第7章 应力状态和强度理论 (答案)

7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求：

⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力；

⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0

30α=-

（1）cos 2sin 2211.622

x y

x y

x

ασσσσ

σατα+-=

+

-=sin 2cos 293.32

x y

x MPa ασστατα-=+=

（2）max 261.82

x y

MPa σσσ+=

=

min 38.22x y

MPa σσσ+==

MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ

（3）13

max 130.92

MPa σστ-==

7.2扭矩m kN T ⋅=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成

30=α方向上的正应变。设E=200GPa,

0.3υ=。

解：表面上任一点处切应力为：

max 59P

T

MPa W τ=

= 表面上任一点处单元体应力状态如图

30sin 251MPa στα=-=-

120sin 251MPa στα=-=

()

00430301201

3.310E

εσυσ-=

-=⨯

2

στ

τ

7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成

45方向上的正应变4

100.2-⨯=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传

递的功率。

解：表面任一点处应力为

max 9550P

P

P T n W W τ==

max 9550

P W n

P τ∴=

纯剪切应力状态下，0

45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=-

由广义胡克定律 ()113

1

1E

E

υ

εσυστ+=

-= 又()21E G υ=

+V 2G τε∴= 代入max 9550

P W n

P τ=

，得109.4P KW =

7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成

60

方向上的正应变4

60101.4-⨯=

ε，E=200GPa ，0.3υ=，

试求荷载P 。

解：0P

A

σ= 204D P πσ=⋅

斜截面上 02

060cos

4

σσσα==

2001503cos 4

σσσα==

由广义胡克定律

()

0006015060134E E

υεσυσσ-=

-= 将060043E εσυ

=

-代入2

04

D P πσ=⋅

解得P=36.2KN

7.5在一槽形刚体的槽内放置一边长为mm 10的正立方钢块，钢块与槽壁间无孔隙，当钢块表面受kN 6的压力（均匀分布在上表面）时，试求钢块内任意点的主应力。已知

33.0=μ。

解：坐标系如图所示

易知： 0x ε= 0y σ= z P

A

σ=- 由广义胡克定律

()1

x x y z E εσυσσ⎡⎤=

-+⎣

⎦

()1y y x z E

εσυσσ⎡⎤=-+⎣⎦ ()1

z z x y E

εσυσσ⎡⎤=-+⎣⎦ 解得 19.8x MPa σ=- 0y σ= 60z MPa σ=- 可知刚块内任一点的主应力为

10σ= 219.8M P a σ=- 360MPa σ=-

7.6试对铸铁零件进行强度校核。已知：MPa t 30][=σ，

30.0=μ，危险点的主应力为：

MPa 29][1=σ，MPa 20][2=σ，MPa 20][3-=σ.

解：由题意，对铸铁构件应采用第一或第二强度理论 第一强度理论：[]129t MPa σσ=

第二强度理论：()[]12329t MPa σμσσσ-+=

Y

X

Z

故零件安全。

7.7圆杆如图所示，已知mm d 10=，Pd T 10

1

=，试求许用荷载P 。

若材料为：

⑴ 钢材，MPa 160][=σ； ⑵ 铸铁，MPa t 30][=σ。

解：此为拉扭组合变形，危险点全部在截面周线上，应力状态如图

2

4P P

A d

σπ=

= 21610p T P W d τπ==

（1） 钢材

由第三强度理论[]3r σσ=≤，得P=9.8KN （2） 铸铁

由第一强度理论[]12

r t σ

σσ=

+

≤，得P=1.32KN 7.8某种圆柱形锅炉，平均直径为mm 1250，设计时所采用的工作内压为23个大气压，在工作温度下的屈服极限MPa s

5.182=σ，

若安全系数为8.1，试根据第三强度理论设计锅炉的壁厚。

解：设该锅炉为薄壁圆筒结构，壁厚为δ，由题意容器承受的内压为

230.1 2.3P MPa =⨯= （一个大气压=0.1MPa ）

由薄壁圆筒的特点，可认为圆筒横截面上无切应力，而正应力沿壁厚和圆周都均匀分布，于是得圆筒横截面上的正应力为

δ

δσ4π4π2pD D D p A F =⨯=='τ