8应力、应变分析基础2011
应变与应力的计算与分析方法探讨
应变与应力的计算与分析方法探讨应变和应力是材料力学中重要的概念，它们描述了材料在受力作用下的变形和力的分布情况。
在工程实践中，准确计算和分析应变和应力是非常重要的，可以帮助工程师设计出更安全、更可靠的结构。
本文将探讨应变与应力的计算与分析方法。
首先，我们来了解一下应变的概念。
应变是指材料在受力作用下发生的形变相对于原始尺寸的比值。
常见的应变类型有线性应变、剪切应变和体积应变等。
线性应变是最常见的一种应变类型，它描述了材料在受力作用下的拉伸或压缩变形情况。
线性应变的计算方法是通过测量材料的变形量和原始尺寸来确定的。
应变的计算可以使用应变计或应变测量仪器进行，其中应变计是一种常用的测量工具。
应变计的原理是利用材料的电阻、电容或光学性质随应变的变化而发生变化，通过测量这些变化来计算应变。
应变计的使用可以帮助工程师实时监测结构的应变情况，从而及时采取措施防止结构的破坏。
接下来，我们来讨论应力的计算与分析方法。
应力是指单位面积上的力的分布情况，它描述了材料在受力作用下的力学响应。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力等。
拉应力是最常见的一种应力类型，它描述了材料在受拉力作用下的力学响应情况。
拉应力的计算方法是通过受力和截面积来确定的。
应力的计算可以使用应力计或应力测量仪器进行，其中应力计是一种常用的测量工具。
应力计的原理是利用材料的电阻、电容或应变随应力的变化而发生变化，通过测量这些变化来计算应力。
应力计的使用可以帮助工程师实时监测结构的应力情况，从而及时采取措施防止结构的破坏。
除了使用传统的计算和测量方法，现代工程实践中还广泛应用了数值模拟方法来计算和分析应变与应力。
数值模拟方法基于数学模型和计算机仿真技术，可以对复杂的结构和载荷情况进行精确的计算和分析。
常用的数值模拟方法有有限元法、边界元法和网格法等。
这些方法可以帮助工程师更好地理解结构的应变与应力分布情况，并进行结构的优化设计。
总结起来，应变与应力的计算与分析方法是工程实践中非常重要的一部分。
材料力学应力与应变分析
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要 的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切 应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度 。
采用有限元分析方法，建立高 层建筑的三维模型，模拟不同 工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键 部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更 好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
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感谢您的观看
不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下 的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变 ，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的 应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以 导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量， 表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变 （με）和工程应变（%）。
应力与应变状态分析
ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
第八章2应力应变状态分析
第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。
应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。
而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。
针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。
应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。
在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。
线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。
一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。
平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。
二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。
在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。
最常见的是材料的应力-应变曲线。
应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。
在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。
而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。
当应力达到最大值时，材料会发生破坏。
除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。
例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。
剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。
同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。
应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。
通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。
例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。
然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。
首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。
第八章 应力应变状态分析
o
C
(σ x + σ y ) / 2
σ
半径为
Rσ = (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
二.应力圆的绘制与应用
σy σα τα σy τy
n
τ
σα τα
H(任意斜截面α) D（x截面对应）
τx
τx
t
-τ x
σx
α
2α
C
σx
τx=τy DF=EG
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
σ x +σ y
σ x −σ y
(σ α −
σ x +σ y
2
) =(
2
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α ) 2
τα = (
2
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α ) 2
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
τ max σ x −σ y 2 2 = ±CK = ± ( ) +τ x τ min 2
所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45 °夹角。
目录
§8.4 极值应力与主应力
二.主应力
由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。 ab，bc，cd，da 均为主平面。 微体的前、后 两面不受力， 切应力也为零。 主平面：切应力为零的截面。 主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。
三.纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析
σ 3 = −τ
τ τ A(0，τ)
−45
最新课件-材料力学第八章应力应变状态分析北航 精品
单位：MPa
x y
2
sin2 x cos2
80 30 sin60 60 cos60 =8.35MPa 2
问 可取何值
150 ;
x轴向左） 30（
Page12
§8-3
一、应力圆
应力圆
应力转轴公式 x y x y cos2 x sin2
材料力学（I II） 北航 精品课件
北京航空航天大学单辉祖教授编著的《材料力学 (I)》、《材料力学(Ⅱ)》是教育部“高等教育面向 21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果， 是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五” 规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点 教材 。该教材1999年初版，获2000年度中国高校科 学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001 年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等 奖 ；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通 高等学校‘十五’国家教材规划”、高教社“高等 教育百门精品教材”。以材料力学I、II为主教材的 材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的 “名品”向全国推广。
x
F 0
t
t
y x x
dA
x
dA x dA cos( ) cos( ) x dA cos( ) sin( ) y dA sin( ) sin( ) y dA sin( ) cos( ) 0
x y
2 x y 2
n
x y
2
cos(2 ) x sin(2 )
y
y
t
sin(2 ) x cos(2 )
混凝土的应力-应变关系分析
混凝土的应力-应变关系分析一、引言混凝土是一种广泛使用的建筑材料，用于各种类型的建筑和基础工程。
混凝土的应力-应变关系是混凝土工程设计和结构分析中非常重要的一个因素。
本文将详细分析混凝土的应力-应变关系，包括混凝土的力学性质、应力-应变曲线的形状和特点、影响应力-应变关系的因素以及实验方法。
二、混凝土的力学性质混凝土是一种复合材料，由水泥、骨料、砂和水等组成。
混凝土的力学性质受到其组成和制备方法的影响。
混凝土的力学性质包括弹性模量、抗拉强度、抗压强度、剪切强度等。
1. 弹性模量混凝土的弹性模量是指在弹性阶段，混凝土的应变与应力之比。
弹性模量是混凝土的刚度指标，通常用于计算混凝土结构的变形和挠度。
混凝土的弹性模量通常介于20-40 GPa之间，取决于混凝土的成分和强度等级。
2. 抗拉强度混凝土的抗拉强度通常比抗压强度低很多。
这是因为混凝土的骨料在混凝土中的分布不均匀，导致混凝土在拉伸过程中难以传递应力。
混凝土的抗拉强度通常介于2-10 MPa之间。
3. 抗压强度混凝土的抗压强度是指混凝土在压缩过程中的最大承载能力。
混凝土的抗压强度通常是设计混凝土结构时最关键的性质之一。
混凝土的抗压强度通常介于10-50 MPa之间。
4. 剪切强度混凝土的剪切强度通常比抗压强度低很多。
这是因为混凝土在剪切过程中容易出现裂缝，导致混凝土的强度降低。
混凝土的剪切强度通常介于0.2-0.5 MPa之间。
三、应力-应变曲线的形状和特点混凝土的应力-应变曲线通常具有非线性的形状。
在应力较小的情况下，混凝土的应变与应力呈线性关系。
然而，随着应力的增加，混凝土开始发生非线性变形。
在一定应力范围内，混凝土的应力-应变曲线呈现出一个明显的拐点，称为峰值点。
在峰值点之后，混凝土开始出现裂缝和破坏，应力开始降低。
在应变较大的情况下，混凝土的应力与应变之间呈现出一个平台，称为残余强度。
混凝土的应力-应变曲线的形状和特点受到许多因素的影响，包括混凝土的强度等级、骨料类型和分布、水胶比、养护条件等。
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§8－2 二向应力状态分析
平面应力状态：
单元体上有一组面上的应力分量都为零。一 般取应力分量为零的面的外法线为z。这时有：
z zy zx 0， x 0， y 0， xy 0
14
Ⅰ. 斜截面上的应力
现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面 (图b)上的应力。
15
1、 与截面外法线同向为正； 2、τa 绕研究对象顺时针转动为正； 3、α由x逆时针转向截面外法线为正。
19
*主单元体(各侧面上切应力均为零的单元体):关 键是确定三个主平面与三个主应力的关系
tan
20
2 xy x
y
即-900 20 900时，0 0
x
y
时，
指代数值大的主应力
0
对应的主平面的方位;
〈x
y
时，
指代数值小的主应力
0
对应的主平面的方位。
20
例1 单元体如图所示, 试求: (1)指定斜截面上的应力, (2) 单元体的主应力大小, (3)作出主单元体
yz zy
xy
应力状态的九个应力分量中，独立
的只有六个，即：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
7
[例8-1-1] 画出表示下列图中的A、B、C点处应力状态
的单元体。
P
A
P
x
A x σx A
σx
y
yx
B
C z
Ｍ
x
B
zx
xz
x
C xy
yx
yx
x
x
xy
xy
3、主单元体、主平面、主应力：
3
Q
N Mz
横截面上正应力分析和剪应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
4
即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的，此即应力的面的概念。
过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态（State of the
Stresses of a Given Point）。
5
2、一点处应力状态的表示方法—单元体 (element)
由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出 的微小正六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确 定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个 单元体(element)及其上的应力来表示。
特点：a、每一面上，应力均布；
图1 设：斜截面面积为dA，由脱离体平衡得：
Fn 0
dA xdAcos 2 xydAcos sin
n
ydAsin2 yxdAsin cos 0
16
考虑切应力互等和三角变换，得：
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
同理：
F 0
dA xdAcos sin xydAcos2 ydAsin cos yxdAsin2 0
n
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
17
Ⅱ 二向应力状态下主单元体、主平面、主应力的确定
令
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
0
得：tan
20
2 xy x
y
即-900 20 900时，0 0
*共有三个主平面(即切应力为零的方向面），分别是：
1） =0的方向面为一个主平面；
2）与
=
方向面垂直的方向面也是一个主平面；
stress ）：三个主应力都不为零的应
力状态。
B
zx
xz
6）二向应力状态（state of biaxial
stress ）：只有一个主应力为零，
另两个主应力不为零。 x
7）单向应力状态(state of one
dimensional stress ）：只有一
个主应力不为零，另两个主应力
x A x
30MPa
解: (1) x 10MPa
10MPa 20MPa
xy 20 MPa
0
3）前后面（与z轴垂直的方向面）。
18
*二向应力状态下的三个主应力(主平面上的正应力）为：
由
x
y
2
2
2
x
2
y
2
2 xy
三个主应力1，2，3
x
y
2
按代数值从大到小排列
x
2
y
2
2 xy
和0
思考：根据
x
2
y
2
2
xБайду номын сангаас
2
y
2
2，
xy
所有与Z轴
平行的截面中， 何时取得极值？最大值和最小值分别是多少？ 呢？
11
第8章 应力状态
（2）在不可能总是通过实验测定材料极限应力， 建立复杂应力状态下的强度条件，如图所示。应力 状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强 度理论) (theory of strength, failure criterion)的 基础。
12
第8章 应力状态
本章将研究 Ⅰ. 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三 向应力状态(空间应力状态) 的概念； Ⅱ. 平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系— —广义胡克定律(generalized Hooke’s law)，以及这类应力状 态下的应变能密度(strain energy density)；
第八章 应力、应变
分析基础
第八章 应力、应变分析基础
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6
应力状态的概念 二向应力状态分析 三向应力状态的最大应力 平面应力状态下的应变分析 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度
§8-1 概 述
1、应力的三个重要概念 应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.
1）主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。
2） 主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。
3）主单元体(Principal Element)： 各侧面上切应力均为零的单元体。
x A x 4）主应力排列：按代数值大小，
1 2 3 9
5）三向应力状态（ state of triaxial
yx
b、平行面上，应力相等。
x、 y、 z、 xy、 yx、 yz、 zy、 zx、 xz
xy xy yx
6
剪应力互等定理:
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
yx
xy yx, xz zx ,
为零。
10
4、本章学习的目的
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应 力状态可以：
（1）了解材料发生破坏的力学上的原因，例如 低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最 大的45˚ 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆 截面杆的扭转破坏是由于在45˚ 方向拉应力最大从 而使材料发生断裂(fracture)所致。