武汉大学2002-2003线性代数试题(54工)
武汉大学经济与学院-线代试题2007-2008c(文54a卷)[1]
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武汉大学数学与统计学院2007－2008第一学期《线性代数C 》 （A 卷，文54）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、（10分）记1231234134512122221n n nn n D n n n n n n n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅--，求12 3()n D D D n ++≥。
二、（12分）计算向量组112312α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，221223α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，350754α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，431531α⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大无关组的线性组合。
三、（16分）设132254211,422121141-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ，（1）求22422--+A B BA AB ； （2）求*A ，这里*A 是A 的伴随阵。
四、（16分）已知112120110, 102101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B a b c ，（1）问,,a b c 为何值时，(,)()R A B R A =？ （2）求矩阵方程X =A B 的全部解。
五、（18分）设齐次线性方程组1231231232202030+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩x x x x x x x x x λ的系数阵为A ，若3阶非零阵B 满足=AB O ，（1）求A 的值； （2）求λ； （3）求B 的值。
六、（20分）设二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-,(1).写出二次型f 的矩阵A ； (2).求A 的全部特征值与特征向量； (3).把二次型f 化为标准形； (4).判定二次型f 是否正定。
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设A，B为可逆矩阵，则下列矩阵不一定可逆的是( ).参考答案:A+B.2.已知三阶方阵A的特征值为【图片】，则【图片】参考答案:3.若【图片】阶行列式D的值为0，则D中必有一行元素全为0.参考答案:错误4.设【图片】, 则 A 的任意 m 个列向量必线性无关.参考答案:错误5.设 A 是【图片】矩阵，A 的秩为 m，m < n, 则 A 中任一 m 阶的子式不等于零。
参考答案:错误6.n 阶⽅阵 A 可对⽅化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值.参考答案:错误7.行列式为0的充分条件是( ).参考答案:行列式中各行元素之和为0.8.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，其对应的余子式的值依次为3,2,1，则该行列式的值为参考答案:-2.9.已知 4 阶行列式中第一行元素依次为 1，0，-4，3，第三行对应元素的代数余子式的值依次为 1，5，-2，x. 则x的值为：参考答案:-3.10.在函数【图片】中，【图片】的系数为参考答案:.11.设A 是 3 阶正交矩阵，【图片】是A 的逆矩阵。
若向量【图片】, 则向量【图片】的长度为_____ .参考答案:312.设向量【图片】且向量【图片】在向量【图片】上的投影向量为【图片】则 x= ____ .参考答案:13.如果矩阵A能对角化，那么A的特征值一定互不相同.参考答案:错误14.实对称矩阵一定可以相似对角化，且相似矩阵是正交阵.参考答案:错误15.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则【图片】.参考答案:错误16.已知三阶矩阵A的特征值为【图片】, 则下列命题不正确的是( ).参考答案:1和-1所对应的特征向量正交.17.n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是( ).参考答案:对A的每个重特征值，有个线性无关的特征向量.18.行列式为0的充分条件是（）参考答案:行列式中各列元素的和为0.19.若行列式D中的每一个元素都不为零，则行列式D不等于零。
线性代数题库及答案
试 卷 六一.单项选择题（每题3分，共18分）1．向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，向量组s βββ，，， 21能线性表示 向量组s ααα，，，21，则以下结论中不能成立的是 (A). 向量组s βββ，，，21线性无关； (B). 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C). 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D). 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价． 2．设B A ，为n 阶可逆矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00，则C 的伴随矩阵=*C (A)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A 00； (B)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*-*-B A A B 11||00||； (C)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B A A B 00； (D)．⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B A A 00． 3．设向量组321,,ααα是三维线性空间V 的基，则 也是V 的基.(A). 32133122112,,αααβααβααβ++=+=+=； (B)．213212112,,ααβααβαβ-=+==；(C)．32133222113,,2αααβααβααβ++=+=+=； (D)．3213322211,,αααβααβααβ++=-=-=． 4．设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则 ．(A)．A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B)．T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C)．A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D)．T AA 是m 阶单位矩阵． 5．设A 为n m ⨯矩阵，0)(≠=b m A r ，，则线性方程组b Ax = ．(A)．可能无解； (B)．一定无解； (C)．可能有解； (D)．一定有解．6．已知向量组s ααα，，，21可由向量组t βββ，，， 21 线性表示，则 ． (A)．当t s >时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (B)．当t s >时，向量组t βββ，，，21必线性相关； (C)．当t s <时，向量组s ααα，，，21必线性相关； (D)．当t s <时，向量组t βββ，，，21必线性相关． 二.填空题（每题3分，共18分）1．设B A ，为三阶方阵，行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==02012B A C B A 矩阵，，，则行列式=C ．2．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A ．3．实二次型322123222132122),,(x x a x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则常数 a 的取值范围为 ．4．若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 ．5．设A 为三阶方阵，2)(=A r ，321ααα，，是线性方程组)0(,≠=b b Ax 的解， 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+13121αα，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0103α，则线性方程组b Ax =的通解为=α ．6．已知b 为一常数，设集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++==R b a a b a a a a V ，，，212121αα， 若V 是向量空间3R 的子空间，则=b ．1．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301220211A ，已知多项式12)(23--=x x x g ，求行列式)(A g . 2．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111， (1) 常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ (2) 当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111111111A ，(1) 若矩阵B 满足AB B A =+，试求矩阵B ； (2) 若列向量α满足T A αα=，试求ααT ． 4．求正交变换Qy x =,将二次型23212221321433),,(x x x x x x x x f +-+=化为标准形．5．设三维列向量 T），，121(=α，(1) 求三维列向量γβ，，使γβα，，为正交向量组；(2) 证明γβα，，是3R 的基，并求向量T），，111(=η在γβα，，下的坐标.6．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111101011321ααα，，； ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010001321a βββ，，(1) 问：a 取何值时向量组321βββ，，是向量空间3R 的基，为什么？ (2) 求3R 中基321ααα，，到基321βββ，，的过渡矩阵．1. 设=f Ax x T 是n 元实二次型,存在n 维实列向量21x x ，,使11x A x T0>， 22x A x T0<, 证明: 存在n 维实列向量00≠x ,使00x A x T =0.2．设n 阶方阵A 即是正交矩阵又是正定矩阵，证明：A 为n 阶单位矩阵．试 卷 六------答案一．B C D A D A二．1．16- 2．1))((-+-E B E B 3．2<a 4．2125 5．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111010k 6．0三．1．A 的特征值为4,1,1 ………4分)(A g 的特征值为 31,2,2-- …7分124)(=A g …………8分2．（1）A E A B A B E A 1)(,)(--==- ……2分A B 21212121212121212121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= …………4分（2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111111111αααTA ……6分3111)111(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴ααT…………8分或 A A T T T T T TT)()()(2αααααααααααααα==== …6分333333333332=∴=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=ααT AA ………8分3．（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→120001101011b a A ………………2分 1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 ……5分（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 ……………………8分4．特征值为5,1,1 ……………………2分对应的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,100,011 …………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0100021212121Q ， 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=2332112123211211y x y y x y y x ……7分标准形为 2322215y y y f ++= ………………8分5．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++101,0120221321ξξx x x 正交化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521012γβ, 4分（2）说明γβα,,线性无关，是3R 的基 ………………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-15151321321321111501212121x x x x x x ,)(γβαη ……8分 注：答案不唯一6．（1）a 为任意值都使321,,βββ线性无关，所以是基 …………3分 （2）A )()(321321αααβββ= …………5分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+------==-a a a A 11111121)()(3211321βββααα……8分四．1．因为 00>>q p 且，，所以f 的规范形为22122221r p p y y y y y f ---+++=+ ………………4分取T y ），，，，，，，001001(0 =，则有000≠=Py x ，使0001001000=----+++== Ax x f Tx ……7分 ……8分2．A 为正交阵E A A T =∴ 又A 正定A E A A A T ⇒=∴=∴2的特征值为1± A 正定，A ∴的特征值只为1 ………………4分 因A 是实对称阵，∃∴可逆阵P ，有E PP A E AP P ==∴=--11……8分试 卷 七一、单项选择题（每题3分，共15分）1._____________2)(2101210211的值为则，的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 1或者1．-(D)1；-(C)1；-0或(B)0；(A)2._____________1||*=-=A A A 伴随矩阵则，，且为正交矩阵设 A．-(D)••••••••••••••A； (C)；A -(B)•••••••••••； A (A)T T3.设βα，是n 维列向量,0≠βαT ,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1； (B) 有1-n 个特征值等于1； (C) 有1个特征值等于1； (D) 没有1个特征值等于1．4.______________)()(，则阶方阵，且秩相等，既为，设B r A r n B A = ．r(B)r(A)B),r(A (D)；r(A)2B),r(A (C)；r(A)2B)r(A (B)；0r(A－B)(A)+≤==+=5．设n A 为阶矩阵，且0232=+-E A A ，则矩阵A E A E --与2(A) 同时为可逆矩阵； (B) 同时为不可逆矩阵； (C) 至少有一个为零矩阵； (D) 最多有一个为可逆矩阵．二、填空题（每题3分，共15分）1．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则 |2|*A =___________． 2. 行列式D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j j A =__________ ,其中1111111111111111---=D3. 已知实二次型32212322213212224)(x x x ax x x x x x x f ++++=，，为正定二次型，则实常数a 的取值范围为________________． 4. 2n 阶行列式 AB BA D =＝ ,其中n 阶矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000b b b B 。
武汉大学数学与统计学院2017-2018第二学期《线性代数B》
武汉大学数学与统计学院2017－2018第二学期《线性代数B》（A卷，工54）学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、（10分）计算下列行列式；1. ;2. 若都是四维列向量，且四阶行列式求四阶行列式.二、（10分）若有不全为零的数使成立，则线性相关，也线性相关.试讨论该结论是否正确？三、（12分）设3阶方阵，试求：1、的特征值和特征向量；2、（为正整数）及其特征值和特征向量。
四、（15分）当为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为1、的值；2、用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.六（18分）在四维实向量构成的线性空间中,已知：；。
1、求使为的基；2、求由基的过渡矩阵；3、设线性变换为：,求在基下的变换矩阵C.七（20分）1. 设阶方阵的伴随矩阵为证明：若则；2. 设为阶矩阵，且满足，，，证明：。
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数B》（工54，A卷答案）一、1、从第2行开始，每一行乘以（-1）加到上一行，然后从第1列开始，每列加到后1列，得2、由行列式的性质，可得.二、由题设能断定向量组线性相关，但其部分向量组不一定别线性相关.例如取则当时，有从而线性相关，但其部分向量组却分别线性无关.三、1、，故的特征值为。
当时，解线性方程组，由，可得基础解系，故对应于的全部特征向量为（）；当时，解，可得基础解系，，故对应于的全部特征向量为(不全为零）；2、令，则有，即有，从而。
的特征值为。
且的特征值对应的特征向量与相应特征值对应的特征向量相同。
四、解: 对方程组的增广矩阵施以初等行变换：（1）当且时，从而方程组有惟一解.（2）当时，由于方程组无解.（3）当时，有可见故方程组有无穷多组解.又由此可得与原方程组同解的方程组为令得其特解与原方程组的导出组同解的方程组为：由此可得基础解系为于是，原方程组的全部解为其中是任意常数.五、1、次型的矩阵为设的特征值为由题设，有解得2、矩阵的特征多项式得的特征值对于解方程组得其基础解系对于解齐次线性方程组得基础解系由于已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得令矩阵则为正交矩阵.在正交变换下，有且二次型的标准形为六、解：1、；2、设,, 则，。
武汉大学数学与统计学院重修试题2006-2007学年第二学期《线性代数》(C)
经济与管理学院第六届团支书联席会期末复习宝典由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长蒋润珠，副秘书长董叶子、杨梦楠、周家伊、朱怡哲整理。
武汉大学数学与统计学院重修试题2006－2007学年第二学期《线性代数》（C ）学院 专业 学号 姓名 注：1.本试题供线性代数C （即文科54学时）重修使用；2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、 (10分)设有三阶方阵111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -和13A A *--. 二、(15分)设三阶方阵B A ,满足B A E AB +=+2，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求B 及*B .三、（15分）（15分）已知向量组A ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1113ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1214ξ，求向量组A 的秩及一个最大无关组，并给出向量组中不能由其余向量线性表示的向量。
四、(10分)设A 为n 阶非零矩阵，且A ＝O ，证明存在n 阶非零矩阵B 使得BA O =.五、(20分)就λ取值讨论非齐次线性方程组123123123322,x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩是否有惟一解、无解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.六、(20分)设二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-(1).写出二次型f 的矩阵A ；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
七、(10分)设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*,A 证明1. 若,A O =则*A O =；2. 1*.n A A-=。
武汉大学 线性代数试卷
-武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数A 》A 卷（72学时用）学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算下列各题（每题6分，3题共18分）：(1).计算行列式aa a +++111111111 .(2).已知阶矩阵 (2)n ≥，且非奇异，求**()A .(3).设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足0I A I A +==-，计算23I A +.二、(12分)设10102016A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2r A =，满足2AX I A X +=+，求a 和.三、(15分)设222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b .讨论λ为何值时,方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.四、(15分)设二次型222123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x , (1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值；(2).求可逆矩阵P ，使1P AP -成为对角阵; (3).计算m A (m 是正整数).五、(15分)设112212(,),(,) V L V L ααββ==, 其中1(2,1,3,1)α=-,2(0,2,0,1)α=；1(1,3,1,0)β=,2(1,6,2,3)β=--. 求12V V +与12V V 的基与维数.六、(15分)设σ是n 维线性空间V 上的线性变换,且满足1()n σαθ-≠,但()n σαθ=.(1).证明α,()σα,2()σα,…,1()n σα-是V 的一组基； (2).求线性变换σ在这组基下的矩阵A ； (3).讨论A 能否和对角阵相似.七、(10分)设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值.证明:AB BA =的充要条件是A 的特征向量也是B 的特征向量.2005－2006第一学期《线性代数A 》A 卷参考解答一、1.a a a+++111111111.＝)(0000111)(111111111)(a n a aa a n aa a n n +=+=+++2、2n AA -；3、－10 .二、解：由初等变换求得a ＝1，由，得，由于0≠-E A ，因此 可逆 ，且三、解：经计算2(1)(10),A λλ=--- 因此方程组有唯一解。
2002《线性代数》试题解答
得一基础解系： 3 1, 2, 1 ,
T
把 1 , 2 正交规范化，得
2 e1 , 5
1 e3 , 6
1
1 , 0 , e2 , 5 30
T
3 2 或 4
.
二、填充题（每题 3 分，共15 分） 4、设矩阵 A 中有一个 r 阶子式不为零，则 R A
x t 1 5、设二次型 f x 1 x 2 5 3 2 x x
2 2 2 2
3
r
3
xx 21
x2 4x
是正定的，则
t
必满足条件
4 5 t 0
, 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 1 , 2 2 , 2 3 8 , 1, 2 , 3 8 , 1, 2 , 3 8 A 8 B 40
1 1 四、（10 分）设 A 0 0 0
1 3 0 0 0
0
A A A A 2
2 2
0
2
2 又 0 0 1 0
0 或 1
16 27
n 1
A* A
a 2、若 b
,
kA k
n
A
b 是对称正交阵， 则 a a
T
1 , b
T
0 .
3、已知向量组 1 6, 1, 7 , 2 , 2, 2 ,
3 , 1, 0 线性相关，则
1 二次型的矩阵 A 2 1 2 4 2 1 2 1
1 2 ...
《线性代数》选择题(有答案,部分有讲解)
《线性代数》选择题
25．已知 β1 , β2 是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不同 的解， α1 , α2 是对应齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系， k1 , k2 为任意常数，则方程组 Ax b 的通解必是( B ). β1 β2 (A) k1α1 k2 (α1 α2 ) ; 2 β1 β2 (B) k1α1 k2 (α1 α2 ) ; 2 β1 β2 (C) k1α1 k2 ( β1 β2 ) ; 2 β1 β2 (D) k1α1 k2 ( β1 β2 ) . 2 β1 β2 ) b; α1, β1 β2 可能线性相关. 提示: A( 2
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《线性代数》选择题
4. 设 n 阶方阵 A, B 满足 AB O ,且 B O ,则必有( D ). (A) A O ; (B) | B | 0 ; (C) ( A B ) 2 A2 B 2 ; (D) | A | 0 .
5．设 n 阶方阵 A 中有 n 2 n 个以上元素为零，则行列式 | A |的值( B ). (A) 大于零; (B) 等于零; (C) 小于零; (D) 不能确定.
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《线性代数》选择题
10． A, B, C 均为 n 阶方阵， ABC E ， 设 且 则必有( A ). (A) BCA E ; (B) BAC E ; (C) CBA E ; (D) ACB E .
提示: AA1 A1 A E
11．设 n 阶方阵 A 满足关系式 A3 O ，则必有( D ). 2 (A) A O ; (B) A O ; * ( I A) 1 I A A2 . (C) A O ; (D)
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备用试题
武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期
《线性代数》试题 (工科54学时)
姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。
一、设四阶行列式D =
1
0370121 34031
2
2
1
－－－－
1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。
二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。
三、设A ＝ 111212122212 ...................... n
n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅⋅⋅⎛⎫
⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪
⎪⋅⋅⋅⎝⎭
，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++，
312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。
五、设线性方程组为
2
3112131
23
1222322
31323
3323
1
42434
x a x a x a x a x a x a x a x a x a
x a x
a x a ⎧++=⎪
++=⎪⎨
++=⎪⎪++=⎩ ，
1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？
2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中：
T T
12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。
六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=520,210,002321ααα，
求方阵A 。
七、已知二次型123(, , )f x x x ＝22
2312132343448x x x x x x x x -+-+
1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。
八、证明三个平面123:, :, :x cy bz y az cx z bx ay πππ=+=+=+相交于一直线的充要条件为
2
2
2
21a b c abc +++=
九、给定3R 的基⎪⎩⎪⎨⎧===.)1,1,1(,)0,1,2(,)1,0,1(3
21ξξξ 和 ⎪⎩⎪
⎨⎧--=-=-=).
1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ,
试求：
1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ξξξ的变换矩阵A 。