8章应力分析·强度理论
应力状态分析与强度理论-习题与答案
（A）受力构件横截面上各点的应力情况
（B）受力构件各点横截面上的应力情况
（C）构件未受力之前，各质点之间的相互作用力状况
（D）受力构件内某一点在不同横截面上的应力情况
2、一实心均质钢球，当其外表面迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态是（）
（A）单向拉伸应力状态（B）平面应力状态
（A）铸铁为塑性材料
（B）铸铁在三向压应力状态下产生塑性变形
（C）铸铁在单向压应力作用下产生弹性变形
（D）材料剥脱
7、混凝土立方试块在作单向压缩试验时，若在其上、下表面上涂有润滑剂，则试块破坏时将沿纵向裂开，其主要原因是（）
（A）最大压应力（B）最大剪应力
（C）最大伸长线应变（D）存在横向拉应力
8、一中空钢球，内径d＝20cm，内压p＝15Mpa，材料的许用应力 ＝160Mpa，则钢球壁厚t只少是（）
（A）t＝47㎜（B）t＝2.34㎜
（C）t＝4.68㎜（D）t＝9.38㎜
9、将沸水注入厚玻璃杯中，有时玻璃杯会发生破裂，这是因为（）
（A）热膨胀时，玻璃杯环向线应变达到极限应变，从内、外壁同时发生破裂
（B）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从外壁开始破裂
（C）玻璃材料抗拉能力弱，玻璃杯从内壁开始破裂
（D）水作用下，玻璃杯从杯底开始破裂
因圆柱与钢筒之间的空隙 ，而 > ，故圆柱受钢筒弹性约束。设柱与筒之间的作用力为p，则铝柱中各点处主应力为
钢筒中各点处主应力为
设铝柱和钢筒的径向应变分别为 ，变形协变条件为
即
于是
得
p＝2.74Mpa
故钢筒周向应力为
即
得
所以则其相当应力为
由于 <0.5
08应力状态分析3广义胡克定律与强度理论土
一、二向应力状态下的胡克定律
1 x y E 1 y y x E
x
二、三向应力状态下的胡克定律
x
1 y y z x E 1 z x y z E
所以，该梁的强度符合要求 ◆ 梁在点 a 处的相当应力要明显大于最大弯曲正应力。这意味着， 对于该梁，仅按最大弯曲正应力作强度计算是不够的。这是因为最 大弯曲正应力发生在梁的上、下边缘处，为单向应力状态，而点 a 则处于二向应力状态。
◆ 但需同时指出，在工程实际中，工字形截面梁大都是用工字钢 制作的，这种情况一般不会出现，故直接按最大弯曲正应力和最 大 16 弯曲切应力分别进行强度计算即可。
15
2
a 2 1 a 2 2
a
2
2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
a
2 a 2 2
a
2
根据第三强度理论校核点 a 强度
2 2 r3 1 3 a 4 a 151MPa [ ] 160 MPa
[例5] 一钢制构件，其危险点的应力状态如图，已知材料的许用应
力 [ ] = 120 MPa，试校核此构件的强度。
20 MPa
解： 由于构件为钢制（塑性材料）， 且危险点处于二向应力状态，故应采 用第三或第四强度理论进行强度计算
40MPa 40MPa
1）计算主应力
x 40MPa
由解析法，得
说明： 1）强度理论适用于所有应力状态。 2）一般情况下，第一、第二强度理论适用于脆性材料；第三、第 四强度理论适用于塑性材料。
周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析
![周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析](https://img.taocdn.com/s3/m/cbb06210a417866fb94a8e07.png)
8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。
已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为113321::::=σσσ；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa 时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa 时发生塑性破坏。
若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。
解： 令主应力分别为：σσ31=，σσσ==32脆性断裂时，由第一强度理论=1r σσσ31==770MPa所以，塑性破坏时，由第三强度理论 所以故，试件将发生脆性断裂。
破坏时MPa 7701=σ，MPa 25732==σσ8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径mm d 800=，壁厚mm 4=δ，材料的M P a ][120=σ，试根据强度理论确定容器的许可内压p 。
解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。
p pd 504'==δσ ，p pd1002"==δσ 其三个主应力为p 100"1==σσ， p 50'2==σσ，03=σ据第三强度理论所以 ，MPa p 2.13≤，许可内压MPa p 2.13= 据第四强度理论所以，MPa p 39.14≤，许可内压MPa p 39.14=8-51 空心薄壁钢球，其平均内径mm d 200=，承受内压MPa p 15=，钢的MPa ][160=σ。
试根据第三强度理论确定钢球的壁厚δ。
解：钢球上任一点应力状态如图示 其三个主应力为：σσσ==21，03=σ而 MPa MPa d p R R p δδδδππσ4342.0152222=⨯=⋅=⋅⋅=据第三强度理论 所以 mm m 69.41069.41601433=⨯=⨯≥-δ 8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径mm d 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压MPa p 5=，且在两端受压力kN F 100=和外扭矩m kN T ⋅=3作用，材料的许用拉应力MPa ][40=+σ，许用压应力MPa ][160=-σ，泊松比250.=ν，试用莫尔强度理论校核其强度。
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
5第八章第六节 明钢管的管身应力分析2(2013.4)
一、明钢管的荷载
(1)内水压力。包括各种静水压力和动水压 力，水重，水压试验和充、放水时的水压 力。 (2)钢管自重。 (3)温度变化引起的力。 (4)镇墩和支墩不均匀沉陷引起的力。 (5)风荷载和雪荷载。
(6)施工荷载。
(7)地震荷载。 (8)管道放空时通气设备造成的负压。 钢管设计的计算工况和荷载组合应 根据工程的具体情况参照钢管设计规 范采用。
H=28.9m
参考清华大学王树人《水电站建筑物》
2m
镇 墩
计算水头80.6m
支 墩
镇 墩
四、 明钢管的抗外压稳定校核
（一）、明钢管外压失稳的原因及失稳现象 (1) 机组运行过程中由于负荷变化产生负水锤， 而使管道内产生负压； (2) 管道放空时通气孔失灵，而在管道内产生真 空。 管道内部产生真空或负压时，管壁在外部的大气 压力下可能丧失稳定，管壁被压瘪。
θ
式中 S:某断面以上的管壁面积对中和轴的静 2 矩 S 2r sin r:管道半径； b:受剪截面宽度，b=2δ θ:管顶至计算点的圆心角，当θ=0°和180° x 0 ； 当θ=90°和 时，在管顶和管底， 270°时，剪应力最大为：
x Q / r
x 的分布:
2-2断面管壁应力分布和方向
（三）支承环断面（断面3-3）
三、强度校核
钢管为三维受力状态，计算出各个应力分量后， 应按强度理论进行校核。如果不满足强度要求， 则重新调整管壁厚度和支墩间距，再重新计算， 直到满足强度条件。 (一) 容许应力 水电站压力钢管一般要求在各种荷载组合作用 下，钢管的最大应力不超过材料的允许应力[σ] 常用钢材屈服强度σs的百分比表示 (课本表8-2)
材料力学-第8章应力状态与强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
强度理论概述
关于脆性断裂的强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
零件或构件在载荷作用下，没有明显的破坏 前兆（例如明显的塑性变形）而发生突然破坏的 现 象 ， 称 为 断 裂 失 效 （ failure by fracture or rupture）。
Mechanics of materials
材料力学
材料力学
第 8章
基础篇之八
应力状态与强度理论 及其工程应用(B)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
什么是“失效”；怎样从众多的失效现象中寻找失效 规律；假设失效的共同原因，从而利用简单拉伸实验结果， 建立一般应力状态的失效判据，以及相应的设计准则，以 保证所设计的工程构件或工程结构不发生失效，并且具有 一定的安全裕度。这些就是本章将要涉及的主要问题。
2 1 3
max 1 ( 1 0)
= b
o max b
失效判据 强度条件
1 b
1
b
nb
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂
第二强度理论又称为最大拉应变准则（maximum tensile strain criterion），它也是关于无裂纹脆性材 料构件的断裂失效的理论。
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
根据第二强度理论，无论材料处于什么应力状态， 只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元的最大 拉应变达到了某个共同的极限值。
max
o max
(1 0)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
应力状态分析 、强度理论、组合变形
Page57
BUCT
解：1 T＝3×0.25 ＝ 0.75KN.M
2 MxY ＝7×0.22 ＝ 1.54KN.M
3 MxY中＝7×0.22×0.5 ＝0.77KN.M
4 MxZ＝3.5×0.4＝ 1.4KN.M
5
M总
M
2 z
M
2 y
=1.6
6
r3
1 W
M 2 T 2 [ ]
Page28
BUCT
化工设备机械 基础
然后叠加
= + = Pcos / A + Pl sin y / Iz
1 = N / A + M / Wz
2 = N / A - M / Wz
Page29
BUCT
例题5-5
化工设备机械 基础
Page30
BUCT
化工设备机械 基础
Page31
BUCT
uf 达到某一数值时，材料失效。
强度条件：
1 2
[(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
]
[]
Page21
BUCT
化工设备机械 基础
r1 1
r2 1－μ（σ2 － σ3 ）
r3 1 3 2 4 2
r4
1 2
2 3 2
r3
( M )2 4( T )2 1
W
Wp
W
M 2 T 2 [ ]
Page2
BUCT
§1 应力状态的概念
化工设备机械 基础
一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的分布规律
1. 轴向拉压：
高等教育出版社简明材料力学第二版 第八章 应力状态分析和强度理论分析
1 150 MPa, 2 75 MPa,
3 0
2018/10/12 15
8-2 二向和三向应力状态的实例
火车车轮与钢轨的接 触点也是三向应力状态
A
滚 珠 轴 承
2 A
3
1
2018/10/12
16
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
则斜截面面积为： A Aα = cos α F F cosα F pα cos σ cosα Aα A A
σ σα = pα cosα =σ cos α τ α = pα sin α = σ sin α cos α = sin 2α 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
10
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
8-3 二向应力状态分析
考虑到切应力互等定理：τxy=τyx
xy
x y
yx
x y
x y
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
材料力学第八章
D2 E2 O2
某实际应力状态：与 包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或 压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和 扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因： 形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况： 符合表面润滑石料的轴压破坏，某些 脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的 原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因： 最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。
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材 料 力 学第8章 应力分析·强度理论8.1 概 述前面几章中，分别讨论了轴向拉伸与压缩、扭转和弯曲等几种基本变形构件横截面上的应力，并根据相应的实验结果，建立了危险点处只有正应力或只有切应力时的强度条件[]max σσ≤或[]max ττ≤式中：max σ或max τ为构件工作时最大的应力，由相关的应力公式计算；[]σ或[]τ为材料的许 用应力，它是通过直接实验（如轴向拉伸或纯扭），测得材料相应的极限应力，再除以安全因数获得的，没有考虑材料失效的原因。
这些强度条件的共同特点是：其一，危险截面的危险点只有正应力或只有切应力作用；其二，都是通过实验直接确定失效时的极限应力。
上述强度条件对于分析复杂情形下的强度问题是远远不够的。
例如，仅仅根据横截面上的应力，不能分析为什么低碳钢试样拉伸至屈服时，表面会出现与轴线成45°角的滑移线；也不能分析铸铁圆试样扭转时，为什么沿45°螺旋面断开；根据横截面上的应力分析和相应的实验结果，不能直接建立既有正应力又有切应力存在时的强度条件。
实际工程中，构件受力可能非常复杂，从而使得受力构件内截面上一点处往往既有正应力，又有切应力。
对于这些复杂的受力情况，一方面要研究通过构件内某点各个不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在的截面方位；另一方面需要研究材料破坏的规律，找出材料破坏的共同因素，通过实验确定这一共同因素的极限值，从而建立相应的强度条件。
本章主要研究受力构件内一点的应力状态，应力与应变之间的关系（广义胡克定律）以及关于材料破坏规律的强度理论，从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的理论基础。
8.2 一点的应力状态·应力状态分类受力构件内一点处不同截面上应力的集合，称为一点的应力状态。
为了描述一点的应力状态，在一般情况下，总是围绕这点截取一个3对面互相垂直且边长充分小的正六面体，这一六面体称为单元体。
当受力构件处于平衡状态时，从构件内截取的单元体也是平衡的，单元体的任何一个局部也必是平衡的。
所以，当单元体3对面上的应力已知，就可以根据截面法求出通过该点的任一斜截面上的应力情况。
因此，通过单元体及其3对互相垂直面上的应力，可以描述一点的应力状态。
为了确定一点的应力状态，需要先确定代表这一点的单元体的6个面上的应力。
为此，在单元体的截取时，应尽量使其各面上应力容易求得。
第8章 应力分析·强度理论例如，在图8.1（a ）所示轴向拉伸构件内任意一点A 的周围，若以2个横截面和4个纵向截面截取单元体，将其放大为图8.1（b ），其平面图表示为图8.1（c ）。
单元体的左右两 侧面是杆件横截面的一部分，面上的应力皆为F Aσ=。
单元体的上、下、前、后4个截面都 是纵向截面，面上都没有应力。
但若按图8.1（d ）的方式截取单元体，使其4个侧面与纸面垂直但与杆件的轴线不平行也不垂直，成为斜截面，则在这4个截面上，不仅有正应力而且有切应力。
显然其应力的确定比图8.1（a ）更困难。
图8.1 围绕受拉构件内任意一点截取的单元体在图8.1（b ）或图8.1（c ）中，单元体的各个面上均无切应力。
这种无切应力作用的平面称为主平面。
主平面上的正应力称为主应力。
主平面的外法线方向称为主方向。
若单元体的各个侧面均为主平面，则该单元体称为主单元体。
可以证明，受力构件内任一点都可找到3对互相垂直的主平面，即一定存在一个由主平面构成的主单元体。
因而每一点都有3个主应力，通常用1σ，2σ，3σ来表示，并按它们代数值的大小顺序排列，即123σσσ≥≥，分别称为第一、第二和第三主应力。
对轴向拉伸 （或压缩），3个主应力中只有1个不等于零，称为单向或单轴应力状态。
若3个主应力中有2个不为零，称为二向或平面应力状态。
当三个主应力皆不为零时，称为三向或空间应力状态。
前面几种基本变形都只涉及到单向应力状态或纯剪应力状态，它们都属于简单应力状态；而除了纯剪应力状态外的其它二向和三向应力状态都属于复杂应力状态。
【例8.1】 如图8.2（a ）所示承受内压的圆柱形薄壁容器，平均直径为D ，壁厚为δ，承受内压为p （N/m 2）。
试计算容器上由纵横截面组成的单元体A 上的应力。
【解】：在内压作用下，容器将产生沿轴向和径向方向的变形，故在容器的横截面和纵截面上均受到拉应力的作用。
由于壁很薄，可认为应力沿壁厚均匀分布。
（1）横截面上的应力。
用横截面将容器截开，其受力如图8.2（b ）所示，根据平衡方程0x F =∑：2ππ04x D D p σδ−=i i可得 4x pD σδ= （2）纵截面上的应力在圆筒中部截取一段（单位长度），再用包含轴线的纵截面将之截开，其受力如图8.2（c ）材 料 力 学所示，根据平衡方程0y F =∑：2110y p D σδ−=i i i i可得 2y pD σδ=图8.2 例8.1图因横向和纵向截面上均无切应力，且在单元体的第三个方向（与直径垂直的方向）上，虽然还有作用于内壁的压强p 和作用于外壁的大气压强，但都远小于x σ和y σ，可以忽略不计。
故该单元体A 就是其主单元体，其3个主应力为12pD σσ= 24pD σσ= 30σ= 由上可见，纵截面上的应力比横截面上的应力大一倍，故容器受内压破裂时，其裂缝常沿纵截面发生。
8.3 平面应力状态·应力分析的解析法在薄壁圆筒的筒壁上，以纵向和横向截面截取的单元体（图8.2（a ）），其周围各面皆为主平面，应力皆为主应力。
但在其他情况下就未必如此。
例如圆轴扭转时，横截面上除圆心外，任一点上皆有切应力，可见横截面不是它们的主平面；又如横力弯曲时，梁的横截面上除上、下边缘及中性轴处外，任一点上均有正应力和切应力，所以横截面不是这些点的主平面，弯曲正应力也不是这些点的主应力。
本节要讨论的问题是：在平面应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何求出通过这一点的其他截面上的应力，从而确定该点的主应力、主平面以及最大切应力。
第8章 应力分析·强度理论8.3.1 任意斜截面上的应力在图8.3（a ）所示的单元体的各侧面上，设应力分量x σ，y σ，xy τ和yx τ均已知，图8.3（b ）为单元体的正投影。
各应力分量的下标具有如下含义：x σ和y σ分别表示垂直于x 轴和y 轴侧面上的正应力；xy τ第一个下标x 表示切应力作用面的法线方向，第二个下标y 表示切应力平行于y 轴。
yx τ与之类似。
根据切应力互等定理，xy τ=yx τ。
应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。
按照这一规定，图8.3（a ）和图8.3（b ）中的x σ，y σ，xy τ均为正，而yx τ为负。
欲求与z 轴平行的任意斜截面ef （图8.3（b ））上的应力。
设斜截面ef 的外法线n 与x 轴成α 角，称该斜截面为α 斜截面，其上的正应力和切应力分别用ασ及ατ表示。
为便于计算，将α 角正负号规定为：从x 轴转至α 斜截面的外法线，逆时针转为正，反之为负。
为了求得α 斜截面上的正应力和切应力，利用截面法，沿斜截面ef 将单元体分成两部分，并研究下半部分aef 的平衡（图8.3（c ））。
设截面ef 的面积为d A ，则截面ae 与af 的面积分别为d cos A α与d sin A α，如图8.3（d ）所示。
把作用于aef 部分上的力投影于ef 面的外法线n 和切线t 的方向，可得其平衡方程为()()()()0: d d cos sin d cos cos d sin cos d sin sin 0n xy x yx y F A A A A A ασταασααταασαα=+−+−=∑ ()()()()0: d d cos cos d cos sin d sin cos d sin sin 0t xy x y yxF A A A A A ατταασαασααταα=−−++=∑图8.3 任意斜截面上应力根据切应力互等定理，xy τ与yx τ在数值上相等，以xy τ代替yx τ，化简上述两个平衡方程，得（8.1）（8.2）由式（8.1）～式（8.2）可知，当x σ，y σ，xy τ为已知时，可以求出α 为任意值时斜截面材 料 力 学上的应力。
这种方法称为解析法。
8.3.2 主应力和主平面公式（8.1）表明斜截面上的正应力ασ随α 的变化而变化，是α 的函数。
因此可根据公式（8.1）确定正应力极值，并可确定其所在的平面位置。
将式（8.1）对α 求导，得d 2sin 2cos 2d 2x y αxy σσσαταα−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠ （a ）设当0αα=时，导数d 0d ασα=。
则在0α所对应的截面上正应力ασ取极值。
将0α代入式（a ）并令其等于零，即00sin 2cos 202x y xy σσατα−+= （b ） 可得（8.3）比较式（8.2）和式（b ）可知，在正应力取极值的平面上，切应力等于零。
因切应力为零的平面为主平面，而主平面上的正应力为主应力，所以主应力就是极大或极小正应力。
由式（a ）可求出相差90°的两个角度0α，它们就是两个互相垂直的主平面的法线方位角。
将0sin 2α，0cos 2α代入式（8.1）式即得两个主应力为（8.4） 联合使用式（8.3）和式（8.4）时，可先比较x σ和y σ的代数值，若x σ≥y σ，则式（8.3）确定的两个0α中，绝对值较小的一个确定max σ所在的主平面；若x σ＜y σ，则绝对值较大的一个确定max σ所在的主平面。
8.3.3 切应力极值及其所在平面公式（8.2）表明斜截面上的切应力ατ随α的变化而变化，是α 的函数。
因此可根据公式（8.2）确定切应力极值及其所在的平面位置。
将式（8.2）对α 求导，得()d cos 22sin 2d αx y xy τσσαταα=−− （c ） 设当1αα=时，导数d 0d ατα=。
则在1α所对应的截面上切应力ατ为极值。
以1α代入式（c ）并令其等于零，即()cos 22sin 20x y xy σσατα−−=得第8章 应力分析·强度理论（8.5）由式（8.5）可求出相差90°的两个角度1α，它们可确定两个互相垂直的平面，将1sin 2α，1cos2α代入式（8.2）式即得平面应力状态下切应力的最大值和最小值（8.6）特别注意：不能用上式来求解空间应力状态或特殊空间应力状态下的最大和最小切应力，而应当用后文中的式（8.10）来求解。
比较式（8.3）与式（8.5）可得01tan 2tan 21αα=−i故有10π4αα=± （d ）式（d ）表明最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°。