最新应力分析与应变分析教学讲义PPT

f (x)f (x) x
xdxx
x
x
➢ 圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r
r
1 r
r
zr
z
1 r
(
r
)
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
rz 1 z z rz 0 r r z r
➢ 球坐标下的应力平衡微分方程？
§1.5 应变与位移关系方程
§1.5.1 几何方程 §1.5.2 变形连续方程
0 0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态 的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
➢ 推导原理：
静力平衡条件： X 0 , Y 0 , Z 0
静力矩平衡条件： M x 0 , M y 0 , M z 0
泰勒级数展开： f(xd)x f(x)1 1 !f (xx)2 1 !2 fx(2x)......
法线方向平行的坐标轴)
j——应力分量本身作用的方向
当 i=j 时为正应力
i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力
i、j同号为正，异号为负
➢应力的坐标变换（例题讲解）*
实际应用：晶体取向、织构分析等
➢应力莫尔圆**：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
§1.5.1 几何方程
x x x u x x, yy y u y y,zz z u z z
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
➢ 最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
12 3
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
Leabharlann Baidu且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
应力分析与应变分析
§1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
应力（stress）
➢ 应力S 是内力的集度 ➢ 内力和应力均为矢量
lim S
P
A0 A
➢ 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
I1,I2
因为
8
2 3
(I12 3I2)
等效应力
e1 2[(1 2)2(2 3)2(3 1)2]3/ 28
e1 2 [ (xy )2 (yz)2 (zx )2 6 (x 2 y y 2 z z 2 x ) ]
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
应力不变量
式中
I1xyz123
I2 x xy y
yx y
zy
yz z
z
xz
zx x
x y y zz xx 2yy 2zz2x 122331
x xy xz I3 . y yz
. . z
123
➢ 讨论：
1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程
lx ly lz
1 3
54 o44 '
正应力 813(123)13I1
剪应力
8
1 3
(12)2(23)2(31)2
总应力 P8 82 82
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。
八面体应力的求解思路：
i(ji,j x ,y ,z) 1 ,2 ,3 8 ,8
§1.3 应力张量的分解与几何表示
'
ij
ij ij m
(i,j=x,y,z)
其中 m13(xyz) 即平均应力， 为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xyzz.x'
xy '
y
xyzzm1 0
0 1
0 0
. . z . . z' 0 0 1
x' xm, y' y m z' z m
讨论：
➢ 分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形 状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。
'
'
22
'
'
33
1 ' （体现变形体形状改变的程度）
I3' 1'2'3' const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程*
ij 0 i
(i,jx,y,z)
x x
xy y
xz z
0
即 （不计体力）
yx x
zx
y y zy
yz z
z
➢ 为引起形状改变的偏应力张量(deviatoric stress tensor)， 为引起体积改变的球张量(spherical stress tensor)（静水 压力）。
➢ 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
I1 'x ' y ' z ' 1 '2 ' 3 ' 0
I2 ' 1 '