工程力学第11章 应力状态和强度理论
《工程力学Ⅰ》课程教学大纲
《工程力学Ⅰ》课程教学大纲课程编号：125111 学分： 4 (4学时/周) 总学时：68大纲执笔人：陈洁大纲审核人：王斌耀一、课程性质与目的工程力学（Ⅰ）（包括静力学、材料力学两部分）是土木工程专业的一门重要的技术基础课，它是各门后续课程的基础，并在许多工程技术领域中有着广泛的应用。
本课程的目的是使学生掌握静力学中一般力系的简化与平衡问题的分析介绍方法；掌握材料力学中构件在拉、压、剪切、扭转和弯曲时的强度与刚度问题的分析计算方法，构件在组合变形时的强度与刚度问题的分析计算方法，以及构件在受压时稳定性问题的分析计算方法等；掌握材料的基本力学性能和基本的材料力学实验方法；初步学会应用基本概念、基本理论和基本分析方法去分析问题和解决问题，为学习一系列后继课程打好必要的基础。
同时结合本课程的特点培养学生分析、解决工程实际问题的能力，提高学生的综合素质。
二、课程基本要求1、掌握力的概念、力的投影和力矩的计算；2、掌握力系简化的方法和一般的简化结果；3、掌握刚体静力学的平衡条件和平衡方程；4、对材料力学的基本概念和基本的分析方法有明确的认识。
5、具有将简单受力杆件简化为力学简图的初步能力，具有力学建模的初步概念与能力。
6、能熟练地做出杆件在基本变形下的内力图、计算其应力和位移、并进行强度和刚度计算。
7、对应力状态理论和强度理论有明确的认识，并能将其应用于组合变形下杆件的强度计算。
8、理解掌握简单超静定问题的求解方法。
9、对能量法的有关基本原理有明确认识，并熟练地掌握一种计算位移的能量方法。
10、对压杆的稳定性概念有明确的认识，能熟练计算轴向受压杆的临界载荷与临界应力，并进行稳定性校核等计算。
11、掌握质点系的质心、刚体的转动惯量、惯性积、惯性主轴和惯性积的平行移轴公式；掌握截面的静矩，形心的位置，惯性矩和惯性积及它们的平行移轴公式，转轴公式。
组合截面的惯性矩、惯性积计算，截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算11、对于常用材料在常温下的基本力学性能及其测试方法有初步认识。
危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态
比较
2 x tan 2 0 x y
x y tan 21 2 x
1 可见 tan 2 0 tan 21
π π 21 2 0 , 1 0 2 4
即最大正应力所在截面与极值切应力所在截面相差45º
11.2 平面应力状态分析
二、图解法 1.应力圆 将斜截面应力计算公式改写为
2
2
3
1
1
1
1 2
1
1 3 2
11.2 平面应力状态分析
一、解析法 1.斜截面上的应力 平面应力状态的普遍形
y
y y
x x
x
y
y x x
式如图所示 .单元体上
有x ,x 和 y , y 符号规定：
z
正应力仍规定拉应力为正 切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正 由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
因为x ,y ,x 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的 圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆. 圆心的坐标 圆的半径
(
x y
2
2
, 0)
2 )2 x
R (
x y
பைடு நூலகம்
此圆习惯上称为 应力圆,或称为莫尔圆
11.2 平面应力状态分析
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分eaf 作为 研究对象 y
y
e
e
x
α a f
x
x
x
x
x
α
α
n α
α
f
a
y
y
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积 为dAsin
第十一章 材料失效及强度理论
屈服失效──最大切应力理论、形变应变能理论
第11章 材料失效及强度理论
11-2 关于断裂的强度理论
1）最大拉应力强度理论（第一强度理论）
把材料脆断失效的原因归结为最大拉应力。只要最大拉应力 达到材料单向拉伸脆断时的极限拉应力值（即强度极限） 1u ， 材料就发生脆断失效。
第11章 材料失效及强度理论
11-5 许用应力 强度条件
1）相当应力 综上所述，当由强度理论来建立各种应力状态下材料失效判据时， 是将主应力的某一综合值与材料单向拉伸时极限应力相比较。主 应力的这一综合值称为相当应力，用 r 表示。
•第一强度理论 •第二强度理论
r1
1
b
r2
1
2
3
b
•第三强度理论
r3
第11章 材料失效及强度理论
莫尔认为：最大剪应力 是使物体破坏的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可 忽略（莫尔摩擦定律）。综 合最大剪应力及最大正应力 的因素，莫尔得出了他自己 的强度理论。
阿托?莫尔(O.Mohr),1835～1918
1）两个概念：
第11章 材料失效及强度理论
（1）极限应力圆：材料失效时对应的一
材料屈服失效的原因归结为最大切应力。认为，无论材料
处于何种应力状态，只要最大切应力达到材料单向拉伸屈
服时的极限最大切应力值 u，材料就发生屈服失效。
• 失效原因： max
• 失效判据： max
u
因为
1
2 max
1
3
1 u 2s
所以
1
3
s
第11章 材料失效及强度理论
11-3 关于屈服的强度理论 1）最大切应力强度理论（第三强度理论） 第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且 稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工 程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2 的影响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多数情况下 远比此为小。
第11章 强度失效分析与设计准则
第 11 章 强 度 设 计 准 则
解：铸铁在这种应力状态下， 可能发生脆性断裂， 采用最大拉应力准则。
r1 =1 [ ]+
工 程 力 学
例：某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中 =116.7MPa, =46.3MPa 。材料为钢，许用应力 [ ]=160MPa 。试效核此结构是否安全。
1 b
工 ● 最大切应力准则（塑性屈服准则、第三强度理论） 程 力 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大切应力引起 学
的：复杂应力状态下，当最大切应力max达到单向拉伸时发 生塑性屈服破坏的最大切应力S 时，材料发生塑性屈服破 坏，即屈服条件为
第 11 章 强 度 设 计 准 则
max
工 程 二、失效准则 力 学 ●最大拉应力理论（无裂纹体脆性断裂准则、第一强度理论）
该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂
第 11 章 强 度 设 计 准 则
破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最 大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便 发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为
工 程 力 学
三. 强度设计准则及其适用范围 为保证完成其正常功能，所设计的结构或构件 必须具有适当的强度和刚度。 强度 —结构或构件抵抗破坏的能力 承担预定的载荷而不发生破坏，则强度足够。 所有的构件(不允许破坏机械、结构; 需要破坏时，如剪板、冲孔、安全堵等), 都有必要的强度要求。
第 11 章 强 度 设 计 准 则
工 程 力 学
工程力学 第11章
强度失效分析与设计准则
第 11 章 强 度 设 计 准 则
工 程 力 学
§11-1 设计准则
一、失效的概念
工程力学_第11章_弯曲应力-1
(
y)
FS
16 I z
b(h02 h2 ) 2 (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
7
3.弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
4l
h
max
若是分布载荷q作用下，则：
max
2l
h
max
当 l >> h 时，max >> max
8
1.实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
9
2.薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切 c 与d 点处－单向应力
b 点处－ 与 联合作用
10
1.梁的强度条件
弯曲正应力强度条件： max [ ] 材料单向应力许用应力
弯曲切应力强度条件： max [ ] 材料纯剪切许用应力
2. 强度条件的应用
细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ]
1
（1） 中性轴位置：中性轴过截面形心
（2）中性层曲率：
1 M
EI z
（Iz －惯性矩） （EI z － 截面弯曲刚度）
（3）正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
2
（1）矩形截面惯性矩： IZ bh3 1264
WZ bh2 6
2、注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性
避免剪切破坏 与局部失稳
12
M ( x) [ ]－弯曲等强条件
W(x)
h( x) 6Fx
b[ ]
3FS( x) [ ] －剪切等强条件 h(x) 3F
2bh( x)
2b[ ]
工程力学中应力状态及强度理论
第十一章 应力状态和强度理论
1
第十一章 应力状态及强度理论
§10-1 一点处应力状态的概述
在前面学习中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭 时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点 处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应 力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从 该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互垂直 面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态 (state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来 表示。
)(
−3
) (
3
−3
m 270 × 10 m 12
)(
−3
)
3
= 88 ×10 −6 m 4
* S za = 120 ×10 −3 m ×15 ×10 −3 m 135 ×10 −3 m + 7.5 ×10 −3 m
(
)(
)
= 256 ×10 −6 m 3
30
第十一章 应力状态及强度理论
3. 危险截面上a点和b点处的应力：
28
第十一章 应力状态及强度理论
1. 此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载 作用位置C的左侧横截面。
FSC = 200 kN M C = 80 kN ⋅ m
29
第十一章 应力状态及强度理论
2. 相关的截面几何性质为 Iz
(120 ×10 =
−3
m 300 ×10 m 111×10 − 12
24
第十一章 应力状态及强度理论
现利用前面的图b所示应 力圆导出求不等于零的主应力 数值和主平面位置方位角α0的 解析式，由于
σ 1 = O A1 = O C + C A1 σ 2 = O C − C A1
《工程力学》教学大纲
《工程力学》课程教学大纲课程代码：2010208课程名称：工程力学／Engineering Mechanics课程类型：学科基础课学时学分：64/4适用专业：工程管理/勘查技术与工程（专升本）开课部门：防灾工程系一、课程的地位、目的和任务课程的地位：工程力学课程是工程管理，勘查技术与工程（专升本）专业的一门学科基础课程。
其内容以在简单构件受力及变形分析的基础上，进一步掌握分析、计算杆件结构受力与变形的基本原理和方法，了解各类结构的受力性能，培养结构分析与计算方面的能力，为学习有关专业课程及进行结构设计和科学研究打下基础。
因此在专业的人才培养计划中占有重要地位和作用。
课程的目的与任务：总的要求是了解计算简图的意义，对一般的杆件结构能选择计算简图；掌握力的基本性质，力系的合成、平衡条件及其应用；掌握构件的各种基本变形的强度、刚度和稳定性计算；了解几种典型结构的受力特性，能熟悉计算静定结构的内力和位移。
二、课程与相关课程的联系与分工先修课：高等数学，大学物理，建筑识图与房屋构造后续课：建筑结构，土力学工程力学课程是工程管理专业，勘查技术与工程（专升本）专业的一门学科基础课程，其需要的前续知识并不多，只需要掌握常见的数学积分方法和大学物理经典力学知识；学习工程力学可以将理论力学、材料力学和结构力学汇成一体，形成工程力学的新体系，是学生今后研究结构及构件受力和承载能力问题的基础。
三、教学内容与基本要求绪论1.教学内容（1）了解工程力学的任务（重点），荷载的分类（2）熟悉各种常见的约束性质，掌握结构的计算简图（3）理解变形固体及其基本假定2、教学重点难点重点：强度、刚度、稳定性概念；刚体及变形固体假定难点：刚体及变形固体假定3、教学基本要求（1）了解建筑结构荷载分类，约束形式及简化（2）掌握强度、刚度和稳定性基本概念，基本假定第1章静力学基础1.教学内容（1）静力学基本概念（2）静力学基本公理（3）工程常见约束类型、约束及其反力、受力分析及受力图（4）物体受力分析2、教学重点难点重点：静力学公理；常见约束及其约束反力；物体的受力分析与受力图难点：物体系统的受力分析及其受力图的画法；物体系统平衡问题的解题思路3、教学基本要求（1）熟练计算力的投影，掌握各种力系的简化方法和简化结果第2章平面基本力系1、教学内容（1）平面汇交力系合成与平衡的几何法（2）平面汇交力系合成与平衡的解析法（3）平面力对点的矩（4）平面力偶系的平衡2、教学重点难点重点：平面体系合成与投影定理难点：力矩合成与平衡定理3、教学基本要求（1）熟悉主矢和主矩，用各种平面力系的平衡条件和平衡方程求解单个物体和简单物体系统的平衡问题第3章平面一般力系1、教学内容（1）力向一点平移（2）平面一般力系的简化（3）合力矩定理（4）平面一般力系的平衡方程及应用（5）物体系统的平衡2、教学重点难点重点：平面一般力系像一点简化的结果，推论难点：物体平衡定理，注意出现力矩的平衡3、教学基本要求（1）熟练掌握平面一般力系向任意一点简化的计算及简化结果的构成（2）熟练掌握平面一般力系的平衡应用第4章拉伸与压缩1、教学内容（1）拉伸与压缩的概念（2）轴力与轴力图（3）横截面上的应力（4）轴力杆的变形及拉伸与压缩时的胡克定律（5）材料拉伸与压缩的力学性能（6）轴力杆斜截面上的应力（7）轴力杆强度计算2、教学重点难点重点：轴向拉压杆的内力、应力及强度计算难点：内力、应力概念3、教学基本要求（1）掌握材料在轴的拉压时的力学性能。
工程力学(材料力学)9 应力状态和强度理论
1
2
(σ1
σ2)2
(σ2
σ3)2
(σ3
σ1)2
σs
考虑安全因数后，第四强度理论的强度条件为
1
2
(1
2 )2
( 2
3)2
( 3
1)2
[ ]
3.强度理论的选用
具体可以归结为如下四点：
（1）脆性材料，最小主应力大于等于零时，使用第一理论；当 最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 （2）塑性材料，当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其他应力状态时，使用第三或第四理论。 （3）简单变形时，用与其对应的强度准则。如扭转等要求
应力状态和强度理论
• 应力状态的概念; • 平面应力状态下的应力分析; • 空间应力状态简介; • 材料的破坏形式; • 强度理论的概念;
教学目的和要求
• 构件的应力应变状态及材料破坏的强度理论。 • 掌握一点应力状态的概念， • 平面应力状态下单元体任意斜截面上的应力及单
元体主应力、主方向、最大切应力。 • 任意状态下通过广义胡克定律建立应力应变关系。 • 了解材料破坏的方式，掌握四种强度理论。
规定： 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
列平衡方程
Fn 0
dA t xy (dAcos ) sin x
x (dAcos ) cos
y
y
ttxy
n
t yx (dAsin ) cos
Ox
t
y (dAsin ) sin 0
Ft 0
t dA t xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin
最大切应力是引起材料屈服的主要因素。材料最大切应力
τmax达到材料在单向拉伸屈服时的最大切应力τjx ，发生屈服 破坏。
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而最大正应力的方位角α0则可由下式确定
式中, 负号表示由x面到最大正应力作用面沿顺时针方向旋转。 因为 tan2α0=tan(180°+2α), 所以式(11-4) 给出两个相差90°的 α0 角, 即α0和 α0'=90°+α0(或α'0=α0-90°), 即这两个面互相垂直。 考虑到图11-8a中A、 B两点位于应力圆上同一直径两端, 即最大正应力所在截面和最小正应力所在截 面互相垂直 , 所以式 (11-4) 所求两个 α0 值即是 A 、B 两点所代表截面的方向。 它们之间的对应关系可以利用下述规则来确定 : 在 α0 和 α0+90°两个方向中 , σmax的方向总是在τx所指向的那一侧。 所以, 最大和最小正应力所在截面的方 位如图11-8b所示。 从图11-8a中还可以看出, 应力圆上存在K、M两个极值点, 由此得单元体在平 行于z轴的截面中最大和最小切应力分别为
11.2.2 平面应力状态分析的图解法
由式(11-1)和(11-2)可知, 任一斜截面α上的正应力σα和切应力τα均随参量α变 化。 所以σα和τα间必有确定的函数关系。 为建立它们间直接关系式, 先将式 (11-1)和式(11-2)改写为
式(c)、式(d)两边平方相加, 即有
从式(e)可以看出, 在以τ、σ为纵横坐标轴的平面内, 式(e)所对应的曲线为圆 (图11-5), 其圆心C的坐标为 , 半径为 , 而圆上任何一点的 纵、横坐标分别代表了单元体上某斜截面上的切应力和正应力。 此圆称为应力 圆。 并按以下步骤绘制应力圆。
的构件, 则必须研究危险点处的应力状态。 所谓一点的应力状态, 就是通过受 力构件内某一点的各个截面上应力情况。 由于构件内的应力分布一般是不均匀的, 所以在分析各个不同方向截面上的应 力时, 不宜截取构件的整个截面来研究, 而是围绕构件中的危险点截取一单元体 来分析, 以此来反映一点的应力状态。 例如, 螺旋桨轴工作时既受拉、又受扭 (图11-1a),若围绕轴表面上一点用纵、横截面截取单元体, 其应力情况如图 11-1b所示, 即处于正应力和切应力的共同作用下; 又如, 在导轨和车轮的接触 处(图11-2a), 单元体A除在垂直方向直接受压外, 由于其横向变形受到周围材 料的阻碍, 因而侧向也受到压力作用, 即单元体A处于三向受压状态。 显然, 要解决这类构件的强度问题, 除应全面研究危险点处各截面的应力外, 还 应研究材料在复杂应力作用下的破坏规律。 前者为应力状态理论的任务, 后者 则为强度理论所要研究的问题。
1) 选取σ -τ直角坐标系, 横轴σ向右为正, 纵轴τ向上为正, 如图11-6所示。 2) 按选定的比例尺, 在横轴上量取 , 在纵轴τ上量取 可得D点, 再用 相同比例尺量取 (此处τy为负, 故向下量取), 得D'点。 3) 连接D和D‘点的直线交横轴于C点, 以C点为圆心, 以 或CD'为半径作圆, 即为该单元体所对应的应力圆。 应力圆确定后, 若欲求α面应力, 则只需将半径 沿逆时针方向旋转2α角 处, 所得H点横坐标σH和纵坐标τH, 分别代表了α面上正应力σα和切应力τα。 以上用作图法所求σα、τα的正确性可证明如下。 由图11-6可以看出:
11.2
平面应力状态的应力分析
11.2.1 平面应力状态分析的解析法
由于单元体的边长均为无穷小量, 因而, 当围绕一点所取单元体各截面应力均已 知时, 则该点处的应力状态亦完全确定。 在一般情况下, 构件处于平衡状态, 在构件中所取的单元体显然也满足平衡条件。 因此, 可利用静力平衡条件来分析单元体各个平面上的应力。 应力状态的类型有多种, 其中较常见的是所谓平面应力状态。 以前我们介绍过 的纯剪切应力状态和图11-1b所示单元体都是平面应力状态。 平面应力状态的 一般形式如图11-3所示, 即在单元体的六个侧面中, 只有四个侧面上作用有应 力, 而且它们的作用线均平行于同一平面。 图11-3所示的单元体, 在x面(外法 线沿x轴的面)上作用有σx、τx, 在y面上作用有应力σy、τy。 现研究与z轴平行 的任一斜截面mp上的应力(图11-4a)。 斜面mp的外法线与x轴成α角, 称其为 α面, α面上的正应力和切应力分别用σα和τα表示。 利用截面法, 沿mp面截单元体为两部分, 取左半部分为研究对象。 若设斜截面 面积为dA, 则截面mb和bp面积分别为dAcosα和dAsinα。 这样保留部分mbp 的受力图即为图11-4b所示, 该部分沿斜面的法向和切向的平衡方程则分别为 (参见图11-4c)
第11章 应力状态和强度理论
11.1
应力状态的概念
前面研究了轴向拉伸(或压缩)、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题, 这 些构件的危险点处于单向拉(压)或纯剪切的应力状态, 因此, 建立了相应的强 度条件
然而在实际工程问题中, 许多构件的危险点处于复杂的受力状态。 例如矿山 牙轮钻的钻杆就同时存在扭转和压缩变形, 这时杆横截面上危险点处不仅有 正应力σ, 还有切应力τ。 对于这类构件, 是否可以仍用上述强度条件分别对 正应力和切应力进行强度计算呢?实践证明, 这将导致错误的结果。 因为在 危险点处的正应力和切应力并不是分别对构件起破坏作用, 而是有所联系的, 因而应考虑它们的综合影响。 为此促使人们联系到构件的破坏现象。 事实上, 拉压、扭转、弯曲等基本变形情况下的构件, 并不都是沿构件的横 截面破坏的。 例如, 在拉伸试验中, 低碳钢屈服时在与试件轴线成45°的方 向出现滑移线; 铸铁压缩时, 试件沿与轴线成接近45°的斜截面破坏。 这表 明构件的破坏还与斜截面上的应力有关。 因此为分析各种破坏现象, 建立组 合变形下构件的强度条件, 还必须研究构件各个不同斜截面上的应力, 对于 应力非均匀分布
������
由此得
根据切应力互等定理可知, τx和τy的数值相等; 若将三角函数变换公式 cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α sin2α=2sinαcosα 代入式(a)、式(b), 于是可得
此即为斜截面上应力的一般解析表达式。 利用该公式可由已知应力σx、σy和
τx, 计算任一α截面上的应力σα和τα。 必须指出, 在使用该式时, 正应力拉为正, 切应力以绕单元体内一点顺时针旋转者为正, 而α则以x轴正向起, 逆时针旋转 至斜截面外法向1)、式(11-2)比较, 可见 σH=σα, τH=τα 即H点的横坐标和纵坐标分别等于α面的正应力和切应力。
11.2.3 平面应力状态的最大应力和主应力
图11-8a为图11-8b所示单元体的应力圆, 其中D、E两点代表了x、y面上应力, 由图11-8a可以看出, 应力圆与σ轴相交于A、B点, 由此可得, 单元体在平行于 z轴的各截面中最大正应力和最小正应力分别为