2015年武汉大学线性代数考研真题

2015年线性代数

一、

①证明⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-C B C A A 可逆，求出⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-C B C A A 的逆。

二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明：

①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。

②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ，

111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1

1r n i i i k ηξ

三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得

21cos ,cos sin 0sin cos 00

01

332211'-++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a AP P θθθθθ

其中。

四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。

（1）、若)()(B r A r =，则()()*

*B r A r =

（2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r =

（3）、)()('AA r A r =

（4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。

五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{}

n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明：

（1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n -

（2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。

六、

（1）、已知B A ,都是实正定矩阵，则存在可逆矩阵P ，使得

BP P AP P '',同时为对角型

（2）、当B A ,是半正定矩阵时，（1）问中的结论是否成立，若成立给出证明，若不成立请说明理由。

七、已知654321,,,,,αααααα是线性空间V 的一组基，ϕ是线性空间V 上的线性变换，且 ()()()32321211,,αααϕαααϕααϕ+=+==，……………（记不清了）

（1）、求出所有2维的ϕ的不变子空间，并说明理由

（2）、证明ϕ不是循环变换，即)(),...(),(,52αϕαϕαϕα不构成一组基

by 晴天 2014.12.30