应力状态——材料力学
材料力学第7章应力状态
y
2
2 xy
m m
ax in
m
ax
2
m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax
in
x
2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
高等材料力学课件第二章应力状态
应变与应力之间的关系
应变和应力之间存在着密切的关系。应变是材料变形程度的度量，而应力是 材料受力的表现。了解应变与应力之间的关系可以帮助我们更好地分析和控 制材料的行为。
应力的平面转动
应力的平面转动是指在不同的坐标系下，应力分量的变化。通过对应力的平 面转动进行研究，我们可以更好地理解材料在不同坐标系下的受力情况应力。掌握主应力和主应力方 向的概念可以帮助我们识别和分析材料的受力情况。
应力状态的分类
应力状态可以分为三种基本形式：平面应力、轴对称应力和空间应力。通过分类应力状态，我们可以更好地理解材 料在不同条件下的受力行为。
平面应力和轴对称应力
平面应力是指只存在于某一平面上的应力，而轴对称应力是指具有旋转对称 性的应力。通过研究平面应力和轴对称应力，我们可以更好地分析材料在不 同维度上的受力情况。
平面应力下的摩尔-库仑方程
摩尔-库仑方程是描述平面应力下材料力学行为的重要方程。通过掌握摩尔-库仑方程，我们可以更好地分析和预测 材料在平面应力下的受力行为。
高等材料力学课件第二章 应力状态
在本章中，我们将深入探讨应力的概念和定义，重点介绍主应力和主应力方 向的概念，以及应力状态的分类以及平面应力和轴对称应力的特点。
应力的定义和概念
了解应力是理解材料行为的关键。应力是材料内部的力，是单位面积上的力。通过深入研究应力的定义和概念，我 们可以更好地理解材料的力学行为。
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学应力状态分析
y
对上述方程消参数（2），得：
o
x
x
x
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
圆心：
y
(
x y
2
,0)
半径：
R (
x y
2
) xy
2
2
应力圆：
y
x
x
B2
C
D( x , xy )
x
x
o
B1
o
y
( y , yx ) D’
三、证明：
OC OB1 B1C OB1 OB2 OB1 2 x y x y x 2 2
证得圆心位置：
2 1
A2 B2
C
D ( x , xy )
A1 B1
xy
x
D
A
R (
x y
2
)2 2 xy
x
R
c
D (x ,xy)
(y ,yx)
x y
2
D’
绘制步骤：
1、取直角坐标系—— o
x y x y 2 2 xy 2 2
30
单位：MPa 1 、 2、 3 ？
0 45 ;
0
空间应力状态： y y
x
z
x 40, y 60, xy 40, z 100(MPa)
z
xy 平面内的主应力：
x
max 80.7MPa, min 60.7MPa
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
材料力学：第九章 应力状态分析
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
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土体应力计算
补充一、力学基础知识
材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。
一、材料力学的研究对象
材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。
二、材料力学的任务
材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。
强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。
刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。
稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。
如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题；
大型桥梁的强度、刚度、稳定问题
强度、刚度、稳定性
三、基本假设
1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。
（可用微积分数学工具）
2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。
3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。
（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。
）
4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。
假设
四、杆件变形的基本形式
五、内力•截面法•轴力
1、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。
2、截面法
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。
求内力的一般方法是截面法。
（1）截面法的基本步骤：
①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）
截面法
例如：截面法求N
截开：
代替：
平衡：
3、轴力
轴向拉压杆的内力，用N 表示。
轴力的正负规定:
N与外法线同向,为正轴力(拉力）
N与外法线反向,为负轴力(压力)
六、截面上应力
1、应力的概念
定义：由外力引起的内力集度。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。
2、应力的表示
①平均应力：
②全应力（总应力）
垂直于截面的应力称为“正应力”(Normal Stress)
位于截面内的应力称为“剪应力”(Shearing Stress)。
应力概念、支座约束类型
3、例题：下图为一等值杆，受力情况图示。
试做轴力图（P13），若横截面积为400mm2，求最大工作应力（P17）。
注：忽略杆自身重量。
解：（1）求支座反力，杆整体平衡；
（2）求轴力，部分杆件平衡；
（3）轴力图；
（4）求最大轴力；
（5）求最大工作应力。
“三最”,最危险断面,最危险点,最危险方向
七、拉压杆应变
1、杆的纵向总变形
2、线应变：单位长度的线变形。
3、平均线应变
4、x点处的纵向线应变：
5、杆的横向变形：
6、x点处的横向线应变：应变概念
八、拉压杆的弹性定律-----胡克定律
由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来1、等内力拉压杆的弹性定律
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
2、变内力拉压杆的弹性定律
⎰⎰=∆=L L x EA x x N x L )(d )( )d (d
3、单向应力状态下的弹性定律 应力应变、虎克定律
“E ”称为弹性模量
4、泊松比（或横向变形系数）
九、剪切虎克定律
薄壁圆筒的扭转:
剪应力分布：轴受剪、圆柱受扭、薄壁圆筒的扭转
A。
=πr02：平均半径所作圆的面积。
剪切虎克定律
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因G无量纲，故G的量纲与t相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。
对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：
十、安全系数、容许应力和强度条件变形特点
将材料在拉伸（压缩）时两个强度指标屈服极限σs 和强度极限σb 统称为极限应力σjx 。
要确保拉（压）杆不致于因强度不足而破坏，应使其最大工作应力σmax 不超过某一个极限值，这个极限值可规定为σjx 的若干分之一，并称为容许应力[σ]。
[]jk K σσ=
式中：K----大于1的系数，称为安全系数。
确保拉（压）杆不致于因强度不足而破坏的条件是： σmax ≤[σ]
这就是拉（压）杆强度条件。
容许应力、安全系数
材料类型：
（1）塑性材料，屈服破坏，如低碳钢；
（2）脆性材料，断裂破坏，如铸铁、玻璃钢。
1、下图为一等值杆，受自重及集中力P（kN）作用，受力见示意图，若杆重度为γ（kN/m3），横长度为L（m），截面积为A（m2），试做轴力图，
并求最大工作应力。
重力作业:
P
补充二、材料力学中的应力状态
一、概念
1、一点的应力状态
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
2、单元体：
(1)单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点
的无限小的几何体，常用的是正六面体。
(2)单元体的性质——平行面上，应力均布，应力相等。
3、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):
过一点两个正交面上，如果有与相交边垂直的剪应力分量，则这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。
4、主单元体、主面、主应力
(1)主单元体(Principal bidy)：
各侧面上剪应力均为零的单元体。
(2)主面(Principal Plane)：剪应力为零的截面。
(3)主应力(Principal Stress ）：主面上的正应力。
(4)主应力排列规定：按代数值大小。
(5)三向应力状态（Three—Dimensional State of Stress）：
三个主应力都不为零的应力状态。
(6)二向应力状态（Plane State of Stress）：
一个主应力为零的应力状态。
(7)单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：
一个主应力不为零的应力状态。
二、平面应力状态分析
等价于
1、任意斜截面上的应力
得到：
2、极值应力
3、应力圆（Stress Circle）
应力圆难点，坐标体系，xy和nτ，面的位置外法线方向
应力圆的画法---三种
应力圆的画法---三种：
1）方程法：利用方程计算圆心坐标和半径大小，圆心、半径画圆。
2）直径法：在应力圆中画出两点（相互垂直两面），两点连线为直径，直径与轴交点为圆心，由圆心、直径画圆。
3）弦垂直平分线法：在应力圆中画出两点（相交两面），弦垂直平分线与轴交点为圆心，由圆心、半径画圆。
单元体与应力圆对应关系
在应力圆上标出极值应力
例题：求图示单元体的主应力及主平面的位置。
(单位：MPa)
解法1------应力圆法
1、主应力坐标系如图
2、在坐标系内画出点
3、AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆
主应力及主平面如图
解法2------解析法：分析——建立坐标系如图
作业2
2、单元体应力如图所示，试利用应力圆求出主应力的数值，并在单元体上画出主平面的位置及主应力的方向。
4、主应力及其主应力迹线
主应力迹线（Stress Trajectories)：
主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）
以梁的弯曲为例。
实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。
三、三向应力状态
1、空间应力状态
四、复杂应力状态下的应力--应变关系
——（广义虎克定律）1、单拉下的应力--应变关系
2、纯剪的应力--应变关系
3、复杂状态下的应力--- 应变关系
4、平面应力状态下的应力---应变关系
平面应力状态：当弹性体某一轴的尺寸比其他两轴的尺寸小很多，例如薄版。
单元体的与自由面平行的面上无应力。