应力状态及强度理论
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学应力状态和强度理论
x 122.5MPa x 64.6MPa
σy 0
τ y 64.6
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
C
B1
(0 , - 64.6)
由 x ， x 定出 D1 点 由 y ， y 定出 D2 点 以 D1D2 为直径作应力圆。
D2
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
1 oA1 150MPa
1 x 136.5MPa
σ x 136.5MPa σy 0
τx0 τy0
2 3 0
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
σ x 136.5MPa τ x 0
σy 0
τy0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
解： x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
20
300
100 40
x 100MPa, y 20MPa, x 40MPa, 300
x
2
y
x
2
y
cos
2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos
2
300
100
(20) 2
100
(20) 2
cos( 600)
m
F
A
F
m
A
F
F
A
A 点 横截面 m—m 上的应力为： F
A
n
m
F
A
F
m
n
F
A
2
应力状态与强度理论
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时的断裂破坏。
3、最大剪应力理论（第三强度理论）：
理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要 因素，只要最大剪应力τmax达到与材料性质 有关的某一极限值，材料就发生屈服。
单向拉伸下，当与轴线成45。的斜截面上的
τmax= s/2时
任意应力状态下
莫尔强度条件为：
1
Байду номын сангаас
t c
3
t
对于拉压强度不同的脆性材料，如铸铁、 岩石和土体等，在以压为主的应力状态下， 该理论与试验结果符合的较好。
综合以上强度理论所建立的强度条件， 可以写出统一的形式： σr≤[σ]
σr称为相当应力
r1 1
r2 1 2 3
r3 1 3
r4
1 2
理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材 料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。
2、最大伸长线应变理论(第二强度理论)：
理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。
拉断时伸长线应变的极限值为
断裂准则为：
1
1 E
1
2
11
b
E
3
1 2 3 b
第二强度理论的强度条件：
1 2 3
max
1 3
2
屈服准则： 1 3 s
2
2
1 3 s
第三强度理论建立的强度条件为：
1 3
在机械和钢结构设计中常用此理论。
4、形状改变比能理论(第四强度理论)：
第四强度理论认为： 形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。
单向拉伸时，
1
3E
s
2的形状改变比能。
应力状态和强度理论
7.10 强度理论概述 低碳钢在拉伸、压缩和扭转时 低碳钢在拉伸、压缩和扭转时, 当试件的应力达 到屈服点后, 就会发生明显的塑性变形, 到屈服点后 就会发生明显的塑性变形 使其失 去正常的工作能力, 去正常的工作能力 这是材料破坏的一种基本形 塑性屈服。 叫做塑性屈服 式, 叫做塑性屈服。 铸铁拉伸或扭转时, 铸铁拉伸或扭转时 在未产生明显的塑性变形的 情况下就突然断裂, 材料的这种破坏形式, 情况下就突然断裂 材料的这种破坏形式 叫做 脆性断裂。 脆性断裂 。 石料压缩时的破坏也是这种破坏形 式。
混凝土压缩时的力学性能 使用标准立方体试块测定
端面未润滑时的破 端面润滑时的 坏形式 破坏形式
（三）最大剪应力（第三强度）理论 最大剪应力（第三强度） 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最 最大剪应力引起的 大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时， 大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时， 构件就破坏了。 构件就破坏了。 σ1 −σ3 σ s = =τs τ max = τ s τ max =
[
]
1+µ 2 = τ E
E ∴G= 2(1+µ )
7.10 强度理论概述
1．材料破坏的基本形式
在前面的实验中, 在前面的实验中 曾接触过一些材料的 破坏现象, 破坏现象 如果以低碳钢和铸铁两种材料 为例, 它们在拉伸(压缩 压缩)和扭转试验时的破 为例 它们在拉伸 压缩 和扭转试验时的破 坏现象虽然各有不同, 坏现象虽然各有不同 但都可把它归纳为 两类基本形式, 塑性屈服和脆性断裂。 两类基本形式 即塑性屈服和脆性断裂。
第一类强度理论-----脆性断裂的理论 脆性断裂的理论 第一类强度理论
第一强度理论---第一强度理论 最大拉应力理论 第二强度理论---第二强度理论 最大伸长线应变理论
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
工程力学第9章 应力状态与强度理论
27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16
工程力学第11章 应力状态和强度理论
而最大正应力的方位角α0则可由下式确定
式中, 负号表示由x面到最大正应力作用面沿顺时针方向旋转。 因为 tan2α0=tan(180°+2α), 所以式(11-4) 给出两个相差90°的 α0 角, 即α0和 α0'=90°+α0(或α'0=α0-90°), 即这两个面互相垂直。 考虑到图11-8a中A、 B两点位于应力圆上同一直径两端, 即最大正应力所在截面和最小正应力所在截 面互相垂直 , 所以式 (11-4) 所求两个 α0 值即是 A 、B 两点所代表截面的方向。 它们之间的对应关系可以利用下述规则来确定 : 在 α0 和 α0+90°两个方向中 , σmax的方向总是在τx所指向的那一侧。 所以, 最大和最小正应力所在截面的方 位如图11-8b所示。 从图11-8a中还可以看出, 应力圆上存在K、M两个极值点, 由此得单元体在平 行于z轴的截面中最大和最小切应力分别为
11.2.2 平面应力状态分析的图解法
由式(11-1)和(11-2)可知, 任一斜截面α上的正应力σα和切应力τα均随参量α变 化。 所以σα和τα间必有确定的函数关系。 为建立它们间直接关系式, 先将式 (11-1)和式(11-2)改写为
式(c)、式(d)两边平方相加, 即有
从式(e)可以看出, 在以τ、σ为纵横坐标轴的平面内, 式(e)所对应的曲线为圆 (图11-5), 其圆心C的坐标为 , 半径为 , 而圆上任何一点的 纵、横坐标分别代表了单元体上某斜截面上的切应力和正应力。 此圆称为应力 圆。 并按以下步骤绘制应力圆。
的构件, 则必须研究危险点处的应力状态。 所谓一点的应力状态, 就是通过受 力构件内某一点的各个截面上应力情况。 由于构件内的应力分布一般是不均匀的, 所以在分析各个不同方向截面上的应 力时, 不宜截取构件的整个截面来研究, 而是围绕构件中的危险点截取一单元体 来分析, 以此来反映一点的应力状态。 例如, 螺旋桨轴工作时既受拉、又受扭 (图11-1a),若围绕轴表面上一点用纵、横截面截取单元体, 其应力情况如图 11-1b所示, 即处于正应力和切应力的共同作用下; 又如, 在导轨和车轮的接触 处(图11-2a), 单元体A除在垂直方向直接受压外, 由于其横向变形受到周围材 料的阻碍, 因而侧向也受到压力作用, 即单元体A处于三向受压状态。 显然, 要解决这类构件的强度问题, 除应全面研究危险点处各截面的应力外, 还 应研究材料在复杂应力作用下的破坏规律。 前者为应力状态理论的任务, 后者 则为强度理论所要研究的问题。
应力状态与强度理论
即为斜截面上的应力分量值。
2）证明
对下图所示应力圆可见C点的
横坐标为：
应力圆
E
D1 x , x
2a
C
D2 y , y
E
OC OB2 B2C
由于
O
D2B2C D1B1C
可得：
y
x
2
A2 B2
y D2
D1
2a 0
CF
B1 A1
x 1
应力圆
则：
B2C B1C
应力圆
OC
OB2
B1B2
/2 y
2、强度理论
强度理论概述
对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相 应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。
而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的 组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法 来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确 定引起材料破坏的共同因素。
关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假 说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度 条件。
主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：
y
1
a0
x
1
(c)
2、解析法 ：
主应力
1
x
2
y
x
y
2
2
2 xy
110MPa
2 0
3
x
y
2
x
y
2
2
2 xy
40MPa
tan 2a0
2 xy x y
2 40 100 30
8 13
所以：2a0 3016' ⇒ a0 158'
习题： 251页，7-6、9
应力圆
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图8-1 第
8章
应力状态及强度理论
例8-1 已知应力状态如图7-1所示，试计算截
面m-m 上的正应力m σ与切应力m τ 。
解：由图可知，x 与y 截面的应力分别为
MPa x 100-=σ
MPa x 60-=τ
MPa y 50=σ
而截面m-m 的方位角则为
α= -30º
将上述数据分别代入式（7-1）与（7-2），
于是得
()()()()MPa
m 5.11460sin 6060cos 250100250100-=︒-⨯+︒---++-=σ()()()MPa m 0.3560cos 6060sin 2
50100=︒-⨯-︒---=τ 例8-2 试用图解法解例8-1（图8-2a ）。
(a) (b)
图8-2 解：首先，在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-100，-60）与(50，60)分别确定A 和B 点图7-2b ）。
然后，以AB 为直径画圆，即得相应的应力圆。
为了确定截面m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转α2=60º至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。
按选定的比例尺，量得OE =115MPa （压应力），ED =35MPa ，由此得截面
m-m 的正应力与切应力分别为
MPa m 115-=σ
MPa m
35=τ
例 8-3 从构件中切取一微体，各截面的应力如图8-3a 所示，试用解析法与图解法确定主应力的大小及方位。
(a) (b)
图8-3 解：1.解析法
x 和y 截面的应力分别为
MPa x 70-=σ，MPa x 50=τ，0=y σ
将其代入式 (7-3）与 (7-5），得
}{MPa MPa 2696502070207022max min -=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛--±+-=σσ ︒-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
=5.6202650arctan arctan max y x o σστα
由此可见，
MPa 261=σ，02=σ，MPa 963-=σ
而正应力1σ 的方位角 o α则为-62.5º(图8-3a ）。
2.图解法
按选定的在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-70，50）与(0，-50)分别确定D 和E 点（图8-3b ）。
然后，以DE 为直径画圆即得相应的应力圆。
应力圆与坐标轴σ相交于A 和B 点，按选定的比例尺，量得OA =26MPa ，
OB =96MPa （压应力），所以，
MPa A 261==σσ； MPa A 963-==σσ
从应力圆中量得∠DCA=125º ，而且，由于自半径CD 至CA 的转向为顺时针方向，因此，主应力1σ的方位角为
︒-=︒-=∠-=5.622
1252DCA o α
例8-4 求图所示应力状态的主应力1σ，
2σ，3σ及最大正应力和最大切应力（应力单位为
MPa ）。
解：由图示单元体可知，一个主应力为-30MPa ，
待求的是其余两个主应力。
为此，分析与已知
主应力平行的斜截面上的应力情况，由主应力
公式可得 ()2222min max 3024012024012022-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫x y x y x τσσσσσσ ()⎩
⎨⎧=±=MPa MPa MPa 301305080 由此可知，单元体处于三向应力状态。
三个主应力为
MPa MPa MPa 30,30,
130321-===σσσ
由相关公式可知 MPa 1301max ==σσ
()MPa MPa 802
30130231max =--=-=
σστ 例8-5 图示矩形截面梁的中性层上某点K 处，沿与轴线成450的方向贴有电阻应变片，测得线应变 545106.20-⨯-=ε, 试求梁上的载荷F 。
已知E=210 GPa ，μ=0.28 。
图8-4
图8-5
解：利用平衡方程可求得支反力
()↑=F F Ay 32 由截面法得点K 所在横截面上的剪力 ()↑=
F F s 3
2 中性层上的切应力 bh
F A F s ==
23τ 从点K 取单元体如图所示。
由纯剪切应力状态的分析知，得 0,,2113534500====-=σστσστσ
根据广义虎克定律式(8-13)，得
()()()μμτμσσε+-=+-=-=1110001354545Ebh
F E E kN Ebh F 31.8528
.01106.22.01.01021015
9450=+⨯⨯⨯⨯⨯=+=-εμ
例8-6 图8-6a)为一工字截面简支梁，已知P=30kN ，q=5kN/m,
[σ]=160MPa,[τ]=100MPa,Iz/S*max=16.9cm 。
试选择工字钢型号，并对梁作全面强度校核。
图8-6(a)
解：1) 计算梁的支反力,画出剪力图和弯矩图(图8-6b)
图8-6
2) 按弯曲正应力强度条件选工字钢型号
[]
363
max 250101601040cm M W z =⨯⨯==σ 查型钢表，选用20b 工字钢，其432500,250cm I cm W z z ==,Wz ＝309cm 3, cm 9.16*m ax =z z
S I ,截面尺寸如图8-6a)
3) 根据弯曲切应力强度条件校核
最大切应力发生在支座A 截面的中性轴上，其值为
[]ττ<=⨯⨯⨯=⋅⋅=-MPa b I S F z z s 3.2610
9.09.16104043
max *max max 4) 按主应力校核
在梁的C 截面上、腹板与翼板的交接处A 点，其正应力和切应力都比较大，需要对其强度作出校核。
从A 点取出一个单元体,计算其应力
()MPa b I y M z a c a 9.13210
9.010********.110105.37262
3=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⋅⋅=---σ ()MPa b I S F z Za SC a 172
910.802500101043.914.12.1010356
3=--⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=-τ 该点的主应力为
⎩
⎨⎧-==+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎭⎬⎫MPa MPa a a a 14.204.1351729.13229.132********τσσσσ 按第三强度理论，其相当应力为
[]σσσσ<=-=MPa xd 18.137313
安全。