材料力学第七章应力和应变分析,强度理论

yx
由x正向逆时针转到截面的 外法线n的正向的 反之为负。

y
n

x
角为正;
23
y
y yx
y
xy
yx x
x
x
xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
二、斜截面上的应力
1.截面法 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
Fn 0
dA ( xydAcos ) sin ( xdA cos )cos
( yxdA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
Ft 0
dA ( xydAcos ) cos ( xdA cos )sin
( yxdA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0
利用三角函数公式
{
1 cos (1 cos 2 ) 2 1 sin 2 (1 cos 2 ) 2
2
2 sin cos sin 2
并注意到 yx xy 化简得
1.最大切应力的方位

x y

x y
cos 2 xy sin 2
x y d 2[ cos 2 xy sin 2 ] 0 令 d 2 x y 1 tan 21 90 2 xy 1
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
pD , 4t
pD 2t
可以看出：轴向应力 是环 向应力的一半。
对于薄壁圆筒，有：
D t 20
1 可见 tan 2 0 tan 21
π π 21 2 0 , 1 0 2 4
例题5：一点处的平面应力状态如图所示。 已知
x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。 y
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
.5 主应力 3 方向：0 105

（3）主应力单元体：
y
3
xy

1
x
15 .5
例 6 (书例7.4) 已知： 圆轴受扭转。 求：应力状态及 分析铸铁件受扭 时的破坏现象。 解：

最大切应力 取单元体ABCD 纯切应力状态
T Wt

x 0, y 0, xy
§7. 2
二向和三向应力状态的实例
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
1 二向应力状态的实例
m
n

z
y
p
D
m
l
2
n
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
薄壁圆筒的横截面面积
πD F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
5 p,
10 p
所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，
近似作为二向应力状态处理。
2

三向应力状态的实例
滚珠轴承
例 3 (书例7.1) 已知：蒸汽锅炉， t=10mm, D=1m, p=3MPa 。 求：三个主应力。
解：
前面已得到
pD pD 150 MPa 75 MPa, 2t 4t 1 150 MPa, 2 75 MPa, 3 0
直杆拉伸
F F
k

k k
F

{
p cos cos2
cos sin sin 2 2
p sin
k
p
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各 不相同的，此即应力的面的概念。

应力状态的概念
过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2

正应力的不变量
截面上的正应力为:
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
y
主平面的方位：
xy

tg 2 0
2 xy
x
60 0. 6 60 40 0 15.5 ,

x y
0 15.5 90 105.5 代入 表达式可知 主应力 1 方向： 0 15.5
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
2.最大切应力 将1和 1+90°代入公式

x y
2
sin 2 xy cos 2
得到max和min
x y 2 2 max ( ) xy 2 min
2 xy x y 和 tan 2 1 比较 tan 2 0 x y 2 xy
xy
x
y
2 2 xy 60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2 9.02 MPa x x y sin 2 xy cos 2 2 60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2
3

一点应力状态的描述 单元体

单元体的特点
单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量； 单元体的每一个面上，应力均匀分布； 单元体中相互平行的两个面上，应力相同。



4
主应力及应力状态的分类
1
3
2
3
主单元体:各侧面上切应力均为零的单
元体 主平面: 切应力为零的截面 主应力: 主面上的正应力
1
2
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
应力状态的分类
1.空间应力状态 :三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态: 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零
解：（1） 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2
58.3MPa
（2）主应力、主平面
y
xy

x y x y 2 2 max ( ) xy 2 2
68.3MPa
x x y ( x y ) 2 2 min xy 2 2
所以，最大和最小正应力分别为：
max x y
2 1 2
1 2


2 4 x y xy 2
min
x y
2
x
2 y 4 xy 2
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
四、最大切应力及方位
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.
三、最大正应力及方位 确定正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
例 4 (书例7.2) 已知：球形容器，t , D, p 。 求：容器壁内的应力。
解： 取研究对象如图。
与薄壁圆筒的情况类似，有：
P p
D2
4
Y 0
所以：
Dt P p
D
4
2
pD 4t 1 2 Βιβλιοθήκη Baidu, 3 0
20
§7. 3
二向应力状态分析 解析法
3.单向应力状态: 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
2 1 3 2
3
1 1
2 1
1
2
1
例题 1
画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面
4
3
l/2 l/2 l/2 l/2
2 1
5
S平面
5 4
4
3 2 1
3 2
1
2 x1
1
3
x1
x2
一、应力状态分析
在已知过一点的某些截面上的应 力时，求出过该点的任一截面上 的应力，从而求出主应力和主平 面。


二向应力状态的表示
切应力的下标
xy
切应力的方向
作用面的法线


正负号规定
正应力
x
拉为正
x
x
压为负
x

切应力
使单元体顺时针方向转动
为正；反之为负。
截面的方向角
x'y'
xy
2

低碳钢和铸铁的扭转实验

低碳钢的扭转实验

铸铁的扭转实验
问题：为什么铸铁扭转时会沿 45º 螺旋面断开？ 所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上 的应力。
3
2
应力的三个重要概念 横力弯曲
FN
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应 力各不相同，此即 应力的点的概念 。
第七章
应力和应变分析 强度理论
应力状态的概念
二向和三向应力状态的实例
二向应力状态分析-解析法
二向应力状态分析-n图解法
三向应力状态 广义胡克定律 四种常用强度理论 莫尔强度理论
§7. 1 应力状态概述
1 问题的提出

低碳钢和铸铁的拉伸实验

低碳钢的拉伸实验

铸铁的拉伸实验
问题：为什么低碳钢拉伸时会出现 45º 滑移线？
tan 2 0

主方向
2 xy
x y 0 135 0 45 或

主应力排序
1 max , 2 0,
( x y ) sin 20 2 xy cos20 0
(σ x σ y) 2 sin2α 0 0 τ x ycos2α 0 2τ α 0 2
即α＝α0 时，切应力为零
tan2 0
2 xy
x y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。
+90º 截面上的正应力为:
x y x y 90 cos( 2 ) xy sin( 2 ) 2 2 x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
90 x y
y n
e
yx x
f
e

x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
e
e
x
xy
α
α
n α
α
f
dAcos α
a
dA
a
yx
y
t
dAsin
f
2.任意斜截面上的应力
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
2
x2
2
3
3
例题 2 画出如图所示梁 危 险截面危险点的应力状态单 元体
y S 1 2 z 4 l
F
3
x
FS
2 4
a
z
Mz
T
3
y
y
FS
1 2 z 3 x 4 z 2
4
3
Mz
T
x
1
z
3 2
Mz T 1 x1 Wt Wz
T 4 FS 2 Wt 3 A
x3
T Mz 3 Wt Wz
38

主应力
2
max x y x y 2 xy min 2 2

主方向
x y 0 135 0 45 或
tan 2 0
2 xy


主应力
max min