武汉大学2014年数学分析真题
湖北省武汉市2014届高三11月调研考试 数学理试题 含解析
（考试时间：120分钟，满分150分）第I卷（共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数z＝错误!的共轭复数是（）A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i2．函数f（x）＝ln x的图象与函数g（x）＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G,H,则错误!＋错误!＝( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!4．已知正三角形ABC的顶点A（1，1),B（1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y)在△ABC内部,则z＝－x＋y的取值范围是（)A．（1－错误!,2）B．（0，2）C．(错误!－1,2）D．(0,1＋错误!）5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（) A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!8．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）A．错误!B．2 C．错误!D．错误!【答案】C【解析】9．椭圆C:错误!＋错误!＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2,－1］,那么直线PA1斜率的取值范围是（)A．［错误!，错误!] B．[错误!，错误!] C．［错误!,1] D．［错误!，1]10．已知函数f(x）＝cos x sin2x，下列结论中错误的是（）A．y＝f(x)的图象关于点（π，0）中心对称B．y＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称C ．f （x )的最大值为错误!D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分,共25分）.11．已知函数f （x )＝错误!则f (f (错误!）)＝ ．12．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）【答案】59015．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i,j（i,j∈N*)，则（Ⅰ)a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a＋b＋c)(a －b＋c）＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sin A sin C＝错误!,求C．cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C ∴-=+=-+13132242=+⨯= 6A C π∴-=或6A C π-=-12C π∴=或4C π=考点：1.余弦定理；2。
2014年湖北省高考数学文科试卷(含解析)
2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）绝密★启用前2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．2014•湖北卷]已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝()A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7}1．C解析]由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C.2．2014•湖北卷]i为虚数单位，1－i1＋i2＝()A．1B．－1C．iD．－i2．B解析]1－i1＋i2＝（1－i）2（1＋i）2＝－2i2i＝－1.故选B. 3．2014•湖北卷]命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∈/R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∈/R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x03．D解析]特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x20＝x0”.故选D.4．2014•湖北卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则2x＋y的最大值是()A．2B．4C．7D．84．C解析]作出约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7.故选C.5．2014•湖北卷]随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p25．C解析]掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝1036，p2＝2636，p3＝1836.故p16．2014•湖北卷]根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞06．A解析]作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线y^＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-1 7．2014•湖北卷]在如图1-1所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D解析]由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、2014•湖北卷]设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．38．A解析]由方程t2cosθ＋tsinθ＝0，解得t1＝0，t2＝－tanθ，不妨设点A(0，0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtanθ，该直线恰是双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、2014•湖北卷]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}9．D解析]设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．2014•湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.35511310．B解析]设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得136L2h≈13Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈275L2h时，π≈258.故选B.11．2014•湖北卷]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800解析]设乙设备生产的产品总数为n，则80－50n＝804800，解得n＝1800.12．、2014•湖北卷]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→•OB→＝0，则|AB→|＝________．12．25解析]由题意知，OB→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25. 13．2014•湖北卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________．13.π3或2π3解析]由正弦定理得asinA＝bsinB，即1sinπ6＝3sinB，解得sinB＝32.又因为b>a，所以B＝π3或2π3.14．2014•湖北卷]阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067解析]第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；……所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067. 15．2014•湖北卷]如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.0，16解析]“∀x∈R，f(x)>f(x－1)”等价于“函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．2014•湖北卷]某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100解析](1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v•121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋100＝76000v＋100v＋18≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．2014•湖北卷]已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－12(2)12解析]设点M(cosθ，sinθ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cosθ－b)2＋sin2θ＝λ2（cosθ＋2）2＋sin2θ，即－2bcosθ＋b2＋1＝4λ2cosθ＋5λ2对任意的θ都成立，所以－2b＝4λ2，b2＋1＝5λ2.又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得b＝－12，λ＝12.18．、、、2014•湖北卷]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t所以π3≤π12t＋π3当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. 19．、、2014•湖北卷]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)•4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n此时不存在正整数n，使得Sn>60n ＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n2＋（4n－2）]2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、2014•湖北卷]如图1-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.21．2014•湖北卷]π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝lnxx的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即ln3e于是根据函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即lnππ由lnπππ3.由ln33综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．2014•湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组y－1＝k（x＋2），y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③(i)若Δ12.即当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若Δ＝0，x00，x0≥0，由②③解得k∈－112或－12≤k即当k∈－1，12时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈－12，0时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若Δ>0，x0即当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)部分试题解析版Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）部分解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}6,5,3,1{=A ，则=A C U （ ）A.}6,5,3,1{B. }7,3,2{C. }7,4,2{D. }7,5,2{2. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1 B. 1- C. i D.i -3. 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A. R ∉∀x ，x x ≠2B. R ∈∀x ，x x =2C. R ∉∃x ，x x ≠2D. R ∈∃x ，x x =24.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（ ）A.2B.4C.7D.85.随机投掷两枚均匀的投骰子，学 科 网他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ）A. 321P P P <<B. 312P P P <<C. 231P P P <<D. 213P P P <<6.根据如下样本数据：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a7.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②8.设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（ ）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{2-D.{2--10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.355113二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.12.若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，0=∙OB OA ，则=||AB ________.13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B ________.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 .15.如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .16.某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为lv v vF 2018760002++=（1）如果不限定车型，05.6=l ，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，5=l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.17. 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ .。
14年高考真题——文科数学(湖北卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,5,6A =，则U A =ð（ ）（A ）{}1,3,5,6 （B ）{}2,3,7 （C ）{}2,4,7 （D ）{}2,5,72．i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 3．命题“x R ∀∈，2x x ≠”的否定是（ ） （A ）x R ∀∉，2x x ≠（B ）x R ∀∈，2x x = （C ）0x R ∃∉，200x x ≠ （D ）0x R ∃∈，200x x = 4．若变量,x y 满足约束条件420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）7 （D ）8A ．B ．C ．D ．5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ）（A ）123p p p << （B ）213p p p << （C ）132p p p << （D ）312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为y bx a =+，则（ ） （A ）0a >，0b <（B ）0a >，0b > （C ）0a <，0b < （D ）0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2。
给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） （A ）①和② （B ）③和① （C ）④和③ （D ）④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）39．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为（ ）（A ）{}1,3 （B ）{}3,1,1,3-- （C ）{}2- （D ）{}2-10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也。
2014湖北省高考数学试卷(文)答案解析
2014湖北省高考数学试卷（文）答案解析2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.为虚数单位，则（）A.B.C.D.3.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，4.若变量、满足约束条件，则的最大值是（）A.2B.4C.7D.85.随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为，点数之和大于5的概率为，点数之和为偶数的概率为，则（）A.B.C.D.6.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（）A.B.C.D.7.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②8.设、是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为（）A.0B.1C.2D.39.已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）A.B.C.D.10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.B.C.D.二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.12.若向量，，，则________.13.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则________.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为.15.如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.若，，则正实数的取值范围是.16.某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时.17.已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上那个任意一点，都有，则（1）；（2）.。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·湖北(理科数学)
2014²湖北卷(理科数学)1．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i1．A [解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A. 2．[2014·湖北卷] 若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B.54C ．1D.242．C [解析]展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C.3．[2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析]若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.4．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <04．B [解析]观察图象可知，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.故a >0，b <0.故选B. 5．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A ．①和②B5．D [解析]由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．36．C [解析]由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ²x 2d x ＝x 4411＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.故选C . 7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12³2³2＝2，S △BCE ＝12³1³12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.3551138．B [解析]设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．29．A [解析]设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13³3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 10．B [解析]因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 11．[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．11．±3 [解析]因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．2 [解析]依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1³sin45°，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．[2014·湖北卷] 设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．13．495 [解析]取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495.14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析]设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)． 15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲) 如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D ________．15．4 [解析]由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1³(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 16.()3，1 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1. 17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ .(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →²n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20．、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4³0.93³0.1＝0.9477. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000³1＝5000.②安装2台发电机的情形． 依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000³2＝10000，因此P (Y ＝10000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3所以，E (Y )＝4200³0.2＋③安装3台发电机的情形． 依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000³2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000³3＝15000，因此P (Y ＝所以，E (Y )＝3400³综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 21．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx 的单调区间；(2)求e 3，3e，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln3<eln π，πlne<πln3，即ln3e <ln πe ，lne π<ln3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln33<lnee .由ln ππ<ln33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3；由ln33<lnee，得ln3e <lne 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<lne e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e，即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7³⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7³(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >lne 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.第11 页共11 页。
2014年高考文科数学湖北卷及答案解析
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共6页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð( )A .{1,3,5,6}B .{2,3,7}C .{2,4,7}D .{2,5,7} 2.i 为虚数单位，21i ()1i-=+( )A .1B .1-C .iD .i - 3.命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是( )A .x ∀∉R ，2x x ≠B .x ∀∈R ，2x x =C .x ∃∉R ，2x x ≠D .x ∃∈R ，2x x =4.若变量x ，y 满足约束条件420,0x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤，≤，≥≥，则2x y +的最大值是( )A .2B .4C .7D .85.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则( )A .123p p p ＜＜B .213p p p ＜＜C .132p p p ＜＜D .312p p p ＜＜6.得到的回归方程为y bx a =+，则( )A .0a ＞，0b ＜B .0a ＞，0b ＞C .0a ＜，0b ＜D .0a ＜，0b ＞7.在如图所示的空间直角坐标系-O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②8.设a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x yθθ-=的公共点的个数为 ( )A .0B.1C .2D .39.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-.则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 ( )A .{1,3}B .{3,1,1,3}--C .{2D .{2-10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B .258C .15750D .355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12.若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，||||0OA OB =， 则||AB = .13.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知π6A =，1a =，b =，则B = . 14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________15.如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成.若x ∀∈R ，()(1)f x f x -＞，则正实数a 的取值范围为 .16.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时.17.已知圆O :221x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)(2)B b b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b = ； （Ⅱ）λ= .三、解答题:本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin ,[0,24).1212f t t t t =-∈（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n +＞？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点.求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN . ss21.（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=…为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -.求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.M2z xy =+，所以00z =，4A z =，7B z =，4C z =，故2x y +的最大值是7，故选C ．)5.57.95=图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．5(,O B x=(1,OA =-||||OA OB =，0OA OB =，1y =⎩ ，所以(3,1)OB =故(2,4)AB OB OA =-=2||2AB =【答案】π212kk ++++++的值，(9212212912-++++++=-【考点】循环结构的程序框图101)442n =-.显然2n <故直线1BC EFPQ ∥平面.1ACCC C =，所以ACC ⊂平面M ，N 分别是PNMN N =【考点】空间中的线面平行与垂直的判定11)(,)2+∞10){1,}2-时，直线0,0,由②③解得11)(0,)2时，直线恰好有三个公共点1(,1)(,){0}2∈-∞-+∞时，直线10){1,}2-时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；1)(0,)2与轨迹C 恰好有三个公共点【考点】轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式 【解析】选C . 因为1r T += r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1. 3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A = ，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D . 6.若函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C . 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114 (1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f、)(x g不为区间]1,1[-上的正交函数；对③，1341111()|04x dx x--==⎰，则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤2xyyx确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21yxyx，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDF CEFBDFS SPS⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。