(最新)[武汉大学]2015数学分析

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武汉科技大学_840 数学分析-2015(A卷答案)考研真题

武汉科技大学_840 数学分析-2015(A卷答案)考研真题

二O一五年招收硕士研究生入学考试试题参考答案(A 卷)一、选择题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1.A2. B3.B4.C5. B二、填空题(本大题共5小题, 每小题6分, 共30分)1、 2、0)4()1(2)2(4=---+-z x x π3、4、2π⎰+y y yf dx x f 0)(2)(5、 31三. 计算题(本大题共3小题, 每小题10分, 共30分)1.解:两曲线的交点为(0,0),(1,1) (2分)所求的面积为: (4分)31)(102=-⎰dx x x 所求的体积为: (4分)103)(105ππ=-⎰dx x x 2.解:设,,收敛半径为1,收敛域∑∞=+=1)1()(n n n n x x f 1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n [-1,1] (4分)),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n (3分))10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x xx dt t f x f x x =0级数为0,x =1,级数为1,x =-1,级数为1-2ln2 (3分)3. 解:,224y x z --=y x y x y y x x S d d 441d 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= (3分)y x zy x y x d d 2d d 4222=--=且 4|),(22≤+=y x y x D (4分)()()y x y x S z y z xD S d d 2d 2222⎰⎰⎰⎰⋅+=+∴ r r r d d 220220⎰⎰⋅θ=π []2022042⎥⎦⎤⎢⎣⎡π⋅θ⋅=π= (3分)π=⋅π⋅16422四、证明题(本大题共4小题,,每小题15分,共60分)1. 证明:设函数在有界,则在必有上确界和下确界 (3分))(x f ],[b a ],[b a 一方面,,所以{}{}],[,,)(inf )(sup )()(],[],[b a y x x f x f y f x f b a x b a x ∈∀-≤-∈∈ (5分){}{}{}{},)(inf )(sup )()(sup )()(sup],[],[],[,],[,x f x f y f x f y f x f b a x b a x b a y x b a y x ∈∈∈∈-≤-=- 另一方面, (2分)],[,)()()()()()()(b a y x y f y f x f y f y f x f x f ∈∀+-≤+-=所以{)],[,),()()(sup )(],[,b a y x y f y f x f x f b a y x ∈∀+-≤∈进一步{){}],[,)(inf )()(sup)(],[],[,b a x y f y f x f x f b a y b a y x ∈∀+-≤∈∈从而 (5分){}{}{})(inf )(sup )()(sup],[],[],[,x f x f y f x f b a x b a x b a y x ∈∈∈-≥-2. 证明:考虑函数在条件下的极值问题,2nn y x z +=)0 ,0 ,0( ≥≥>=+y x a a y x 设(5分)).()(21),(a y x y x y x F n n -+++=λ解方程组(5分)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂--002211a y x F y n y F x n x F n n λλλ可得从而.2a y x ==.222nn n n y x a y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+如果时,则结论显然成立. (5分)0==y x 3.证明: (4分)||||022xy y x xy≤+≤=0所以函数在(0,0)点连续, (3分)22)0,0(),(lim y x xy y x +→又,存在切等于0, (4分)00lim0=∆→∆x x )0,0(),0,0(y x f f 但不存在,故函数在(0,0)点不可微 (4分)22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆4. 证明:由在上单调递增,)(x f []b a , (5分)],[,0)]2()(2(b a x b a f x f b a x ∈≥+-+-所以 (5分)0)]2()([2(≥+-+-⎰dx b a f x f b a x b a 即 0)2(2()()2(=+-+≥+-⎰⎰dx b a x b a f dx x f b a x b a b a 即 。

武汉大学近二十年数学分析考研真题

武汉大学近二十年数学分析考研真题

其中 N > 0 为一常数,且逐点有 fn (x) → f (x) (当 n → +∞ )。证明: (1) f (x) 在[a,b] 上连续。
(2) fn (x)→ f (x) 。
6.设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
,证明
+
1 32

1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2

1 2n
+ " 是否收敛?为什么?
∑ 3.求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4.求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3.设 f (x, y) 为连续函数,且当 (x, y) ≠ (0,0) 时,f (x, y) > 0 ,及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ,
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ,使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+

2015年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析

2015年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析

2015年湖北省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

6072.(3分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内×4.(3分)(2015•湖北)已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1,变量y与z正相关,下列结5.(3分)(2015•湖北)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l26.(3分)(2015•湖北)函数f(x)=的定义域为(),7.(3分)(2015•湖北)设x∈R,定义符号函数sgnx=,则(),而左边,而左边,而左边=xsgnx=,显然正确;8.(3分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则()”==;;9.(3分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时=∴﹣,10.(3分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元二、填空题11.(3分)(2015•湖北)已知向量,||=3,则=9.,所以=0﹣,即212.(3分)(2015•湖北)设变量x,y满足约束条件,则3x+y的最大值为10.得13.(3分)(2015•湖北)函数的零点个数为2.14.(3分)(2015•湖北)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=3.(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为6000.15.(3分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=100m.h=,h=100.16.(3分)(2015•湖北)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为﹣1﹣.)由题意,圆的半径为=))1+)﹣﹣).17.(3分)(2015•湖北)a为实数,函数f(x)=|x2﹣ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=2﹣2时,g(a)的值最小.2﹣2时,=∵=﹣,[);,故答案为:三、解答题18.(12分)(2015•湖北)某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,|φ|<)π(1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.2))图象上所有点向左平移()﹣]2x+)=k﹣,.(﹣19.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.,写出、,由题意可得,或;=•••∴+3+5+7+•∴+++﹣﹣20.(13分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE、BD、BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(Ⅱ)记阳马P﹣ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.====.CD==21.(14分)(2015•湖北)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g (x)是偶函数,f(x)+g(x)=e x,其中e为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x)>0,g(x)>1;(2)设a≤0,b≥1,证明:当x>0时,ag(x)+(1﹣a)<<bg(x)+(1﹣b).时,>,(=)>×==时,>,故,故<22.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.其方程为.=k(,,)|PQ|==|PQ|d=|m||x|m|||=| =||=8|时,<(时,∴1+。

数学分析例题

数学分析例题

一、极限论例 证明 1lim 0a n n →∞=,其中a>0为常数.例 设{nS }为例所得的数列,即证明222321lim 36n n n n →∞-+=.例 证明lim 0(1)n n q q →∞=<.例 求224n 1lim 256n n n →∞++-.例 求lim ,其中a -11n n n a a →∞≠+.例 求lim n →∞-.例 n n 设a 0(n=1,2),lim a =a.证明lim 为常数).n n a →∞→∞≥K例 证明lim 1(0)n a →∞=>.例 求lim n →∞.例 设123n a a a a ====L 求lim n n a →∞.例 证明极限1lim (1)n n n→∞+存在.例 若2sin 1sin 2sin 222n nn a =+++L ,则数列{n a }收敛.例 证明x 1lim =0x →∞.例 证明 (1)x lim arctan 2x π→+∞=(2)x lim arctan 2x π→-∞=-例 证明2x 11lim 21x x →-=-.例 证明2x 2lim 12x x →=+.例 证明00x lim 0).x x →=>例 证明 (1)00x lim sin sin x x x →=(2)00x lim cos cos x x x →=.例 求极限01lim x x →-.例 求极限01lim .x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦例 求证0lim 1(0).x x a a →=>例 0tan lim x x x →例 201cos lim x x x →-例 lim 2sin 2n n n π→∞例 求312cos lim sin()3x xx ππ→--例 3lim ()1x x x x →∞++例 2lim (1)x x x→∞-例 cot 0lim (1tan )x x x →-例 求211lim (1)n n n n →∞+-例 求极限20sin 3lim 4x x x x→+例 求极限30tan sin lim sin x x x x →-例 考查函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处的连续性.例 x=0是1siny x =的第二类间断点.例 2x π=是tan y x =的第二类间断点.例2ln(2)3arctan x x x x +-例lim x →例 根据初等函数的连续性与复合函数连续性,有 (1)0ln(1)lim x x x →+(2)0lim x →(3)lim x →∞例 求211lim (1)n n n n →∞+-例 证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根.一致连续性 例 例 例 书上49页.实数的连续性、上下极限 书上51页.补充:部分例子仍在书中,看书为准.二、一元函数微分学例 求函数2()2f x x =+在点x=1处的导数.例 设21sin ,0(),求'()0,0x x f x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩.例 证明函数()在点x=0处不可导.f x x =例 设x ,x 0()1-cos x ,x>0f x ⎧≤=⎨⎩,确定函数f(x)在点x=0处的可导性.例 求等边双曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.例 求导(1)3()4cos ln sin f x x x x π=+-+ (2)(sin cos )x y e x x =+例 证明(1)22(tan )'sec ,(cot )'csc x x x x ==(2)(sec )'sec tan ,(csc )'csc cot x x x x x x ==-例 证明x (a )'=a ln (0,0),特别地(e )'=e .x x x a a a >≠例 证明:(1)11(arcsin )',(arccos )'x x ==-(2)2211(arctan )',(arccot )'11x x x x ==-++例 求导数(1)2sin y x =(2)22ln 1xy x =+例 求导数(1)y =(2)ln sin y x =例 求导数(1)21tan y x= (2)sin 3y x =(3)ln(y x =+4)221arcsin (0)1xy x x-=>+例求导(1)221x y x =-(2)(sin )x y x =例 求椭圆cos (02)sin x a t t y b tπ⎧=≤≤⎨=⎩所确定的参数变量函数的导数,并求出该椭圆在4t π=的对应点处的切线方程。

武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)

武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)

4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, 釩•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:

x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f

陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论(圣才出品)

陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论(圣才出品)

陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论(圣才出品)第14章曲线积分、曲面积分与场论1.计算为取逆时针方向.[南开大学2011研]解:记因为P与Q在点(0,0)处都无定义,则不能直接应用格林公式.在L围成的区域内取一闭曲线L1:(取逆时针方向),则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式.由于则由Green公式知,则2.求第一型曲面积分其中h≠R.[浙江大学研]解:令其中且3.计算其中[湖南大学研]解:令所以4.求常数λ,使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立.[北京大学研]解:记由题设知,所考虑积分在上半平面内与路径无关,所以,即即即所以λ=.5.设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明:因在上,u=0.故所以又u为非常值函数,故再注意到的连续性,所以6.计算其中∑为圆柱面被z=0,z=3截的部分外侧.[北京航空航天大学研]解:分别补充圆柱体的交面记P=x,Q=y,R=z,由奥高公式而平面,yz平面;平面,yz平面,所以从而7.计算为[南开大学2011研]解:(对称性)8.计算曲线积分其中L是从(2a,0)沿曲线到点(0,0)的一段.[兰州大学2009研]解:曲线即记则所以所以由Green公式得9.计算,其中为圆柱面的部分,它的法线与ox轴正向成锐角;为xoy平面上半圆域:的部分,它的法线与oz轴正向相反.[上海交通大学研]解:如图14-1所示,补充则构成封闭曲面的外侧,由奥高公式其中则又,从而平面,平面,从而图14-110.计算曲线积分其中C是从A(-a,0)经上半椭圆到B(a,0)的弧段.[湖北大学研]解:记则所以此积分在上半平面内与路径无关,如图14-2所示取以(0,0)为心,a为半径的上半圆周,则。

数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷

数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷


n+1
n

x x x x l xl x xl x =

n+ p
n+ p−1 +…+

n+1
< 2[
n
2 n+ p
1
+ ... +

] 2
1
n +1
l x x l l l x x <
2( − 2 l −1
)
1
1
n
=M
−n
(M=
2− 2 l −1
1)
显然由柯西收敛准则知,对于 ∀ε > 0 , ∃N > 0 ,使得 n>N 时
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国内数学分析主要参考书目_数学分析书籍

国内数学分析主要参考书目_数学分析书籍

国内数学分析主要参考书⽬_数学分析书籍花了半天时间,对国内部分⼤学所编数学分析(/⾼等数学/微积分)教材做了个汇总,发于此,肯定有很多遗漏,(期待有兴趣的⾍友帮我⼀起补充,补充格式:⼤学名,精确书名,编写作者....)。

国内部份⼤学常⽤数学分析(⾼数,微积分)教材总汇清华⼤学《数学分析教程》常庚哲.史济怀.《数学分析》(三册).何琛史济怀徐森林《数学分析》(三册).徐森林,.⾦亚东,.薛春华《数学分析讲义》(三册).陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等北京⼤学《数学分析》沈燮昌著第⼀册,⽅企勤著第⼆册,廖可⼈、李正元著第三册《数学分析习题课教材》(第⼀版)《数学分析解题指南》(第⼆版)林源渠,⽅企勤《数学分析习题集》林源渠,⽅企勤等《数学分析新讲》张筑⽣(三册)《数学分析简明教程》邓东翱,尹⼩铃著《数学分析上、下册》彭⽴中、谭⼩江著复旦⼤学《数学分析》《数学分析》陈传璋,⾦福临,朱学炎,欧阳光中著第⼆版《数学分析》欧阳光中,朱学炎,⾦福临,陈传璋著第三版《数学分析》陈纪修等著《数学分析》欧阳光中,姚允龙著同济⼤学《⾼等数学》(同济⼤学数学系第六版,上、下册)《⾼等数学讲义》樊映川等编..华东师范⼤学《数学分析》华东师范⼤学数学系著《数学分析精读讲义》华东师范⼤学数学系著《数学分析习题精解》吴良森,⽑⽻辉等?中国科学技术⼤学《数学分析教程》常庚哲,史济怀著《简明微积分》龚昇《⾼等数学引论》华罗庚《数学分析》徐森林著《数学分析的⽅法及例题选讲》徐利治南开⼤学《数学分析上、下册》李成章,黄⽟民《在南开⼤学的演讲》陈省⾝南京⼤学《数学分析讲义》梅加强《数学分析教程》许绍浦等北京师范⼤学《简明数学分析(第⼀版)》王昆扬《简明数学分析(第⼆版)》郇中丹,刘永平,王昆扬《微积分学讲义(第⼆版)》邝荣⾬武汉⼤学《⾼等数学上、下册》(⾼等教育出版社,齐民友主编)《重温微积分》齐民友著吉林⼤学《数学分析》东北师范⼤学《数学分析讲义》刘⽟琏,傅沛仁著天津⼤学《⾼等数学上、下册》蔡⾼厅叶宗泽《⾼等数学试题精选与解答》(蔡⾼厅等编)内蒙古⼤学《微积分学简明教程》曹之江等著[ Last edited by hylpy on 2014-9-15 at 12:38 ]国内数学分析主要参考书⽬[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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