武汉大学数学分析考试解答
武汉大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目名称：数学分析 科目代码：369
一、计算下列各题：
1． 2.
2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1n n n
n n n a a a a n a a a a a a
→∞→∞+++>-=-=---lim(sin 1sin )
11lim 2sin()cos
2211lim 2sin cos 22(1)
x x x x x x x x x
x x x x →∞
→∞→∞+-+-++=++=++= 3.
4.
20
30
220sin()lim
sin()lim (')313x x x t dt
x x L Hospital x →→==?法则2
1
11
arctan
2arctan(21)arctan(21)244
k k k k k πππ∞
=∞
==+--=-=∑∑ 5.
4812
4812323
3
1...
()59!13!1()...3!11!15!
()()sin ()4()()()24x x A B e e A x B x x
A e e e e
B A x B x π
π
πππππππππππππππππππ---+
+++=
++++-?-=??==?--+=
??！7！
6.
"
'2"22'
2(,)()(),()(,)
(,)()()()()
(,)()(23)()(1)()xy
x xy y
xy
x y y
xy F x y x yz f z dz f z F x y F x y z f z dz x xy xf xy x x F x y f x y f xy xy y f xy y y
=-=-+-=
+-+-??设：其中为可微函数，求
二、设113(1)
0(1,2,3...)3n n n
x x x n x ++>=
=+，，，证明：lim n n x →∞存在，并求出极限
证明：
2
11113(1)333(33)(3)
33(1)3,3(2)3,3
3
n n
n n n n n
n n n
n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x +++++--=-=
++---=
+>>><<<当不难证明当不难证明得到单调有界数列，所以存在极限，不难知极限为
三、(),()[,](,)'()0f x g x a b a b g x ≠设在上连续，内可导，，
()()'()
(,)()()'()
f a f f a b
g g b g ξξξξξ-?∈=-证明：，使
证明：（另外，还可以用上下确界的方法做）
()()()()()()()()()()()
(,),
'()'()()()'()'()()()'()0()'()()'()'()()'()()'()(()())'()(()()H x f x g x f x g b f a g x H a f a g b H b Rolle a b H f g f g f g b f a g f g f a g f g b f g g f f a f g b g ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ=--=-=∈=+--=-=-?-=-构造辅助函数根据中值定理，存在整理：)'()0,()()()0g x g x g b g ξ≠-≠从而单调，从而原式成立
四、讨论22
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy
x y f x y x y x y ?≠?=+??=?
在（0，0）点的连续性和可微性
解：（1）连续性：
22
22(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)2,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)0lim (,)lim lim lim 01()
x y x y x y x y xy
x y f x y x y
x y xy y
f x y y y x y x
→→→→?≠?=+??=?
≤==≤=++从而知连续
（2）可微性
3
22223
222232()()(,)(,)1()1f y x x y x y f x y x y x y x y ky y f x k f
y
?=
?++?=
?++=?=?+??显然不连续同样
不连续。所以不可微
五、计算曲线积分L
I ydx zdy xdz L =
++?
，其中为圆周：
2222
(0)0
x y z a a x y z ?++=>?
++=?，L 的方向是：从x 轴的正方向看过去为逆时针方向.
解：
2222
'
20()()()(2),'33(
)33
L
L
L S
x y z a x y z I ydx zdy xdz y dz dy zdy y z dz
z y dy y z dz L L yz a
dydz a a ππ?++=??
++=?=++=
--+-+=
--+=-=-=-?
?
?
??为在平面的投影
六、计算曲面积分2
22,,S
I yzdxdy zxdydz xydzdx S x
y R z h
=
+++==??其中为由：（h,R>0）及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧. 解：另外可以用Stokes 公式做
20
00
220
22
()(cos sin )(cos sin )4
S
h
a
V h
a h
a I yzdxdy zxdydz xydzdx
y z x dxdydz r r z drd dz
dz d rdr zdz d dr
h a ha π
ππθθθθθθθπ=++=++=++=++=+
??????
??
??????
七、证明：
21
(1)[0,1]n
n x
x ∞
=-∑在上一致收敛
解：
2
2
2
2
1
0,1,[0,],,2
1(1)(1)11,[1],1,2
1(1)(1)(1)11
0,,N
M N
M
n
N
N n N
M N M
n
N
n N
N
x N M
x x x x x x x x N M
x x x x x x x N Cauchy ε
εδδε
εε
δδεεεε
-=-=?>?<<∈?=?--=-<<-?<<∈-?=?--=-<-<-?>=∑∑(1)对取1-(2)取1-，所以，对只要根据收敛准则知一致收敛
八、证明积分
200
cos()
||1p
x dx p p x +∞
≤
在上一致收敛 解：另外可以用积分判别法的Dirichlet 定理做
2
002
10
020*******cos()cos()
cos cos 221(0,1)
2cos sin sin |2220,sin sin sin 24p p p a a a a M
M
M a a N N
N x x dx d x
x x x x dx dx x x p a x x a x
dx dx x x x
N a x a x dx dx xdx x x
εε+∞+∞+∞+∞++∞+∞+∞+++===+=∈=+>≤
?对任意不难证明足够大的时候：
从而得证