北京市2015年单考单招数学答案
北京市普通高中2015年春季会考数学试题_Word版含答案_Word版含答案
.word 可编写 .2015年北京市春天一般高中会考数学试卷1. 考生要仔细填写考场号和座位序号。
考 2. 本试卷共 4 页，分为两部分，第一部分选择题，20个小题（共60分）；第二生 部分非选择题，二道大题（共40分）。
须知3．试题全部答案一定填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分一定用 2B 铅笔作答；第二部分一定用黑色的署名笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡及底稿纸放在桌面上，待监考员回收。
第一部分 选择题（每题 3分，共 60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是切合题目要求的.1. 已知会合 A3,5,6,8 , B1,3,5 ，那么 A B等于（）A.1,3,5,6,8B.6,8C.3,5 D.1,6,82. 平面向量 a ，b 知足 b=2a 假如 a (1,1)，那么 b 等于 ( )A.(2,2) B.( 2, 2) C.(2, 2) D.(2,2)3. 已知函数f ( x)lg( x1)，那么f ( x)的定义域是（）3x x 1 x x 1x x主视图A R BC D5左视图4. 一个几何体的三视图以下图，该会合体的体积是（）304050602A.B.C.D.俯视图1 2假如 aa5. 0，那么a的最小值为（ ） A.2B.2 2C.3 D.46. 已知过两点 A( 1,1), B(4, a)的直线斜率为 1，那么 a 的值是 ()A.6B.4 C.4 D.657. tan6等于（）32A ．1；B ．3； C ．2；D ．1．f ( x).word 可编写 .那么函数f ( x)必定存在零点的区间是（）A.( ,1) B. (1,2) C. ( 2,3) D. (3, )x 1 2 3f (x) 3 1 32 29. 函数y1x 2 3x， yx ，y，y log2x中，在区间( 0,)上单一递减的是（y1y x 2 y 3x y log 2 xA xBC D10. 已知直线xy 2 0 与直线 mx y垂直，那么m的值是（）A. 2B. 1C. 1D. 2y 3x的图与y(1)x11. 在同一坐标系中，函数 3 的图象（）A．对于x轴对称； B ．对于y轴对称；C．对于原点y x对称； D ．对于直线y x对称．12. 在等比数列a n 中，a1 1, a48，那么a n 的前5项和是（）A．31 B ．15 C．31 D ． 63x y 2 0x y 2 013. 已知实数x, y知足条件y 0 ，那么目标函数z x 2 y的最小值是（A. 6B. 4C. 2D. 414.某程序框图以下图，履行该程序后输出的S的值是（）2 3 4 5A. 3B. 4C. 5D. 615. 函数y(sin x cos x) 2 的最小正周期是：（）））.word 可编写 . 3Ａ． 2；Ｂ．；Ｃ． 2 ；Ｄ．2．16. 已知函数 f (x) 是定义在 [ 4,0) (0,4] 上的奇函的图像以下图，那么f ( x)的值域是（）8642数，当时，f ( x)A. ( 4,4)B. [ 6,6]O 45 10 15C. ( 4,4) (4,6]D. [ 6, 4) ( 4,6] 217. 边长为2 的正三角形的极点和各边的中点共46个点，从中任选两点，所选出的两点之间距离大于 1的概率是（6 ）1 12 3A. 3B. 2C. 5D. 518. 设a， b 是两条不一样的直线，、是两个不一样的平面，给出以下四个命题：① 假如a //,b // ，那么 a // b ；② 假如a∥，a,b，那么a //b ；③ 假如, a , 那么a；④ 假如a， a // b ， b , 那么此中正确命题的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④19. 在ABC中，假如AB 5, AC 3, BC4，那么角 ABAC等于：（）Ａ．9；Ｂ．12；Ｃ．15；Ｄ．20．20. 已知函数f ( x)ax1与 g ( x) (a1)x的图像没有交点，那么实数的取值范围是（）( ,0] B. (0,1) [1,1)[1, )A. 2C. 2D.第二部分非选择题（共40分）二、填空题（共 4 个小题，每题 3 分，共 12 分）.word 可编写 .121. 计算92 log 2 4．22. 一家电讯企业在某大学对学生每个月的手机话费进行抽样检查，随机抽取了100 名学生，将 他们的手机话费状况进行统计剖析，绘制成频次散布直方图（以下图） 。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学北京卷pdf版
恒成立，求
k
的最大值．
19．（本小题 14 分）
已知椭圆 C
：x2 a2
+
y2 b2
=
1(a > b > 0) 的离心率为
2 ，点 P(0，1) 和点 A(m，n) (m ≠ 0) 都
2
在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m ， n 表示）；
已= 知函数 f (x) 2 sin x cos x − 2 sin2 x ．
22
2
(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期；
(Ⅱ) 求 f (x) 在区间[−π ，0] 上的最小值．
16．（本小题 13 分） A ， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为 甲， B 组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； (Ⅱ) 如果 a = 25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
.
因为 g′(x) >0（0<x<1），所以 g(x) 在区间（0,1）上单调递增。
所以 g(x) > g(0) =0，x∈（0，1），
x3 即当 x∈（0，1）时， f (x) >2(x+ ).
3
x3 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 k《2 时， f (x) >k(x+ )对 x∈（0，1）恒成立.
2015届对口单招数学模拟试卷
f (x) 0
的
x
的
取
值
范
围
（▲） A． (1,1)
B． (, 1) (1, ) C． (1, 0) (1, ) D． (1, 0) (0,1)
9.已知函数 f (x) 是以 3 为周期的周期函数，且当 x (0,1) 时， f (x) 2x 1，则
f (log2 10) 的值为 ( ▲ )
C．． y x2 1
D． y lg | x | （▲ ）
A．—40
B．40
C．80
D．－80
7．已知函数 y log 1 x 与 y kx 的图象有公共点 A，且点 A 的横坐标为 2，则 k 等于（ ▲ ）
2
1
A．
4
B． 1 4
1
C．
2
D． 1 2
8.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x (0, ) 时， f (x) x 1 ，则使
2015 届对口单招数学模拟试卷
注意事项： 1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分．试卷满分 150 分．考试时间 120 分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号用 0.5mm 黑色签字笔填写在答题卡
规定区域． 3．选择题作答：用 2B 铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑． 4．非选择题作答：用 0.5mm 黑色签字笔直接答在相应题号的答题区域内，否则无效． 5．试卷中可能用到的公式：
bn
的前ｎ项和
Sn
．
20．（本小题满分 12 分）在一次百米比赛中，甲、乙等 6 名同学采用随机抽签的方式决定各 自的跑道，跑道编号为 1 至 6，每人一条跑道．求：
(1)甲在 1 或 2 跑道且乙不在 5、6 跑道的概率； (2)甲乙之间恰好间隔两人的概率．
单考单招高考数学试卷
1. 设全集U={x|x∈R，x≥0}，集合A={x|x∈N，x≤3}，则A的补集为（）A. {x|x∈R，x＜0}B. {x|x∈N，x＞3}C. {x|x∈R，x＜3}D. {x|x∈N，x＜0}2. 若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）在x=1时取得最小值，则a、b、c之间的关系为（）A. a+b+c=0B. a-b+c=0C. a+b-c=0D. a-b-c=03. 已知等差数列{an}的公差d=2，且a1+a5=12，则a3的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 104. 若log2(x-1)+log2(2x+1)=1，则x的取值范围为（）A. (1，3)B. (1，2)C. (2，3)D. (2，+∞)5. 若等比数列{an}的公比q=2，且a1+a4=32，则a2的值为（）A. 8B. 16C. 32D. 646. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)的对称中心为（）A. (0，1)B. (1，0)C. (0，-1)D. (1，-1)7. 若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k和b之间的关系为（）A. k^2+b^2=1B. k^2+b^2=0C. k^2-b^2=1D. k^2-b^2=08. 若函数f(x)=x^2+ax+b在x=-1时取得最大值，则a、b之间的关系为（）A. a^2+4b=0B. a^2-4b=0C. a^2+4b=1D. a^2-4b=19. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a8=36，则a5的值为（）A. 9B. 12C. 15D. 1810. 若函数f(x)=|x|在x=0处的导数为1，则f(x)在x=0处的二阶导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)=________。
12. 若等比数列{an}的公比q=1/2，且a1+a3=16，则a2的值为________。
2015年高考文科数学北京卷及答案
数学试卷 第1页（共15页）数学试卷 第2页（共15页）数学试卷 第3页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{52}A x x =-<<，{33}B x x =-<<，则AB =（ ）A ．{|32}x x -<<B ．{|52}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|53}x x -<< 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 （ ）A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=3．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．|ln |y x =D ．2x y -=4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，（ ）A ．90B ．100C ．180D ．300 5．执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．设a ，b 是非零向量，“a • b=|a||b|”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1BC D ．28.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．复数i(1i)+的实部为__________.10．32-，123，2log 5三个数中最大的数是___________. 11．在ABC △中，3a =，b =，2π3A ∠=，则B ∠=___________. 12．已知2,0（）是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b =__________. 13．如图，ABC △及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为___________.14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____________；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是______________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共15页）数学试卷 第5页（共15页）数学试卷 第6页（共15页）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数2sin 2xf x x =-().（Ⅰ）求f x ()的最小正周期； （Ⅱ）求f x ()在区间2π[0,]3上的最小值.16．（本小题满分13分）已知等差数列{n a }满足1a +2a =10，4a -3a =2. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{n b }满足23=b a ，37=b a ；问：6b 与数列{n a }的第几项相等？17．（本小题满分13分）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC =BC ，O ，M 分别为AB ，VA 的中点. （Ⅰ）求证：VB ∥平面MOC ； （Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （Ⅲ）求三棱锥V -ABC 的体积.19．（本小题满分13分）设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间（上仅有一个零点.20．（本小题满分14分）已知椭圆22:33C x y +=.过点1,0D （）且不过点2,1E （）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； （Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.数学试卷 第7页（共15页）数学试卷 第8页（共15页） 数学试卷 第9页（共15页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)答案解析第Ⅰ卷{|AB x =-【提示】在数轴上，将集合A，B 表示出来，如图所示：AB 为图中阴影部分，即【考点】集合的交集运算 A【解析】||||cos ,a b a b a b =<>，cos ,1a b ∴<>=，即,0a b <>=，//a b .又当//a b 时，,a b <>还可能是π，||||a b a b ∴=-，所以“||||a b a b =”是“//a b ”的充分而不必要故选A.【提示】||||cos ,a b a b a b =<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b ,a b <>还可能是π，此时||||a b a b =-，故“||||a b a b =”是“//a b ”的充分而不【考点】充分必要条件，向量共线 【解析】四棱锥的直观图如图所示：（Ⅰ）()sinf x=（Ⅱ）2π3x≤≤π在区间0,⎛⎝数学试卷第10页（共15页）数学试卷第11页（共15页）数学试卷第12页（共15页）数学试卷 第13页（共15页） 数学试卷 第14页（共15页） 数学试卷 第15页（共15页）。
2015单招数学(8)-29678187192e45361066f5e3(1)
2015年高职单招《数学》试题（8）一、单项选择题（将正确答案的序号填入括号内。
本大题10小题，每小题43分，共30分）1、 若集合S=｛小于9的正整数｝，M=｛2,4｝，N=｛3,4,5,7｝，则(M C S )Y (N C S )=( )A ｛2,3,4,5,7｝B ｛1,6,8｝C ｛1,2,3,5,6,7,8｝D ｛4｝2、不等式()23+x ＞0的解集是( ). A ｛x ︱∞-＜x ＜∞+｝ B ｛x ︱x ＞-3｝C ｛x ︱x ＞0｝D ｛x ︱x ≠-3｝3、已知322.1-=a ，437.0-=b ，1=c ，那么c b a ,,的大小顺序是( )。
A a ＜c ＜b B b ＜c ＜aC a ＜b ＜cD c ＜a ＜b4、若Sina ＜0且Cosa ＜0，则a 是( ).A 第一象限的角B 第二象限的角C 第三象限的角D 第四象限的角5、若x 、y 为实数，则22y x =的充分必要条件是( ). A x =y B ︱x ︱=︱y ︱C x = y -D x =y =06、在空间中，下列命题正确的是( ).A 若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B 若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC 两两相交的三条直线必共面D 若直线l 与平面a 垂直，则直线l 与平面a 上的无数条直线垂直7、在等比数列｛n a ｝中，若1a ，9a 是方程02522=+-x x 的两根，则4a ·6a =（ ）。
A 5 B25 C 2 D 18、已知a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么直线0=++c by ax 的图象必经过（ ）。
A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限]9、已知点A(-1,3)，B(-3,-1)，那么线段AB 的垂直平分线方程是（ ）。
A 02=-y xB 02=+y xC 022=+-y xD 032=++y x10、甲、乙两人各进行一次射击，如果甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.7，那么至少一人击中目标的概率是（ ）。
通州2015普通高校单独招生数学模拟试卷(1)
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
通州市农业综合技术学校江苏省普通高校单独招生数 学 模 拟 试 卷（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、 设集合}2|{},3|{,<=>==x x B x x A R U ，则下列集合为空集的的是（ ）A ．B A B ．B AC ．B A C UD ．B C A U2、0≠c 是方程c y ax =++22)1(表示椭圆或双曲线的 （ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．以上均不对3、不等式03522>-+x x 的解集为 （ ）A ．RB ．φC ．}213|{<<-x xD ．}213|{>-<x x x 或4、若复数012)1(2=-+++i x x i ，则实数x 等于 （ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±5、正项等比数列中，1002867564=++a a a a a a ，则=+75a a （ ）A ．5B ．10C ．15D ．206、已知5)(3++=cx ax x f ，且3)3(=-f ，则=)3(f （ ） A ．3 B ．3- C ．2 D ．77、函数)32(log 25.0-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A ．)3,(--∞B ．)1,(--∞C ．)1,3(-D ．),1(+∞8、已知34tan =α，0cos <α，则=αsin （ ） A ．54 B ．53 C ．54- D ．53- 9、在ABC ∆中，2,7,3===c b a ，那么=∠B （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．32π 10、=)32arccos(sin π （ ）5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含解析)
F
C
O E
B
【答案】(1)证明见解析，（2）
5 5
，（3） a
4 3
【解析】 试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面 AEF 平面 EFCB ，借助性
质定理证明 AO 平面 EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，
平面 AEF 的法向量易得，只需求平面 AEB 的法向量，设平面 AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为
A(0,0 3a)，E(a,0,0),B(2,2 3 3a,0),AE (a,0, 3a)，EB (2 a,2 3 3a,0)，
由于平面 AEF 与 y 轴垂直，则设平面 AEF 的法向量为 n1 (0,1,0)，设平面 AEB 的 法向量
n2 (x,y ,1)， n2 AE ,ax- 3a 0,x 3 ，
2 sin A cos A sin C
2a c
b2
c2 a2 2bc
2
6
4
25 36 16 256
1
考点：正弦定理、余弦定理
13.在 △ABC 中，点 M ， N 满足 AM 2MC ， BN NC ．若 MN xAB y AC ，则 x
；y
．
【答案】
1 2
,
1 6
【解析】
试题分析：特殊化，不妨设 AC AB ,AB 4,AC 3 ，利用坐标法，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立直角坐标系， A(0,0),M(0,2),C(0,3),B(4,0),N(2,3)，
n2 EB,(2 a)x (2 3 3a)y 0,y 1，则 n2
(
3,1,1)，二面角 F AE B 的余弦值 cosn1,n2
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,含解析)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1、若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B =（ ）A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}53x x -<< 【答案】A考点：集合的交集运算.2、圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-=【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得圆的半径为2r =，则圆的标准方程为()()22112x y -+-=.考点：圆的标准方程.3、下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=【答案】B 【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）A ．90B ．100C ．180D ．300 类别 人数老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300【答案】C 【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =. 考点：分层抽样.5、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B考点：程序框图.6、设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.7、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2【答案】C 【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，222223SA SC AC SC AB BC =+=++=.考点：三视图.8、某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 【答案】B 【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 考点：平均耗油量.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、复数()1i i +的实部为 ． 【答案】-1 【解析】试题分析：复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为-1. 考点：复数的乘法运算、实部.10、32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】试题分析：31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>>，所以2log 5最大.考点：比较大小.11、在C ∆AB 中，3a =，6b =，23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π 【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =，即36sin 32B=，所以2sin 2B =，所以4B π∠=. 考点：正弦定理.12、已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．【答案】3 【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =.考点：双曲线的焦点.13、如图，C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．【答案】7考点：线性规划.14、高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ． 【答案】乙、数学 【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 考点：散点图.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15、（本小题满分13分）已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 【答案】（1）2π；（2）3-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 16、（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.17、（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√ × √ √商品 顾 客 人 数217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85 √ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大. 【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.18、（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C 2A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（Ⅰ）求证：V //B 平面C MO ；（Ⅱ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （Ⅲ）求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）33. 【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV 中，利用中位线的性质得//OM VB ，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC 中得到OC AB ⊥，再利用面面垂直的性质得OC ⊥平面VAB ，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用C VAB V ABC V V --=，先求出三角形VAB 的面积，由于OC ⊥平面VAB ，所以OC 为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析：（Ⅰ）因为,O M 分别为AB ，VA 的中点， 所以//OM VB . 又因为VB ⊄平面MOC ， 所以//VB 平面MOC.（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点， 所以OC AB ⊥.又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB. 所以平面MOC ⊥平面VAB.（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，2AC BC ==，所以2,1AB OC ==.所以等边三角形VAB 的面积3VAB S ∆=.又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C-VAB 的体积等于1333VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C-VAB 的体积相等，所以三棱锥V-ABC 的体积为33. 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.19、（本小题满分13分）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e ⎤⎦上仅有一个零点． 【答案】（1）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；极小值(1ln )()2k k f k -=；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值(1ln )()2k k f k -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )()2k k f k -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥. 当k e =时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e =， 所以x e =是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f =>，()02e kf e -=<， 所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.20、（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）63；（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 【解析】 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=. 所以3a =，1b =，2c =.所以椭圆C 的离心率63c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-. （Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--. 由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k-=+.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.。
2015年北京市高级中等学校招生考试-数学-含详细解答
2015年北京市高级中等学校招生考试-数学副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.截止到2015年6月1日,北京市已建成34个地下调蓄设施,蓄水能力达到140 000立方米,将140 000用科学记数法表示应为()A. B. C. D.2.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的是()A. aB. bC. cD. d3.一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为()A. B. C. D.4.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中,是轴对称图形的为()A. B. C. D.5.如下图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4∥l1,若∠1=124°,∠2=88°,则∠3的度数为()A. B. C. D.6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开。
若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（）A.B.C.D.7.某市6月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是()8.A. 21，21B. 21，C. 21，22D. 22，229.下图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图,若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向,表示太和门的点的坐标为(0,-1),表示九龙壁的点的坐标为(4,1),则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()A. 景仁宫B. 养心殿C. 保和殿D. 武英殿10.:例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间,则最省钱的方式为()A. 购买A类会员年卡B. 购买B类会员年卡C. 购买C类会员年卡D. 不购买会员年卡11.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示,通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA,OB,OC组成.为记录寻宝者的行进路线,在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则寻宝者的行进路线可能为()A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）12.分解因式:5x3-10x2+5x= .13.下图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= .14.15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问:牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两,每只羊值金y两,可列方程组为.16.关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:a= ,b= .17.北京市2009-2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息,预估2015年北京市轨道交通日均客运量约万人次,你的预估理由是.18.阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图:作一条线段的垂直平分线.已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.小芸的作法如下:如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;(2)作直线CD.所以直线CD就是所求作的垂直平分线.老师说:“小芸的作法正确.”请回答:小芸的作图依据是.三、计算题（本大题共13小题，共78.0分）19.计算: -(π-)0+|-2|+4sin 60°.20.已知2a2+3a-6=0,求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.21.解不等式组并写出它的所有非负整数解 .22.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.23.24.为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底,全市已有公租自行车25 000辆,租赁点600个.预计到2015年底,全市将有公租自行车50 000辆,并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底,全市将有租赁点多少个?25.在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连结AF,BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.26.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=的一个交点为P (2,m),与x轴、y轴分别交于点A,B.(1)求m的值;(2)若PA=2AB,求k的值.27.如图,AB是−O的直径,过点B作−O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且,连结AC,AD,延长AD交BM于点E.(1)求证:△ACD是等边三角形;(2)连结OE,若DE=2,求OE的长.28.29.阅读下列材料:2015年清明小长假,北京市属公园开展以“清明踏青,春色满园”为主题的游园活动.虽然气温小幅走低,但游客踏青赏花的热情很高,市属公园游客接待量约为190万人次.其中,玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧,两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次;颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地,游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次;北京动物园游客接待量为18万人次,熊猫馆的游客密集度较高.2014年清明小长假,天气晴好,北京市属公园游客接待量约为200万人次.其中,玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%;颐和园游客接待量为26.2万人次,比2013年清明小长假增加了4.6万人次;北京动物园游客接待量为22万人次.2013年清明小长假,玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次.根据以上材料解答下列问题:(1)2014年清明小长假,玉渊潭公园游客接待量为万人次;(2)选择统计表或统计图,将2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.30.有这样一个问题:探究函数的图象与性质 .小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:(1)函数的自变量x的取值范围是;(2)下表是y与x的几组对应值.求m的值;(3)如下图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 .结合函数的图象,写出该函数的其他性质(一条即可):.31.在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.(1)求点A,B的坐标;(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;(3)若抛物线C2:y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.备用图32.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连结AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连结AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1,①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)图1 备用图33.在平面直角坐标系xOy中,−C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于−C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P',满足CP+CP'=2r,则称P'为点P关于−C的反称点.下图为点P及其关于−C的反称点P'的示意图.特别地,当点P'与圆心C重合时,规定CP'=0.(1)当−O的半径为1时,①分别判断点M(2,1),N,T(1,)关于−O的反称点是否存在.若存在,求其坐标;②点P在直线y=-x+2上,若点P关于−O的反称点P'存在,且点P'不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;(2)−C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A,B.若线段AB上存在点P,使得点P关于−C的反称点P'在−C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】140 000=1.4×105.故选B.2.【答案】A【解析】因为a对应的点到原点的距离最大,所以a的绝对值最大.故选A.3.【答案】B【解析】一共有6个小球,其中有2个黄球,所以摸出黄球的概率为.故选B.4.【答案】D【解析】选项A、B既不是中心对称图形也不是轴对称图形;选项C是中心对称图形,不是轴对称图形;选项D是轴对称图形.故选D.5.【答案】B【解析】∵l 4 ∥l 1 ,∴∠4=180°-∠1=180°-124°=56°,∴∠3=180°-∠2-∠4=180°-88°-56°=36°.故选B.6.【答案】D【解析】解：∵AC⊥BC，M 是AB 的中点，∴.故选D.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7.【答案】C【解析】在这组数据中,21 出现的次数最多,所以众数为21;6 月份一共30 天,所以中位数是排序后第15 和第16 个数的平均数,这两个数均为22,所以中位数是22.故选C.8.【答案】B【解析】本题考查了平面直角坐标系的实际应用,属容易题.因为表示太和门的点的坐标为(0,-1),表示九龙壁的点的坐标为(4,1),所以可以确定表示中和殿的点的坐标为(0,0),即坐标原点,所以表示景仁宫、养心殿、保和殿、武英殿的点的坐标分别为(2,4)、(-2,3)、(0,1)、(-3.5,-3),选项B 正确.故选B.9.【答案】C【解析】由题意可知,若购买A 类会员年卡,则需要消费1 175 元至1 425 元;若购买B 类会员年卡,则需要消费1 100 元至1 300 元;若购买C 类会员年卡,则需要消费1 075 元至1 225 元;若不购买会员年卡,则需要消费1 350 元至1 650 元,所以最省钱的方式为购买C 类会员年卡.故选C.10.【答案】C【解析】解：由于表示y 与x 的函数关系的图象是轴对称图形,那么行走路线相对于M 来说也是对称的,从而排除A 选项和D选项.B 选项,B→A 过程中,寻宝者与定位仪器之间的距离先减小,然后增大,但增大的时间比减小的时间要长,所以B 选项错误.选项C 符合题意.故选C.本题考查了函数图象的实际应用,解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器之间的距离有机结合,从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题.11.【答案】【解析】。