材料力学第七章应力状态和强度理论
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材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
材料力学第七章_3_ 应变能密度和强度理论概要
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
[例9－8]证明弹性模量E 、泊松比µ 、切变弹性模量G 之间 的关系为 G E 。
2(1 )
证明： 纯剪应力状态应变能密度为
3
v1
1
2
1 2
2G
1 , 2 0, 3
1
用主应力计算比能
v2
1 2E
[
2 1
2 2
2 3
2 (1 2
2 3
1
3
k
1
3
2
OC
B
3
1
2
1 3
河南理工大学土木工程学院
A
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
各向同性材料的广义胡克定律：
εx
1 E
σx
μ
σy
σz
εy
1 E
σy
μσz
σx
εz
1 E
σz
μ
σx σy
xy
xy
G
,
yz
yz
G
,
zx
zx
G
上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第 7章 应力和应变分析·强度理论
二、常用四个强度理论
● 第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂
破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最 大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便 发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为
一、强度理论的概念
1. 什么是强度理论 强度理论是关于材料破坏原因的学说。
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
《材料力学》第7章-应力状态和强度理论-习题解
解：左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。
支座反力: (↑)
=
（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
超过 的5。3％，在工程上是允许的。
（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处
(3)在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度
超过 的3.53%，在工程上是允许的。
解：坐标面应力:X（—0。05，0);Y（-0.2,0）
。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为 代表 。
按比例尺量得斜面的应力为：
按习题7—5得到的公式计算如下：
作图法(应力圆法)与解析法（公式法）的结果一致。
［习题7-7]试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为 的截面上，在顶面以下 的一点处的最大及最小主应力,并求最大主应力与 轴之间的夹角。
解：
…………(1)
…………（2)
（1)、(2)联立,可解得 和 。
至此,三个面的应力均为已知：X（ ，0），Y（ ，0）（ , 均为负值）;
( ）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12]一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自重略去不计。试示 上 三点处的主应力。
解:（1）求 点的主应力
解：坐标面应力：X（15,15）,Y(0，-15）
第一强度理论：
因为 ， ，即 ，
所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全.
第二强度理论：
因为 ,
，即 ，
所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。
[习题7—25]一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 , .试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注:通常在计算a点处的应力时，近似地按 点的位置计算。
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平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应
力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪 切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面 上的应力”)。
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
sin 2
cos 2
纯剪切应力状态
sin 2
cos 2
纯剪切应力状态
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸 时的屈服现象是由于在切应力最大的45˚ 斜截面上材料发生
滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚ 方向
状态(空间应力状态) 的概念；
Ⅱ. 平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——
广义胡克定律；
Ⅲ. 强度理论。
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析· 主应力
平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不 同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
E点横坐标
OF OC CF OC CE cos2 0 2 OC CE cos 2 0 cos 2 CE sin 2 0 sin 2 OC CD1 cos 2 0 cos 2 CD1 sin 2 0 sin 2
材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述
在第二章中曾讲述过杆受拉压时杆件内一点处不同
方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应 力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处 任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正 六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，
t y y
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以 2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：
x y x y
2
2
2
cos 2 x sin 2
x y
sin 2 x cos 2
圆的半径。故得
1 x y 2 4 x2 1 2 2 x y 1 2 2 x y 4 x2 2 2
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x y
材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
B1 D1 t an 2 0 C B1 1 x y 2
( 1 0)
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
现利用前面的图b所示应
力圆导出求不等于零的主应力 数值和主平面位置方位角0的 解析式，由于
1 O A1 O C C A1 2 O C C A1
其中， OC 为应力圆圆心的横坐标， CA CD 为应力 1 1
2
O
x y
2
C
(a)
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元 体x截面上的应力x,x按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面
上的应力y,y(取y = -x)定出点D2，然后连以直线，以它与
轴的交点C为圆心，并且以 CD1 或 CD2 为半径作圆得出。
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
(a)
(b) (c)
对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横 截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立
体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面
应力状态。
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材 料 力 学
元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述，计
算公式中以2 为参变量这个前提。
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只
需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半
径 C D1 按方位角的转向转动2角，得到半径 C E ，那 么圆周上E点的坐标便代表了单元体斜截面上的应力。 现证明如下(参照图b)：
D1 x , x
O C D2 y , y
(b)
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
D1 x , x
O C D2 y , y
(b)
值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的 x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单
x y x y 2 2 x 2 2
第14页 / 共79页
2
2
材 料 力 学
第七章 应力圆，它表明代
表 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。
x y 2 x 2
F
n
0， d A x d A cos sin x d A cos cos
y
d A sin cos y d A sin sin 0
x x
F 0， d A d A cos sin d A cos sin d A sin sin d A sin cos 0
以自x 轴逆时针转至外法线n为 正；斜截面上图中所示的正应 力 和切应力均为正值，即
以拉应力为正，以使其所
作用的体元有顺时针转动趋势
者为正。
第11页 / 共79页
材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
由图c知，如果斜截面
ef的面积为dA，则体元左侧
面eb的面积为dA· cos，而 底面bf 的面积为dA· sin。 图d示出了作用于体元ebf 诸 面上的力。 体元的平衡方程为
故受力物体内一点处的应力状态可用一个单元体及其上
的应力来表示。
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
p cos 0 cos2 0 p sin sin 2
2 单向应力状态
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
第七章 应力状态和强度理论
平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先 分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的 应力。
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材 料 力 学
第七章 应力状态和强度理论
Ⅰ. 斜截面上的应力
图b中所示垂直于xy平面 的任意斜截面ef 以它的外法线
n与x轴的夹角 定义，且角
角为180˚可知)，且这两个截面 上均无切应力。
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第七章 应力状态和强度理论
一点处切应力等于零的截面称
为主平面，主平面上的正应力 称为主应力。据此可知，应力 圆圆周上点A1和A2所代表的就 是主应力；但除此之外，图a所
示单元体上平行于xy平面的面
上也是没有切应力的，所以该 截面也是主平面，只是其上的 主应力为零。
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第七章 应力状态和强度理论
在弹性力学中可以证明， 受力物体内一点处无论是什么 应力状态必定存在三个相互垂 直的主平面和相应的三个主应 力。对于一点处三个相互垂直
的主应力，根据惯例按它们的
代数值由大到小的次序记作1，
2，3。图b所示应力圆中标
出了1和2，而3=0。
x y
2
sin 2
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第七章 应力状态和强度理论
Ⅲ. 主应力与主平面 由根据图a所示单元体上的
应力所作应力圆(图b)可见，圆
周上A1和A2两点的横坐标分别 代表该单元体的垂直于xy平面 的那组截面上正应力中的最大 值和最小值，它们的作用面相
互垂直(由A1和A2两点所夹圆心
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第七章 应力状态和强度理论
§7-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应
力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点
处就处于空间应力状态(图a)。
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第七章 应力状态和强度理论
(b)
空间应力状态最一般 的表现形式如图b所示； 正应力x，y，z的下角 标表示其作用面，切应力 xy，xz，yx，yz，zx，zy 的第一个下角标表示其作 用面，第二个下角标表示 切应力的方向。 图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉 应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一坐标 轴的正向而该面上的切应力指向另一坐标轴的正向时为正。
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第七章 应力状态和强度理论
Ⅱ. 应力圆 为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力
状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力
圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项 移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：
x
或即
2 x 2 0 arctan y x 图c示出了主应力和主平面的方位。