武汉大学2003-2004线性代数试题(54工)
武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)
武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）学院 专业 学号 姓名注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算题（每题5分，6题共30分）：1．设111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算nA .2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩.4．已知阶矩阵(2)n ≥，且非奇异，求**()A .5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足0+==E A E A -，计算A I 323+.6. 设n 阶向量Tx x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x .二、解答题（3题共45分，每题15分）1．设10102016A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2R A =，满足，求a 和.2．已知222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.3、设二次型222123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1-成为对角阵;(3).计算mA (m 是正整数).三、证明题和讨论题（2题共25分）：1.（10分）设是阶实方阵，(1).当为奇数且I AA T=及时, 证明：0=-A I .(2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆.2.（15分）对线性空间3R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：(1).向量组B 是否能成为3R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵P ,其中1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，且a 为实数.(2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；（b ）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.（2005－2006上工科54学时）线性代数A 卷参考解答一、计算题：1、11113111111()n --⎛⎫⎪--- ⎪⎪--⎝⎭；2、1212λλ＝，＝；3、 2 ；4、2n AA -； 5、－10 ； 6、－1 . 二、解答题：1、解：由初等变换求得a ＝1，（记E I =，下同），由0≠-EA ，因此 可逆 ，且2、解：经计算, 因此方程组有唯一解。
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设A，B为可逆矩阵，则下列矩阵不一定可逆的是( ).参考答案:A+B.2.已知三阶方阵A的特征值为【图片】，则【图片】参考答案:3.若【图片】阶行列式D的值为0，则D中必有一行元素全为0.参考答案:错误4.设【图片】, 则 A 的任意 m 个列向量必线性无关.参考答案:错误5.设 A 是【图片】矩阵，A 的秩为 m，m < n, 则 A 中任一 m 阶的子式不等于零。
参考答案:错误6.n 阶⽅阵 A 可对⽅化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值.参考答案:错误7.行列式为0的充分条件是( ).参考答案:行列式中各行元素之和为0.8.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，其对应的余子式的值依次为3,2,1，则该行列式的值为参考答案:-2.9.已知 4 阶行列式中第一行元素依次为 1，0，-4，3，第三行对应元素的代数余子式的值依次为 1，5，-2，x. 则x的值为：参考答案:-3.10.在函数【图片】中，【图片】的系数为参考答案:.11.设A 是 3 阶正交矩阵，【图片】是A 的逆矩阵。
若向量【图片】, 则向量【图片】的长度为_____ .参考答案:312.设向量【图片】且向量【图片】在向量【图片】上的投影向量为【图片】则 x= ____ .参考答案:13.如果矩阵A能对角化，那么A的特征值一定互不相同.参考答案:错误14.实对称矩阵一定可以相似对角化，且相似矩阵是正交阵.参考答案:错误15.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则【图片】.参考答案:错误16.已知三阶矩阵A的特征值为【图片】, 则下列命题不正确的是( ).参考答案:1和-1所对应的特征向量正交.17.n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是( ).参考答案:对A的每个重特征值，有个线性无关的特征向量.18.行列式为0的充分条件是（）参考答案:行列式中各列元素的和为0.19.若行列式D中的每一个元素都不为零，则行列式D不等于零。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为（）。
A. 4B. 8C. 2D. 1答案：B2. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(2, 3, 4)，则向量a和向量b的点积为（）。
A. 11B. 12C. 13D. 14答案：C3. 设矩阵A和矩阵B为同阶方阵，且AB=I，则矩阵A和矩阵B互为（）。
A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：B4. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ-2)，则矩阵A的特征值为（）。
A. 0, 1, 2B. 0, 1, 3C. 1, 2, 3D. 2, 3, 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式|A|=______。
答案：-22. 设向量a=(1, 2)，向量b=(3, 4)，则向量a和向量b的叉积为向量c=(______, ______)。
答案：-2, 63. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}\]，则矩阵A和矩阵B的乘积AB=______。
答案：\[\begin{bmatrix}10 & 11 \\ 22 & 25\end{bmatrix}\]4. 设矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，则矩阵A的特征多项式为f(λ)=______(λ-2)(λ-3)。
答案：(λ-2)(λ-3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\]，求矩阵A的逆矩阵。
2007-2008第二学期线性代数及答案工科36学时
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数D 》 （A 卷，工科36学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分)设123,,ααα均为三维向量 ，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).A B αααααααααααα==++++++ 已知1A =，求B ．二、(10分) 设211120212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,023214014-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，-=+AC E B C ,求矩阵C ．三、（15分）已知向量组123418210:2,4,1,53826A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξξ求向量组A 的秩及一个最大无关组，并把其它的向量用最大无关组表示出来．四、(15分）设线性方程组为123123123(2)2212(5)4224(5)31x x x x x x x x x λλλλ++-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=+⎩问λ为何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.五、(15分）已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1） 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，试求出该特征向量，若不能，则说明理由。
2）能否由此求得实对称阵A ？若能，试求之，若不能则说明理由。
六、(15分) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵().n n ⨯已知,BA E = 试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？七、(20分)设二次型的矩阵为5212233a b a b cc c --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，,,a b c 为常数，则 （1).写出二次型),,321x x x f （的具体形式；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
2004年武汉大学高等代数解答2
《高等代数》试题解答
1． 解
由
A
=1， 2
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞ ⎟⎠
−1
=
1 A* 9 27 A
= 6 A* ，而
A*
=
A 2 ，故
⎛ ⎜⎝
1 3
A
⎞−1 ⎟⎠
−10
A*
=
−4 A*
= −64
A*
= −16 ．■
2． 解 将 Dn 加边得，
1 a1
an
0 Dn =
综上，存在 K 上的 n 阶可逆矩阵T ，使得 f ( y) = Ty (∀y ∈U ) 是U 到V 的同构映射．■
另一方面，由 B 表达式，知 B 的逆可由 E, A, A2 表出，令 B−1 = aA2 + bA + cE ，则
( )( ) BB−1 A2 − 2 A + 2E aA2 + bA + cE = E
利用多项式恒等知识得
a
=
1 10
,b
=
3 10
,
c
=
2 5
，而
⎛ ⎜⎝
1 10
A2
+
3 10
A
+
2 5
E
⎞ ⎟⎠
B
=
E
，
故， B 的逆即为 1 A2 + 3 A + 2 E ．■ 10 10 5
5． 证 因为 AA* = A* A = A E ，故 A* A = A n ， 若 A ≠ 0 ，则 A* = A n−1 ．
若 A = 0 ，则当 r ( A) = 0 , A = 0 ， A* = 0 ，故 A* = A n−1 ，
04级线性代数试题及答案
04级线性代数试题一、选择题1．设|A |是四阶行列式，且|A |=-2，则||A |A |=( )．(A) 4； (B)8； (C)25； (D) -25 ． 2．设A,B,C 为同阶方阵，且ABC =E .则下列各式中不成立的是( )．(A) CAB =E ； (B)111B A C E ---=； (C) BCA =E ； (D)111C A B E ---=． 3．11223344(1,0,0,),(1,2,0,),(1,2,3,),(2,1,5,),T T T T αλαλαλαλ===-=-设1234,,,,().λλλλ其中是任意实数则有(A) 123,,ααα总线性相关； (B) 1234,,,αααα总线性相关； (C) 123,,ααα总线性无关； (D) 1234,,,αααα总线性无关． 4．设12,,,s ααα 和12,,,t βββ 为两个n 维向量组， 且1212(,,,)(,,,)s t r r r αααβββ== ，则( )． (A) 两向量组等价；(B) 1212(,,,,,,,)s t r r αααβββ= ；(C)当12,,,s ααα 能由12,,,t βββ 线性表示时，两向量组等价； (D) 当s t =时，两向量组等价．5．下列说法中向量组12,,,s ααα 必定线性相关的是( )． (A) 121,,,s βββ- 可由12,,,s ααα 线性表示； (B) 12121121(,,,,,,,)(,,,)s s s r r αααββββββ--= ； (C) 1212(,,,)(,,,,)s s r r ααααααβ= ；(D) 12121212,,,,,,,s s s s βββαααγγγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中线性相关.6．11(),1(1,2,,)().n ij ij j in j A a n n a x a i n -==-==∑ 设为阶可逆方阵则元线性方程组(A)有唯一解； (B)无解；(C)有无穷多解； (D)以上三种结果都可能发生．7．已知二阶实对称矩阵A 的一个特征向量为31-⎛⎫⎪⎝⎭，且|A |<0，则下面必为A 的特征向量的是( )．(A) 31k -⎛⎫⎪⎝⎭； (B)13⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 121231,0013k k k k -⎛⎫⎛⎫+≠≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且； (D) 121231,,13k k k k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不同时为零.8．若矩阵A 与B 相似，则( )．(A)E A E B λλ-=-； (B) |A | = |B |；(C)A,B 有相同的特征向量； (D) A 与B 均与一个对角矩阵相似． 9．当A 是( )时，A 必合同与单位阵．(A) 对角矩阵； (B) 对称矩阵； (C) 正定矩阵； (D) 正交矩阵． 10．n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是( )． (A)A 的所有特征值非负； (B)r (A )=n ； (C)所有k 阶子式为正(1≤k ≤n )； (D)1A -为正定矩阵． 二、填空题1．多项式10223()71043171x x xf x x-=--中，常数项为 ． 2．设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且|A |=|B |=2，则*020A B=- ．3． ,,αβγ为三维列向量，已知三阶行列式|4,2,2|40γαβγα--=， 则行列式|,,|αβγ ．4．设A ,B 均为四阶方阵，r (A )=3, r (B )=4，则r (A *B *)= ．5．设1121A ⎛=⎪⎭，已知A 6=E ，则A 17= ．6．设A 为对称矩阵，B 为与A 同阶的正交矩阵，则111()()T T B B A B A E B ---++= ．7．设为四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为 ．8．设A,B 均为n 阶方阵，且|AB |=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为 ．9．若A 相似于diag (1, -1,2)，则13||A -= ． 10．当t 满足条件 时，二次型f 是正定的，其中2221231231223(,,)222f x x x x x x x x tx x =++++三、计算题1．*1*102010,2,,001A A XA A X E A A -⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭设且其中是的伴随矩阵.X 求矩阵2．λ取何值时，方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ--=-⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩ 无解、有唯一解或有无穷多解？在有无穷多解时求其通解。
武汉大学线代往届试题
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒； ⃒ ⃒ ⃒ ⃒
2. ������ = |������|,其中 ������ = (������������������ ) 是 2007 阶方阵, ������������������ = ������ − ������.
二. （10 分） 设 ������1 = (1, 0, 2, 1), ������2 = (2, 0, 1, −1), ������3 = (1, 1, 0, 1), ������4 = (4, 1, 3, 1), 求向量组 ������1 , ������2 , ������3 , ������4 的秩和一个极大无线性关组.
三. (40 分) 证明与讨论 ⎧ ⎪ ⎪ ������������1 + ������2 + ������3 = 0 ⎨ 1. 设有线性方程组 ������1 + ������������2 + ������3 = 3 ⎪ ⎪ ⎩ ������ + ������ + ������������ = ������ − 1 1 2 3 并在有无穷多解时求出其通解.
3
武汉大学 2006 – 2007 学年第一学期
《 线性代数B》 (工科 54 学时)试题
一. (10 分) 计算下列行列式 ⃒ ⃒ ������ ⃒ 1 0 ������1 0 ⃒ ⃒ 0 ������1 0 ������1 1. ������ = ⃒ ⃒ ������ ⃒ 2 0 ������2 0 ⃒ ⃒ 0 ������2 0 ������2
2
武汉大学 2005 – 2006 学年第二学期
《 线性代数D 》 (工科 36 学时)试题
一. (30 分) 计算题 1. 设 ������1 = (3, 21, 0, 9, 0), ������2 = (1, 7, −1, −2, −1), ������3 = (2, 14, 0, 6, 1), 求向量组 ������1 , ������2 , ������3 的一个极大无关 组.
(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出①四个选项中只有 一个是符合题目要求◎，请将其代码填在题后①括号内。
错选或未选均无分。
A. -6 C. 24. 设A 是方阵，如有矩阵关系式 AB =AC ,则必有( A. A = 0C. A =0 时 B =C5. 已知3X 4矩阵A O 行向量组线性无关，则秩( A. 1 C. 3 D.46.设两个向量组a 1, a 2,…，a s 和B 1, 3 2,…，3 s 均线性相关，则()A. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 a 什入2 a 2+…+入s a s =0和入1 3什入2 3 2+…入s 3 s =0B. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1+ 3 1) +入2 ( a 2+ 3 2) +…+入s ( a s + 3 s ) =0C. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1- 3 1) +入2 ( a 2- 3 2)+…+入s ( a s - 3 s ) =0D. 有不全为0 O 数入1,入2，…，入s 和不全为0 O 数卩1 ,卩2,…，卩s 使入1 a 计入2a 2+…+入 s a s =0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ …+ 卩 s 3 s =0 7. 设矩阵A O 秩为r ,则A 中( )A. m+n C. n-a11a12a13a11=m ,a 21 a 22a 23 a 21a11 a 12 ' a13a 21 a 22 亠a 23B. - (m+n)D. m- n等于(2•设矩阵A =3.设矩阵 ■‘3 -1 21 0 -1 V-2 14丿中位于 (1 , 2)0兀素是(B. 6 D.-)B. B = C 时 D. | A0 时 B =C A T)等于( )B. 2 1•设行列=n ，则行列式(10 2 VP 0 A. C.0，则A -1等于(3丿,A *是A ①伴随矩阵，则 A A =A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n 1,A. n什n 2是Ax=0 O—个解B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n 2是其任意2个解，则下列结论错误O是1 1B. —n 1+ n 2是Ax=b O—个解C. n i -n 2 是 Ax=O ①一个解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b ①一个解 9•设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n- 1 C. A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10•设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确①是（ ）A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A ①属于特征值 入①特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A ①特征值C. A O 2个不同①特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A O 3个互不相同①特征值， a 1, a 2, a 3依次是A ①属于入i ,入2,入3①特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关 11. 设入o 是矩阵A ①特征方程①3重根，A ①属于入°①线性无关①特征向量①个数为 k ，则必有（ ） A. k ＜ 3B. k ＜3C. k=3表示|A |中元素a j ①代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则2 218. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝y a= 一 . 19. ______________ 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同①解，则它 ◎通解为 .20.设A 是m x n 矩阵，A ①秩为r （＜n ），则齐次线性方程组 Ax=0①一个基础解系中含有解①个 数为D. k>312. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误①是（A.| A|2必为 1 -1 ■ T C. A = A13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，A. A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同①特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵①为（）i'2 3:A. I I 母4丿'1 0 0C. 0 2-3©-35」）B.| A 必为1D. A ①行（列）向量组是正交单位向量组 B =C AC .则（）4 6」、1 12 0第二部分 、填空题（本大题共 10小题，每小题 小题①空格内。
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备用试题
武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期
《线性代数》试题 (工科54学时)
姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。
一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1 a a a a
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ 的值 。
二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。
其中A ＝ 12
3012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
－－－，求矩阵B 。
三、给定矩阵A ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------11011111100222021110，求()R A 。
四、已知1(1 0 2 3)α=，
，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，， 且(1 1 +3 5)b β=，，，，
1） a b ，
为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ，
为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。
五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。
六、求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++43322
321
321321x x x x x x x x x 的通解。
七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的
对应于121λλ＝＝的特征向量，
1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。
2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。
八、设222
(,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。
九、给定3R 的基⎪⎩⎪⎨⎧===.)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321ξξξ 和 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=).1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ,
试求：
1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ；
2）求T 关于基321,,ηηη的变换矩阵A 。