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）解：（Ⅰ）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2+14t -40),5050441<+e化简得t 2-14t +40>0,解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜341，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0<t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在（4，10）内达到.由V ′（t ）=),8)(2(41)42341(41241-+-=++-t t c t t c tt令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去).当t 变化时，V ′(t ) 与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32a n -2n +14) =32(-1)n ·（a n -3n +21）=-32b n 又b 1x -(λ+18),所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－ λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立， 即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +) ，则令 得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a nnλ ①当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95,于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.1831853--<<--⇔a b b λ当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编7.1直线的方程
第七章 直线和圆的方程一 直线的方程【考点阐述】直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 【考试要求】（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 【考题分类】（一）选择题（共3题）1.（全国Ⅱ卷理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3 B ．2C ．13-D ．12-【答案】A【解析】1,02:11-==-+k y x l ，71,047:22==--k y x l ，设底边为kx y l =:3 由题意，3l 到1l 所成的角等于2l 到3l 所成的角于是有371711112211+-=-+⇒+-=+-k k k k k k k k k k k再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A【高考考点】两直线成角的概念及公式【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。
（人教版P49例7） 2.（全国Ⅱ卷文3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．5【答案】D 【解析】52152=+-=d【高考考点】点到直线的距离公式3.（四川卷理4文6）直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；（二）填空题（共2题）1.（江苏卷9）如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF的方程： ( ▲)011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。
武汉大学考研08电路真题答案
08年 1、 解： （1）+-SU2ΩRRI设12,I I 支路电流如图，则各支路电流如上图 已知12U V =，则1121U I A == 取如图所示的大回路作KVL ：1221212()4()4()10R R S I I I I I I I U U ++++++=- 化简1261062320R I I I ++=--，将12I A =代入可得210649R I I +=-① 小网孔列写KVL ：12114()10I I U U +=-，则2 4.5R I I +=-② 解方程可知22.5,7R I A I A ==-（2）右网孔列KVL ：1214()10R I R I I U -+=，代入数值求得0R = （3）取电压电流关联参考方向，则电源发出的功率：12()23(27 2.5)57.5S R P U I I I W =++=-⨯-+=2、 解：设支路电流1i ，则各支路电流如图所示：-20V1I i -1XI i I --0.5Ω左网孔列KVL ：110.5()20X i I i ++= 即11.50.520X i I +=①整个大圈列KVL ：110.5()0.5()20X I i I i I -+--= 将0.125X I I =代入可得1152016I i -=② 解①②构成的方程组，111.91,34.04,/8 4.26X i A I A I I A ==== 对右上的小网孔列KVL ：110.5()0X X I i R I i -+-= 则0.20X R =Ω3.解：并联部分的阻抗12112()()(2040)(20)1030204020R jX jX j j Z j R jX jX j j +-+-===-Ω+-+-整个电路的阻抗012203036.0656.31Z Z R j =+=-Ω=∠-Ω设总电压为参考向量01200UV =∠ 则总电流0001200 3.3356.3136.0656.31U I A Z ∠===∠∠-1X（1） 电源输出的有功功率0cos 120 3.33cos(56.31)221.66P UI W ϕ==⨯-= 电源输出的无功功率0sin 120 3.33sin(56.31)332.49var Q UI ϕ==⨯-=-（2） 功率表的读数'1cos ab L P U I θ=，其中1ab L U I θ 为超前的角度 并联部分的电压000213.3356.3131.6271.57105.2915.26U IZ V ==∠⨯∠-=∠- 则02111105.2915.26 2.3579.692040L U I A R jX j ∠-===∠-++ 00011 2.3579.692004779.69cb L U I R V ==∠-⨯∠=∠- 00023.3356.3110033.356.31ac U IR V ==∠⨯∠=∠ 则033.356.314779.6926.8818.5332.6534.58ab ac cbU U U j V =+=∠+∠-=-=∠-则00034.58(79.69)45.11θ=---=功率表的读数'01cos 32.65 2.35cos45.1154.15ab L P U I W θ==⨯=4.解：已知两功率表的读数0012cos(30)1980,cos(30)782AC A BC B P U I W P U I W ϕϕ=-==+=对称三相电源供电，则各相线电压、电流有效值均相等001002cos(30)cos(30)1980cos(30)cos(30)782AC A BC B U I P P U I ϕϕϕϕ--===++ 可得tan 0.751ϕ=，036.92ϕ=（1） 有功功率1219807822762P P P W =+=+= 无功功率0tan 2762tan36.922075.28var Q P ϕ===（2） 功率因数0cos cos36.920.80ϕ== （3） 已知线电压有效值380l U V =，则 5.25l I A ===则相电流有效值 3.03P l I I A === （4） 阻抗角036.92ϕ=，阻抗的模380||125.413.03l P U Z I === 所以电感和电阻之和0125.4136.92100.2675.33Z R j L j ω=+=∠=+Ω5.解：电路中含有两个独立电源，属于非正弦周期电路，采用叠加定理：（1）直流电源单独作用时，电感相当于短路，电容相当于开路，等效电路如图此时电路总电流0161.2||41U i A R R R ===++，各支路电流1(0)2(0)10.62i i i A ===已知电流表A2的读数为0.6A ，说明在交流电源作用时，电流表A2支路无电流，电路发生了并联谐振（2）交流电源单独作用时，各元件参数1238,300,500L L L X X X =Ω=Ω=Ω 等效电路如图：+-Su .C:1n由理想变压器的阻抗放大作用，当副边接一电容C 时，从原边看进去的等效电容为2n C 由于电路发生了并联谐振，则并联部分的复导纳2210j n C j L ωω+= 可得0.21C F μ=电路总阻抗011681053.13L Z R R jX j =++=+=∠Ω电路中电流001(1)800.853.131053.13s u i A Z ∠===∠∠ 则电流表A11A ==6.解：图（a ）中的零状态响应已知0.5()0.6250.125()tu t et V ε-=-若将（a ）中的电感换成2C F =的电容，则根据三要素法的性质：当电感换为电容时，若外电路保持不变，只将储能元件做变换，则满足一下关系： 变换后的初始值为变换前的稳态值，即：'(0)()0.6250.1250.625u u e V -∞+=∞=-=变换后的稳态值为变换前的初始值，即：'0()(0)0.6250.1250.6250.1250.5u u e V +∞==-=-=变换之前的时间常数22,1L s R R Rτ====Ω 则变换后因为外电路保持不变，等效电阻不变'122RC s τ==⨯=则由三要素法：''''0.5()()[(0)()]0.5(0.6250.5)()tt u t u u u ee t τε--+=∞+-∞=+-'0.5()0.50.125()t u t e t V ε-=+7.解：(1)开关闭合之前电路处于稳态，电容相当于开了，电感相当于短路，等效电路如图：+-Su电感电流(0)2L S i i A -==，对右网孔列KVL ：S C S Ri u u =- 则(0)110221C S S u u Ri V -=+=+⨯= 各元件的附加电源(0)4L Li mV -=，(0)21C u V s s-= （2）画出运算电路如图：()L I s sL+4mV由节点电压法3121/410()1/n S s sC U I sL sC sL-⨯+=+-整理化简可得221()2000n sU s s =+，电容电压就等于节点电压()()C n U s U s =221()2000C sU s s ==++其中122121(|20002s j s k s j s =-=++ 222121(|20002s j s k s j s ==-+（3） 由拉普拉斯反变换：11()[()]21cosC Cu t L U s L--===电容电流()()0.25(21cos)CCdu t di t Cdt dt===-8.解：（1）如图：左边列KVL：1211()()I i R I I Uj Cμω+++=，由于12i I I=+，代入整理可得：1211()()R I R I Uj C j Cμμωω++++=①右边同样列KVL：1222RI RI U+=②由①②可知网络N的Z参数矩阵为12R Rj C j CR Rμμωω+⎛⎫++⎪Ω⎪⎪⎝⎭（2）求图示网络的戴维南等效电路，'22-端接入电压电流如图：-S U则已知网络N的Z参数，列方程组：11111221122U Z I Z IU Z I Z I⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，左边列KVL：11S SR I U U=-代入第一个方程可得：12111SSU Z IIR Z-=+，将此结果代入第二个方程中可得：212112221111()S S S Z U Z Z U Z I R Z R Z =-+++ 可知开路电压2111S OC S Z U U R Z =+ ，等效电阻21122211eq S Z Z R Z R Z =-+代入Z 参数数值1SOCS RU U R R j Cμω=+++，等效电阻()21eq S R R j C R R R R j C μωμω+=-+++ 戴维南等效电路为：。
武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷及答案
武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》 （A 卷） （36学时用）学院： 学号： 姓名： 得分：一、（10分）已知)(x f y =的三个值（1）求二次拉格朗日插值 L )(2x ； （2）写出余项)(2x R 。
二、（10分）给定求积公式)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰-求出其代数精度，并问是否是Gauss 型公式。
三、（10分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的（范数用∞⋅）。
四、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。
迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(1011n x n e x -=+ 试分析这两个迭代格式的收敛性。
五、（12分）设方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212122211211b b x x a aa a ，其中02211≠a a ， 分别写出Jacob 及Gauss-Seidel 迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
六、（12分）已知)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ⎰2.20.1)(dx x f七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。
为使计算简单，分别用x =-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。
根据上面数据，求一条形如bx ax y +=2的最小二乘拟合曲线。
八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：⎩⎨⎧=+='1)0(2y y x y ]1,0[∈x 。
（取步长5.0=h ）九、（10分）对于给定的常数c ，为进行开方运算，需要求方程02=-c x 的根。
（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值c x >0, 牛顿迭代序列}{n x 单调减且收敛于c .。
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武汉大学2009 —2010 学年度第 一 学期
《数学物理方法》试卷（A ）
学院 专业 班 学号 姓名 分数
一．求解下列各题（10分×4=40分）
1．一条弦绳被张紧于点（0，0）与（1，0）两端之间，固定其两端，把它拉成x A πsin 的形状之后，由静止状态被释放而作自由振动。
写出此物理问题的定解问题，并写出本征值和本征函数。
2．写出一维无界波动问题的达朗贝尔公式，利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=-==x
u x u t x u u t t t xx tt sin cos )0,(0200 并画出t =2时的波形。
3．定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==><<=-====2
,sin 1,)0,0(000202t t t l x x xx tt u x u t u t u t l x u a u ，若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。
4．计算积分⎰-=1
12)(dx x P x I l 二．（本题15分）用分离变量法求定解问题
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===><<=-===x l u u u t l x Du u t l x x x x xx t π2cos 0
)0,0(000
三．（本题15分）有一内半径为a ，外半径为2a 的均匀球壳，其内、外表面的温度分 布分别保持为零和θcos ，试求此均匀球壳的稳定温度分布。
四．（本题15分）计算和证明下列各题：
(1) （10分） dx x J x I ⎰=)(03
（将计算结果中的贝塞尔函数化为零阶和一阶的，因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。
）
(2) （5分）利用递推关系证明：
)(1)()('0''02x J x
x J x J -=
五.（本题15分）设有一长为l 的圆柱，其半径为R 。
若圆柱的侧面及下底面（0=z ）接地，而上底面（l z =）保持电势分布为f (ρ)。
1）写出该圆柱的电势分布的定解问题；2）本征值和本征值函数；3）定解问题的通解。
参考公式
.。