材料力学应力状态
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材料力学第7章应力状态
y
2
2 xy
m m
ax in
m
ax
2
m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax
in
x
2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
材料力学 第八章：应力状态分析
2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
应力状态-材料力学 经典
将0值代入，得：
一点的应力状态
x y x - y 2 2 ( ) xy 2 2 x y x - y 2 2 - ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
主应力排序：
12 3
a
o 2
d
c
2qp
1
3 o
应力状态/应力圆
利用应力圆确定主应力
y
D
xy
A
x
a
yx
o B1 d
c
2q p
A 1
x y x - y 2 2 0c cA ( ) xy oA 1 1 2 2 x y x - y 2 2 oB1 0c - cB1 - ( ) xy 2 2 一点的应力状态
x
-
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
一点的应力状态
应力状态/应力圆
三、应 力 圆
（Mohr’s Circle for Stresses）
1、应力圆方程
x y x - y cos 2 - xy sin 2 2 2
5 4
FP 2
S平面
5 4 3 2
1
3
2 1
Mz x1 Wz
FP l Mz 4
2
3
x2
2
1
2
3
一点的应力状态
应力状态/应力状态的概念及其描述
主平面：单元体上剪应力为零的平面
主应力：主平面上的正应力
通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个
材料力学：第九章 应力状态分析
Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
材料力学教程10应力状态
x
y
y
x
x
y
x
y´
x´
x dA
y
y
Fx 0
dA-
x
( dA
cos)cos +
x (dA cos
) sin
+ y
( dA sin ) cos
- y (dAsin) sin
0
y´
Fy 0
x´
-
dA
+ x
(dAcos
)
sin
x
x dA
+x (dAcos) cos - (dAsin ) sin y
50KN
C
C C
MC y IZ
25 103 150 103 12 200 6003 1012
1.04MPa（压应力）
C
QCC SZ IZ b
应力状态
1. 直杆受轴向拉（压）时:
m
F
F
m
2.圆轴扭转时:
N
A
T
3.剪切弯曲的梁:
T
Ip
A
B
M (x) y
QSz
P
Iz
Iz b
FP
S平面
l/2 l/2
max
M max Wz
max
Qmax S z max Iz b
5 4
3
2 1 5
4 3 2
1
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转破坏时沿45º螺旋面断开？
第五章 应力状态、强度理论
应力状态的概念及其描述 平面应力状态下的应力分析 主应力、主方向、最大剪应力 三向应力状态特例分析 广义胡克定律 强度理论 结论与讨论 应用实例
材料力学-7-应力状态分析
1.对于矩形截面杆。 三对面中，一对面为杆横截面；另外两 对面为平行于杆表面的纵截面。 2.对于圆形截面杆。 三对面中，一对面为杆横截面；一对面 为同轴圆柱面；还有一对面为通过杆轴线的纵 截面。
7.1 应力状态的基本概念
y
例题2 1
l
4
z
S
2 3
x
S平面
FP
a
求：取S截面上的一些点的微元，并确定其各个面上 的应力。（忽略剪力影响）
这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。
7.1 应力状态的基本概念
受扭之前，圆轴表面为正圆。
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴 方向缩短。这是为什么？
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正 应力。
7.1 应力状态的基本概念 根据微元的局部平衡
x
n
x'y'
x'
x
x
2 x－ y
2
＋
cos2q－ xy sin 2q
sin 2q xy cos2q
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 例题 3
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面， 说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
F 0
q dA x dAcosq sinq
xy dAcosq cosq yx dAsinq sinq y dAsinq sinq 0
ζx
q
q
xy
x
q
q
dA
7.1 应力状态的基本概念
y
例题2 1
l
4
z
S
2 3
x
S平面
FP
a
求：取S截面上的一些点的微元，并确定其各个面上 的应力。（忽略剪力影响）
这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。
7.1 应力状态的基本概念
受扭之前，圆轴表面为正圆。
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴 方向缩短。这是为什么？
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正 应力。
7.1 应力状态的基本概念 根据微元的局部平衡
x
n
x'y'
x'
x
x
2 x－ y
2
＋
cos2q－ xy sin 2q
sin 2q xy cos2q
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 例题 3
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面， 说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
F 0
q dA x dAcosq sinq
xy dAcosq cosq yx dAsinq sinq y dAsinq sinq 0
ζx
q
q
xy
x
q
q
dA
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2 平面应力状态分析
平面（二向） 应力状态
( Plane State of Stresses )
yx
y
x
y
xy
x
平面应力状态-解析法
斜截面上的应力（对）, x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
点面对应
x' y'
y
yx
a
A xy
FP 2
S平面
FP l Mz 4
5 4 3 2
1
2
1
x
1
2
2
x
2
3
3
3
l
示例三
S
FP
a
S平面
y
1 4
z
2 3
x
y
1
FQy
Mx 1 Wp
1 4
z
x
1
Mz Wz
Mz
x
3
Mx 3 Wp
2 3
Mx
Mz x Wz
3
4
M x 4 FQy 4 Wp 3A
25 3
y 45MPa yx 25 3MPa xy
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
x y
2
sin 2 xy cos 2
例1 已知单元体的应力状态如图（a）所示。求： （1）图示ef截面的应力； （2）主应力大小及主平面方位； （3）作主单元体图； （4）极值剪应力。 解：（1）ef截面的应力为 100 60 100 60 30 cos 60 (40)sin 60 124.64MPa 2 2 100 60 30 sin 60 (40) cos 60 2.68MPa 2 （2）故主应力为
x y
2
（
x y
2
2 2 ） xy
3 2
1
min
max max min R半径 2 min
x y 2 2 （ ） xy 2
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解：主应力坐标系如图 在坐标系内画出点
q 25 kN m
50
30
m
20 kN
M knm
100
50
m
50 20kn
q＝20kn／m
平面应力状态分析——图解法
y x
y O x
一、应力圆（ Stress Circle）
xy
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 cos 2 xy 2
2 max 100 60 124.72 100 60 2 (40) 35.28 MPa min 2 2
主平面方位
0
1 124.72MPa ,
2 35.28MPa ,
2 (40) tg 2 0 2 100 60
1在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。 y
y
主 单元体
2
x
xy 1
x
d 令: d
0
1
x y tg21 2 xy
O
x y 2 2 max ± （ ）x y 2 min
0 1 p
4 , 即极值剪应力面与主面成450
y 一、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正；
xy
x
图1
绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
O
x
y
y
x
xy
图2
F
n
n
0
S x S cos 2 xy S cos sin
y S sin 2 yx S sin cos 0
A(95, 25 3)
25 3
2
45 B
150°
95
A
0
25 3
1
B(45, 25 3)
(MPa)
B A 20MPa
AB的垂直平分线与
轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画
3
20
C
O 2
1
(MPa)
圆——应力圆
主应力及主平面如图
1 120 2 20 3 0
x
xy
面的法线
x n D( , ) 2 C O O x
应力圆的半径
A(x ,xy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；
B(y ,yx)
四、在应力圆上标出极值应力
max
21 O C B(y ,yx) 20
x A(x ,xy)
1 OC R半径 3
低碳钢 : s 240MPa; s 200MPa
灰口铸铁 : Lb 98 ~ 280MPa
低碳钢
yb 640 ~ 960MPa; b 198 ~ 300MPa
铸铁
根据给定的剪力图能否确定梁的受力，能否确定梁 的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定 的剪力图能否确定弯矩图，答案是否唯一？
2
m
pD 4
pDl
p
F
t t ( 2 l )
y
0
t
t (2 l ) p(D l )
pD t 2
m
t
t 2 m
x
二向应力状态
y
x
y
由平衡即可确定任意方向面 上的正应力和切应力。
示例二：
l/2
FP
S平面
l/2
5 4 3 2 1
n
二、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x，xy)和 B(y，yx) x
x
xy
A(x ,xy)
AB与 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
B(y ,yx)
y
y
n
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
3
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
主平面0
主应力m1 m2
tg 2
2 xy
x y
m1,m 2
x y
2
(
x y
2
2 ) 2 xy
0和m1 m2排列 1 2 3 最大剪应力
max
max min
2
平面应力状态-解析法
y x
O
y x
y
考虑剪应力互等和三角变换，得：
xy
x
图1
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
同理：
O
x
y
y
x
xy
图2
x y sin 2 xy cos 2 2
n
O
二、极值应力
d 令: ( x y ) sin 2 0 2 xy cos 2 0 0 d 0
x z
y
A
z x x
y
A
x
x
A
x
y
y
示例一 承受内压薄壁容器任意点的应力状态
m
t
p
Ｄ
l
pDl
m
(p D)
m
Ｄ
pp D 2 ４
p
m
t
t t (2 l )
m
(p D)
m
Ｄ
pp D 2 ４
m
F
x
0
πD m (π D ) p 4
例1：图示是一简支梁的剪 力图与弯矩图，试根据此 图求出与其相应的荷载图。
例2：图示是一梁的剪力图， 假设无集中力偶作用，试根据 此图求出与其相应的荷载图和 弯矩图。
Q
KN 50 1m 1m 2m
2m
20kn
2m
20kn 20kn
50
2m
50
20knm
10 20
q
q 50 kn
20 20kn m 20kN m
x
1 ; 2 0; 3
tg2 0
2 xy
x y
0 45
x y 2 2 max （ ） xy 2 min
破坏分析
x y tg21 0 1 0 2 xy
研究的来源 围绕一点所取各个方位截面上的应力组合(正应力和剪应力）情况复杂多样 因此提出了这类（复杂应力状态下）问题的应力、应变分析和强度条件。
任意实数
[ ]？ [ ]？
2 2 1
2 [ ] or 1 [ ]？ f ( 1 , 2） [ ]？