武汉大学2009年数学分析考研试题解答B
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武汉大学2009年数学分析考研试题
一．计算题
1.111lim 1212312n n →∞
+++ ++++++
； 2.求()2
00
2
sin lim
sin x
x
x x t t dt x t dt
→−∫∫；
3.设()01sin x t F x dt x t =∫，()0x ≠，()01F =，求()()40F ，()
()90F . 4.设1x y z
xyze
++=，求222,,,z z z z
x y x x y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂.
5.求3
ln D
x dxdy y ∫∫，D 是由y x =，1y =，2x =围成的三角形.
二．1.设{}O α是有界其区间[],a b 的一个开覆盖.
证明：存在0δ>，任意[]12,,x x a b ∈，只要12x x δ−<，就存在{}O O α∈，使得12,x x O ∈.
2.举例说明：开区间的开覆盖可能没有这个性质.
三．设()f x 在()0,a 上可微，且()f a −=+∞，求证()f x ′在x a =的左侧无上界. 四．设22:D x y y +≤，0x ≥.(),f x y 在D 上连续， 且(
)()8
,,D
f x y f x y dxdy π
=∫∫，求(),f x y .
五．设(),f x y 是(){}22,:1D x y x y =+≤上二次连续可微函数，且满足()222
2222f f x y x y ∂∂+=+∂∂
，试求积分D I dxdy
=∫∫.
六．设lim n n a →∞=+∞，证明1
1lim n
k n k a n →∞==+∞∑.
七．设()(
)()()()()22
,0,0,0,
,0,0x y x y f x y x y +≠ = =
，
（1）求()0,0x f ，()0,0y f ；
（2）证明(),x f x y ，(),y f x y 在()0,0处不连续； （3）证明(),f x y 在()0,0处可微，并求()0,0df . 八．设(),z x y 二阶连续可微，对微分方程
()()22223221
1
20z z z z z x x y y x y x y x y ∂∂∂∂∂++−+= ∂∂∂∂∂∂++ ， 作变量代换u xy =，v x y =−， （1）求代换后的方程；
（2）指出变量代换失效的点集，并说明失效的理由，
代换在失效点集上会产生什么现象.
九．设()()3
31ln 1n u x n x n =+，1,2,n = 记()()1
n n S x u x ∞
==∑，
（1）求证：对任意0b >，()1
n n u x ∞
=∑在[]0,b 上是一致收敛的，但()1
n n u x ∞
=∑在[)
0,+∞上不是一致收敛的； （2）讨论()S x 的可微性.
武汉大学2009年数学分析考研试题解答
一．1.解111lim 1212312n n →∞
+++ ++++++ ()
22lim 1n
n k k k →∞==+∑
1
12lim 121n n →∞
=−= + ； 2.解 ()2
00
2
sin lim
sin x
x
x x t t dt x t dt
→−∫∫
220
2
sin sin lim
sin x
x
x
x x t dt t t dt
x t dt
→−=∫∫∫
20
2
2
sin lim
sin sin x
x
x t dt
t dt x x
→=+∫∫
2
22220sin lim sin sin 2cos x x x x x x →=++ 2
22022sin 1lim 2sin 4
2cos x x x x x x
→==+；
3.解 因为()
()210
1sin 21!
n
n n t t n ∞
+=−=+∑
，
()01sin x t F x dt x t =∫()()2001121!n
x n n t dt x n ∞=−=+∑∫ ()()()210111
21!21n
n n x x n n ∞+=−=++∑
()()()22
01212!
n n n x n n ∞
=−=+∑， 于是(
)
()()
()
22
1021n n F n −=
+，()()2100n F −=，
所以()()41
025
F =
，()()900F =. 4.()()()()111111x y z x y z
yz xyz e z x z
x x xy xyz e x z z +++++++∂=−=−=−∂+++，1111z y y z
+∂=−∂+；
2
222
21111111x z z x z z x x z
+−+ ∂ =∂
+
()()()2232111z z x x z +++ =+； ()()()2223
1111111y z z x y z z x x y xy z z + ++∂ ==∂∂+
+
. 5.解 3
ln D
x dxdy y ∫∫2221113ln ln x y dx xdy dy ydx =−∫∫∫∫