武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)
武汉大学2006年数学分析考研试题
武汉大学2006年数学分析考研试题武汉大学2006年数学分析考研试题一、已知：21lim 31x x ax b x→++=-，求常数,.a b二、已知：2111()221n nn x x +∞=-+∑，求其收敛域。
三、f 在[]0,1上可导，且(1)2(0)f f =，求证：(0,1)ξ∃∈，使得(1)()()f f ξξξ'+=。
四、已知()f x 在[]0,1上可导，(0)0,0()1f f x '=<≤。
求证：11230(())()f x dx f x dx≥⎰⎰。
五、 已知f 在[,]a b 上单调递增，(),()f a a f b b ≥≤，求证：[,]a b ξ∃∈，使得()f ξξ=六、 在过(0,0),(,0)O A π的曲线:sin (0)L y a x a =>中，求出使得3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小的。
七、 求第二型曲面积分32222()Sxdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=++⎰⎰，S为椭圆2222221x y z a b c ++=的外侧八、 求证0sin xyxedxx y+∞-+⎰在[]0,1上一致收敛。
九、 已知方程2cos()0xy xy +-=(1)研究上述方程并说明它在什么时候可以在点(0,1)附近确定函数()y y x =，且(0)1y =。
(2)研究函数()y y x =在点(0,1)附近的可微性。
(3)研究函数 ()y y x =在点(0,1)附近的单调性。
(4) 试问上述方程在点(0,1)的充分小邻域内可否确定函数(),(1)0x x y x ==？并说明理由。
武汉大学2006年数学分析考研试题解答一．解 由21lim 31x x ax b x→++=-，知()21lim 0x xax b →++=，10a b ++=，()21123lim lim 211x x x ax b x aa x →→+++===-+--，所以5a =-，4b =. 二．解 设()211221n n n x ux x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，显然当1x =时，()11nn u∞=∑收敛，当1x ≠时，()()21111limlim221n n n n n u x x x u x ++→∞→∞-=+，当1121x x -<+时，()()1lim 0n n n u x u x +→∞=，此时，()1nn ux ∞=∑绝对收敛；当1121x x -=+时，()12n nu x ≤，此时，()1n n ux ∞=∑绝对收敛；当1121x x ->+时，()()1limn n n u x u x +→∞=+∞，此时，()1nn ux ∞=∑发散，所以级数的收敛域为1121x x -≤+，()()22121x x -≤+，()320x x +≥，x ≥或者2x ≤-，故收敛域为(][),20,-∞-+∞. 三．证明 设()()1f x F x x =+，则有()()00F f =，()()()()11002f F f F ===， ()()()()()211x f x f x F x x '+-'=+，由拉格朗日中值定理，存在()0,1ξ∈，使得()()()()1010F F F ξ'-=-，()()()100F F F ξ'=-=，即知有()()()10f f ξξξ'+-=，()()()1f f ξξξ'+=.四、假设()f x 在[]0,1上可导，且()0()1,0,1,(0)0f x x f '<<∀∈=，试证明 ()230()()>⎰⎰x xf t dtf t dt，()0,1∀∈x . 证明 令()230()()()=-⎰⎰xxF x f t dtf t dt,()320()2()()()()2()()'=-=-⎰⎰x xF x f x f t dt f x f x f t dt f x ,因()0()1,0,1,(0)0f x x f '<<∀∈=，所以()0>f x , 令20()2()()=-⎰x g x f t dt f x ，则[]()2()1()0''=->g x f x f x ,即得()(0)0>=g x g , 所以()0'>F x ， 则()230()()()(0)0=->=⎰⎰x xF x f t dtf t dt F ,()0,1∀∈x ,于是 ()230()()xxf t dtf t dt>⎰⎰，()0,1∀∈x .五．证明 有题设条件，对a x b≤≤，有()()()a f a f x f b b≤≤≤≤，若()f a a =，则取a ξ=，即得结论.若()a f a <，则存在0δ>（充分小），当a x a δ≤≤+时，有()()x f a f x <≤，令[](){}:,,E x t a x t f t =∈<，则E 是非空有界集， 设sup E β=，则有a b β<≤，()f ββ≤，若b β=，则有()b f b b ≤≤，()b f b =， 若b β<，我们断言()f ββ=，假若()f ββ<，则存在0δ>，使得[],t a βδ∈+时， 有()t f t <，于是E βδ+∈，这与sup E β=矛盾，所以()f ββ=， 综合以上，结论得证.六．解()()()312LI a y dx x y dx =+++⎰()()331sin 2sin cos a x x a x a x dx π⎡⎤=+++⎣⎦⎰332000sin 2cos sin cos a xdx a x xdx a x xdx ππππ=+++⎰⎰⎰()3242203aa a π=+⋅+-+⋅3443a a π=-+，()()()244411I a a a a '=-=+-，1a =时，()0I a '=，当01a <<时，()0I a '<，()I a 在[]0,1上严格递减， 当1a <<+∞时，()0I a '>，()I a 在[)1,+∞上严格递增， 所以()I a 在1a =处达到最小值. 七．解 取0ε>充分小，2222:S x y z εε++=，由高斯公式，得()32222Sxdydz ydzdx zdxdyI xy z++=++⎰⎰SS S εε-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()32222S xdydz ydzdx zdxdy xy zε++=++⎰⎰31S xdydz ydzdx zdxdy εε=++⎰⎰()31111V dxdydz εε=++⎰⎰⎰3314343πεπε=⋅⋅=.八．证明 设(),sin f x y x =，(),xye g x y x y-=+，显然()0,2A f x y dx ≤⎰，对每一个[]0,1y ∈，(),g x y 关于x 单调递减，()10,g x y x<≤，关于[]0,1y ∈一致的有()lim ,0x g x y →+∞=， 由狄利克雷判别法，知()()0,,f x y g x y dx+∞⎰关于[]0,1y ∈是一致收敛的， 即得0sin xyx e dx x y+∞-+⎰在[]0,1上一致收敛.九．解 设()()2,cos F x y xy xy =+-，显然，有()0,10F =，()(),1sin y F x y x xy =+，()0,110y F =≠，由隐函数存在定理，存在0δ>，存在[],δδ-上的连续可微的函数()y y x =，()01y =，满足()(),0F x y x ≡，[],x δδ∈-，()(),2sin x F x y x y xy =+，()()()()(),2sin ,1sin x y F x y x y xy y x F x y x xy +'=-=-+，当0x δ<<，（0δ>充分小）时，有()0y x '<，()y x 在[]0,δ上严格单调递减；当0x δ-<<时，有()0y x '>，()y x 在[],0δ-上严格单调递增， （4）()0,10xF =，由于每一充分接近1的y ，1y <， 存在x ，x -，使得(),0F x y =，(),0F x y -=，所以上述方程在点()0,1的充分小邻域内，不能确定函数()x x y =，()10x =. 对1y >，方程()2cos x y xy +=无解.。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
武汉大学大一高数下五年期末考试试题
[ey f (y) + y − x] dσ ≥ (e − 1)
பைடு நூலகம்
1 0
f (y) dy. 其中 D = {( x, y)|0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
3
武汉大学 2007 – 2008 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (36 分) 试解下列各题 ⎧ ⎪ ⎪ 2x + y = 0 x y z ⎨ 1. (6 分) 求通过直线 ⎪ 且平行于直线 = = 的平面方程. ⎪ ⎩ 4 x + 2y + 3z = 6 1 2 4
x2 y2 z2 + + 在点 M (1, 2, 3) 处的梯度及方向导数的最大值. 6 12 18
x2 + y2 在点 (0, 0) 处的连续性, 偏导数的存在性.
4. 已知以 2π 为周期的连续函数 f ( x) 的傅里叶系数为 a0 , an , bn (n = 1, 2, · · · ), 求函数 f (− x) 的傅里叶系数.
D
∂2 z . ∂ x ∂y
xy d x dy, 其中 D = {( x, y)| x2 + y2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 −1
6. (6 分) 交换积分次序
dx
1− x 2 x +1
√
f ( x, y) dy.
二. (10 分) 求函数 z = x + y +
1 ( x > 0, y > 0) 的极值. xy
x2 + y2 = 0
性. 三. (10 分) 验证变换 x = et 可将微分方程 x2 微分方程
d2 y dy −3 + 2y = tet 的通解. dt dt2
武汉大学经济与学院-线代试题2007-2008c(文54a卷)[1]
![武汉大学经济与学院-线代试题2007-2008c(文54a卷)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/92e01b1208a1284ac9504308.png)
武汉大学数学与统计学院2007－2008第一学期《线性代数C 》 （A 卷，文54）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、（10分）记1231234134512122221n n nn n D n n n n n n n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅--，求12 3()n D D D n ++≥。
二、（12分）计算向量组112312α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，221223α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，350754α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，431531α⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大无关组的线性组合。
三、（16分）设132254211,422121141-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ，（1）求22422--+A B BA AB ； （2）求*A ，这里*A 是A 的伴随阵。
四、（16分）已知112120110, 102101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B a b c ，（1）问,,a b c 为何值时，(,)()R A B R A =？ （2）求矩阵方程X =A B 的全部解。
五、（18分）设齐次线性方程组1231231232202030+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩x x x x x x x x x λ的系数阵为A ，若3阶非零阵B 满足=AB O ，（1）求A 的值； （2）求λ； （3）求B 的值。
六、（20分）设二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-,(1).写出二次型f 的矩阵A ； (2).求A 的全部特征值与特征向量； (3).把二次型f 化为标准形； (4).判定二次型f 是否正定。
武汉大学2006-2007学年第二学期考试试卷及答案
武汉大学2006-2007学年第二学期考试试卷《计算方法》 （A 卷） （36学时用）学院： 学号： 姓名： 得分： 一、（10分）解答下列各题 1、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5021A ，求谱半径)(A ρ及条件数∞)(A Cond 2、确定求积公式)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰- 的代数精度，并问是否是Gauss 型公式。
二、（10分）证明迭代格式 ⎩⎨⎧3),,2,1,0(,201==+=+x k x x k k 收敛，并求出kk xlim ∞→三、（10分）已知方程 )0(0272)(323>=+-=a a ax x x f 在]32,0[a 及],32[a a 内各有一个根，（1）建立求根的牛顿迭代格式；（2）如何选取初值0x ，使牛顿迭代序列k x 收敛到],32[a a 内的根。
四、（10分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5421214512A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122711b五、（10分）设常数0≠a ，分别写出求解方程组 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛212111b b x x a a 的Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式并给出用Gauss-Seidel 迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。
六、（10分）已知 2)(xex f y -== 的一组值：求二次拉格朗日插值多项式及余项。
七、（10分）已知数据求形如 c bx ax y ++=2 的拟合曲线。
八、（10分）已知)(x f y =的一组值分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算⎰2.20)(dx x f九、（10分）用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长5.0=h ）：⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(2y y xdx dy ]1,0[∈x（取5位有效数字计算） 十、（10分）证明求积公式∑⎰=≈nk k k bax f dx x f 0)()(λ的代数精度大于等于n 的充分必要条件是),2,1,0(,)( ==⎰k dx x lbakk λ。
2005-2006第二学期线性代数
安徽大学20 05 -20 06 学年第 二 学期 《线性代数》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）年级 院系专业 姓名 学号 座位号一、选择题（每小题3分，共30分）1．．排列542316的逆序数τ（542316）=（ ）A ．7B ．6C ．8D ．92．设A 是3阶方阵，且|A|=2，则|2A|=（ ） A ．4B ．-4C ．16D ．123设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322，则A 的伴随矩阵A*=（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----461351341B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----461351341C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----433654111D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----4336541114．A,B 是n 阶方阵，，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．TTTA B AB =)( B ．kk k B A AB =)( C ．kllk A A =)(D ．B A AB =5．设A,B,C 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ） A ．AB=AC 则B=CB ．AB=0,则A=0或B=0C ．AB=E,则A,B 可逆。
D ．AB=BA7．设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ） A ．21α+αB ．21α-αC ．21α+α+βD ．213231α+α+β 8．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A 是3阶方阵时，（ ） A ．r(A)=0 B ．r(A)=1 C ．r(A)=2D ．r(A)=39．下列矩阵可逆的是（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010000B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011110101C ． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011101111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11102201110．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=132121111λA 的秩为2则=λ（ ）。
A ．2B ．1C ．0D ．-1二．填空题（每空3分，共30分）1． ()(),4023,5321-=-=βα则.23βα-= 。
大学物理、数学本科《线性代数》考试题及答案(八套)试卷
XXX学年第一学期期末考试试卷本科《线性代数》考试题及答案（H）本科试卷课程代码：适用班级：计算机科学与技术命题教师：任课教师：第一套试卷一、判断是非（每小题2分，共16分）。
1 若行列式等于零，则其中必有两行对应元素成比例。
2 线性无关的向量组的任意部分组必线性无关。
3 等价的两个向量组必含有相同个数的向量。
4 两个矩阵的乘积不满足交换律和消去律。
5 非齐次线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。
6 正交矩阵必是可逆矩阵。
7 相似矩阵的秩一定相等。
注：两个矩阵相似或合同，则两个矩阵一定等价。
因而，他们有相同的秩。
8 在可逆的线性变换下，二次型的标准型一定是唯一的。
二、填空题（每小题2分，共16分）。
1 排列6152734的逆序数是________________。
2 若矩阵A 可逆，则=-1*)(A ___________。
3 设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则),654(321——————。
4 若向量____________),0,1,1,0(),0,1,0,1(='==βαβα则。
5 若三阶实对称矩阵A 的特征值为-1，2，3，则A -1的特征值为______。
6 对于四阶矩阵A ，。
则__________2,1==A A7 若四阶矩阵：。
则且___________),,,,(,2),,,,(432214321=+===B B A A ααααααααα 8 若向量组）（，，，（），，，（5,4,0)02121321-==-=αααt 线性无关，则t=————————。
三、计算下列行列式（12分）。
1 29930030119920020199100101=D22222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a四、（8分）设：B A A AB B A ''-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=及求2,101121121101010101。
武汉大学数学与统计学院重修试题2006-2007学年第二学期《线性代数》(C)
经济与管理学院第六届团支书联席会期末复习宝典由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长蒋润珠，副秘书长董叶子、杨梦楠、周家伊、朱怡哲整理。
武汉大学数学与统计学院重修试题2006－2007学年第二学期《线性代数》（C ）学院 专业 学号 姓名 注：1.本试题供线性代数C （即文科54学时）重修使用；2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、 (10分)设有三阶方阵111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -和13A A *--. 二、(15分)设三阶方阵B A ,满足B A E AB +=+2，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求B 及*B .三、（15分）（15分）已知向量组A ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1113ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1214ξ，求向量组A 的秩及一个最大无关组，并给出向量组中不能由其余向量线性表示的向量。
四、(10分)设A 为n 阶非零矩阵，且A ＝O ，证明存在n 阶非零矩阵B 使得BA O =.五、(20分)就λ取值讨论非齐次线性方程组123123123322,x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩是否有惟一解、无解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.六、(20分)设二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-(1).写出二次型f 的矩阵A ；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
七、(10分)设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*,A 证明1. 若,A O =则*A O =；2. 1*.n A A-=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）
学院 专业 学号 姓名
注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算题（每题5分，6题共30分）：
1．设111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算n
A .
2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232
，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩.
4．已知阶矩阵
(2)n ≥，且非奇异，求**
()A .
5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足
0+==E A E A -，
计算A I 323+.
6. 设n 阶向量T
x x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x .
二、解答题（3题共45分，每题15分）
1．设10102016A a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，且()2R A =，满足
，求a 和
.
2．已知2222
54245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.
3、设二次型222
123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,
(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1
-成为对角阵;
(3).计算m
A (m 是正整数).
三、证明题和讨论题（2题共25分）：
1.（10分）设
是阶实方阵，
(1).当为奇数且I AA T
=及
时, 证明：0=-A I .
(2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆.
2.（15分）对线性空间3
R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：
(1).向量组B 是否能成为3
R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到
123,,βββ的过渡矩阵P ,其中
1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，且a 为实数.
(2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，
（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；
（b ）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.
（2005－2006上工科54学时）线性代数A 卷参考解答
一、计算题：
1、11113111
111()n -
-⎛⎫
⎪--- ⎪
⎪--⎝⎭
；2、12
12λλ＝，＝；3、 2 ；4、2n A
A -； 5、－10 ； 6、－1 . 二、解答题：
1、解：由初等变换求得a ＝1
，（记E I =
，下同），由0≠-E
A ，因此 可逆 ，且
2、解：经计算, 因此方程组有唯一解。
时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
，即
时无解。
时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形
:
因 ，所以
时有无穷多解。
等价方程组为:
令
，得通解为：
3、解：1) 二次型的矩阵为A ＝;
|
E-A |＝
=(+1)(－2)
所以A 的全部特征值为： ＝－1, ＝
＝2
对 = —1, 解 (－E －A )X ＝0 得基础解系为 ＝(1,1,1)； 对
＝
＝2, 解(2E —A )X ＝0得基础解系为
＝ (—1,1,0),
＝ (—1,0,1)。
2).令P ＝123(,,)ααα＝
，即为所求可逆阵，此时AP ＝＝
.
3) 1(1)2(1)42--=Λ==-m
m
m m
m m m
A
P P .
三、证明题和讨论题
1、证明： 1）
，所以
.
2）由12121()---+=+++⋅⋅⋅++=m m m m m A E A k A k A k A E o ，其中(1,2, 1.)=⋅⋅⋅-i k i m 均为
组合系数. 得12
3121()0----+++⋅⋅⋅+=-≠m m m m A A k A
k A k E E , 从而0.≠A 即可逆.
(另证:设
为A 的任意一个特征值，X 为对应的特征向量，则AX=
X ，注意EX=X , 两式
相加(A +E )X=(+1)X , 两边左乘矩阵A +E ，得(A+E )X =(+1)(A +E )X =(+1)X.
重复该过程可得(A +E )X=(+1)X ,而(A +E )=0，且X
0，所以有(+1)=0
故A 的任一个特征值都为－1，由|
|=
=(1)0m
-≠
,
可逆。
)
2、解：设123(,,)A ααα=,123(,,)B βββ=,
1）111011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1
1111120B a a ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝⎭
－，易知1≠a 时, 123,,βββ能成为3
R 中的基.即有=A BQ ,且0≠Q ,令11 ()--==B AQ AP P Q ＝，故能用A 线性表示B .由初等行变换 求得1110011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－＝－，则所求过渡矩阵为10
0211120P A B a a a a --⎛⎫ ⎪==--+ ⎪ ⎪-⎝⎭
. 2) 由题设C B A ＝，其中221C=212122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
k －－－－，且3
270=≠C k .
如果0≠A ，即123,,ααα线性无关，则有C C 0=≠B A A ＝，得123,,βββ线性无关； 反之如果123,,βββ线性无关，则由C 0=≠A B ，得到0≠A . 可见, 123,,ααα线性无关是123,,βββ线性无关的一个充分必要条件. 如果123(,,)ααα=A 是正交阵,即T
=A A E ,
则22
2212212122129122122T T T T -⎛⎫⎛⎫
⎪⎪===---= ⎪⎪ ⎪⎪
----⎝⎭⎝⎭
B B
C A AC C C k k E ,可见13=±k 时.B 是
正交阵.
反之B 是正交阵时, 29T T T T
===BB AC CA k AA E ,即T
=
AA 219E k ,可见13
=±k 时,A 是正交阵.综上,
B 为正交阵的一个充要条件是13
=±k 且A 为正交阵.。