应力状态分析及强度理论优秀课件

主平面(Principle Plane)：
sx
切应力为零的截面。
主应力(Principle Stress ）： 主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s2s3
单向、二向、三向应力状态 三个主应力中只有一个不等于0 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
三个主应力中有两个不等于0 二向（平面）应力状态
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的 应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
计算应力一定要指明：
哪一个面上？ 哪一点？
围绕一点取单元体
F
A
dz A dy dx
F dxdydz 0
微元单元体
单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。
ttm maaxx
sx
sy
2
2
tx2
t s s max
max min 2
最大正应力所在的平面:
tana20
Baidu Nhomakorabea
2tx sx sy
最大切应力所在的平面:
tana21
sx sy 2tx
tana20
1
tana21
2a1
2a0
π 2
a1
a0
π 4
最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°
30MPa
斜截面上的应力为:
saF Aco2assco2as
ta
s
2
sin2a
q
BA
q
即使同一点在不同
方位截面上，它的应力
s As
也是各不相同的，此即 应力的面的概念。
sy t
B
sx t
sx
t t sy
主单元体、主应力与主平面
sz
sx sy
sz
主单元体(Principle body)：
sy
各侧面上切应力均为零的单元体。
sy 压缩为负
切应力 绕单元体顺时针转为正，反之为负
斜截面上的应力 通过截面外法线的方位定义截面的位置
sy
X轴正向到斜截面外法线逆时针转角为正
tyx
dA
n
n
sa a
sx
a
sa a
sx
x
ta
txy
sx
x
txy
ta
t
sy
tyx sy
Fn 0 s a dA sxdAcoascoastxdAcoas sina
30MPa
30
50MPa
求斜截面上的应力及三个主应力
例14-2
讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破 坏现象。
sx 2sysin a0 2txcoas0 20
tana20
2tx sx sy
通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互
垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最
小正应力所在平面。
若将a0的值代入切应力公式:
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2 可得:ta00
回顾梁横力弯曲时横截面上点的应力:
z F
x
y
同一面上不同点的 应力各不相同。
此即应力的点的概念
正应力分布 切应力分布
t
中性层
A
B
x tA t s B
s
t
考虑中性层上的A点 考虑梁边缘上的B点 正应力等于0，切应力最大 正应力最大，切应力为0
单向拉伸斜截面上的应力
q
q
经过计算可得到单向拉伸
F
sa aB ta
tasx 2sysina 2txcoas2
tana20
2tx sx sy
得到以下结论:
1) 切应力为0的平面上，正应力为最 大或最小值；
2) 切应力为0的平面是主平面，主平 面上的正应力是主应力，所以主应力 就是最大或者最小的正应力。
将a0代入sa的计算公式， 计算得到最大和最小正应力
s sm mai nxsx 2sy sx 2sy2tx2
采用同样的方法对ta式求导
tasx 2sysina 2txcoas2
d dtaasxsycoas2txsia n2
若a
a1时，
dt a da
0
则a1确定的斜截面上的切应力是最大值或最小值。
ss at a x yco 1 2 s x s2 i1 n 02
tana21
sx sy 2tx
代入公式:
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14-1 应力状态的概念
构件在拉伸扭转弯曲基本变形情况下，并不都 是沿横截面破坏的。
如低碳钢屈服时，在与试件轴线成45的方向上 出现滑移线
如铸铁压缩时，试件沿轴线45的斜截面破坏
再如铸铁轴扭转时，沿45的螺旋面破坏
为了分析各种破坏现象，建立组合变形的强度条 件，还必须研究各个不同斜截面上的应力。
Ft 0 tadA s yds Ax sdiA nacso ia nassia tn ydtAxsdA inacco a oa c sso a0s
sydA sian co a stydA sian sian 0
Fn 0 s a dA sxdAcoascoastxdAcoas sina Ft 0 tadA s yds Ax sdiA nacso ia nassia tn ydtAxsdA inacco a oa c sso a0s
的斜截面上的应力
a
解： 建立坐标系
x
10MPa
s x 10 MPa s y 30 MPa
t x 20 MPa
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
1 0 230 1 0 23c 0o 60stxsi6n 0-2.32MPa
30MPa
20MPa
sa
tasx 2sysina 2txcoas2
sydA sian co a stydA sian sian 0
dA
a
sx txy
sa a
x
ta
t
tyx sy
n 数学整理后，可得
任意斜截面上的正应力和切应力:
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
tasx 2sysina 2txcoas2
30MPa
a
20MPa
a 例14-1 单元体如图 ，求 30
z F
x
y
正应力分布
切应力分布
中性层
x
A
t
tA t t
三个主应力都不等于0 三向（空间）应力状态
sz sx
sy sx
sy sz
14-2 平面应力状态分析
1 斜截面上的应力
二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的
单元体如图：
sy tyx
sy tyx
sx
sx
sx
sx
txy
txy
sy
正应力 拉伸为正
10MPa 1030sin6020co6s0
ta
2
1.34MPa
可见sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，所以 对a求导数可得到其极值。
2 应力极值
sasx 2sysx 2syco a st2 xsia n2
tasx 2sysina 2txcoas2
ddsaa2sx 2sysin a 2txcoas2 若a a0时，导数为0