荷载作用下各类超静定结构的计算
高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
超静定结构的计算
单元10 超静定结构的计算【学习目标】1、掌握力法、位移法的基本原理，能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力；2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架；了解超静定结构的特征。
【知识点】1、超静定结构的概念、超静定次数及确定；力法的基本原理、基本结构；典型方程；用力法计算简单的超静定梁和刚架；支座移动时单跨超静定梁的内力。
2、力矩分配法的基本原理；转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。
【工作任务】任务1 用力法计算超静定结构任务2 用力矩分配法计算超静定结构【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解决超静定结构各有何特点，通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。
10.1 用力法计算超静定结构10.1.1 超静定次数的确定我们知道，超静定结构由于有多余约束存在，约束反力未知量的数目多于平衡方程数目，仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。
从几何组成方面来说，结构的超静定次数就是多余约束的个数；从静力平衡看，超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数，即多余未知力的个数。
所以，要确定超静定次数，可以把原结构中的多余约束去掉，使之变成几何不变的静定结构，而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。
超静定结构去掉多余约束有以下几种方法：(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束。
图10-1(2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。
图10-2图10-1图10-2(3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。
图10-3(4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。
图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数，去掉多余约束后的静定结构，称为原超静定结构的基本结构。
对于同一个超静定结构来说，去掉多余约束可以有多种方法，所以基本结构也有多种形式。
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
第8章超静定结构的计算方法
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
结构位移和刚度—静定结构在荷载作用下位移计算(建筑力学)
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
1、静定结构与超静定结构静力计算公式（总结）
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21xY i ye A F W M A F -=-=σ )1(22xY i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI xM I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ )661(beh ebh F yx ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支 β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI ln 222π EI l 22π一端自由他端固定β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定 β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R BV A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
超静定结构的位移计算
建筑力学
谢谢观看！
最后需要说明的是，在计算超静定结构的过 程中，经过的计算步骤和数学运算较多，比较容 易发生错误。为保证最后结果的正确性，校核工 作是十分重要的。最后内力图的校核，应从平衡 条件和变形条件两个方面进行：
正确的内力图首先要满足平衡条件。平衡条 件的校核 出结构的一部分都应满足平衡条件。
建筑力学
超静定结构的位移 计算
超静定结构的位移计算
超静定结构的位移计算和静定结构的位移计 算方法相同，即采用单位荷载法。由力法计算可 知，当多余未知力解出后，静定的基本结构在多 余未知力和荷载共同作用下的内力和变形是与原 结构的受力与变形完全一致的。因此，超静定结 构的位移计算问题可以转化为基本结构的位移计 算问题，即静定结构的位移计算问题。
正确的内力图还应该满足变形条件。因为计算 超静定结构内力时，除平衡条件外，还应用了变形 条件。特别是在力法中，多余未知力是由变形条件 求得的，因此，校核工作应以变形条件为重点。校 核变形条件的一般作法是，任意选取基本结构，任 意选取一个多余未知力Xi，然后根据最后的内力图 算出沿Xi方向的位移△i，并检查△i是否与原结构 中的相应位移(给定值)相等。
(a)
【解】 1）用力法求解，作出最后弯矩图如
图（b）所示。
2) 选取悬臂刚架为基本结构，将单位力施加
在基本结构上，绘出
M
图如图（c）所示。
1
(b)M图(kN m)
(c) M1图
3）按图乘法求结构的位移。
由M图与
M
图相乘，可得
1
1
11
21
ΔDV
EI
(10 2
2 2
10 2 2
3
2
2
20 4 2
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δ 11 X 1 δ 21 X 1
+ δ12 X 2 + δ 22 X 2
+ +
Δ1P Δ 2P
= 0⎫ = 0⎭⎬
（3）求系数和自由项
X1 =1
10
X2 =1
M1
M2
MP
δ11
=δ22
=
2×
1 EI
(1×l 3
×1×1)
=
2l 3EI
δ12
=δ21
=
1 (1×l EI 6
×1×1)
=
l 6EI
Δ1P
=
1 EI1
2.
8. 160 3
.
6
=
5120 EI1
δ= 11
1 EI
1
6.
8.
6+ 6. 6 2
2. 6 3
2 kEI 1
=288k +144 kEI1
X
1
=
−
Δ 1P
δ
11
=
−
320k
9(2k +1)
k= 12
=
−
80 9
kN
M =M1X1+MP
q=20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6
160
力法基本思路小结
1
根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数——超静定次数。
解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。
从典型方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
6EI l3 + l
= 10FP 13
6EI 2EA
M1
X1=1
MP
讨论改变链杆截面A 时内力的变 23 化情况:
(1) 当链杆CD 截面面积A 趋于零
FPl 3
X1 =
6EI l3 + l
=0
6EI 2EA
梁的弯矩图将成为 简支梁的弯矩图。
(2) 当链杆CD截面面积A趋于无 24 穷大时
FPl3
q
I l
l
32
δ11X1 + Δ1P = 0
X1 = 1
δ11
=
1 EI
(1 2
l
2
⋅
2 3
l)
I l
M1图 ( 2 分 )
Δ1P = −ql 4 8EI
ql 2
2 X1 = 1
X1 = 1
l
lM1 图 ( 2 分M)1 图
l M1 图MP(ٛ 2图分 )
ElAX(11×1× 4) +
2l [(− EA
2)2 × 2] = l (4 + 4 EA
2)
∑ δ X + Δ = 0 ΔP1P =
N1NPl =
l
11
(1× P × 2) +
21l [(−
1P
2)×(−
2P)]
EA EA
基本E体A系在荷载和多余未
16
= (1+ 2 ) 2Pl EA
知力共同作用下，切口两侧
2
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。
这是科学研究的 基本方法之一。
6-3 荷载作用下各类超静定结构 3 的计算
例1.用力法求图示刚架，绘弯矩图
基本方程为
δ11 X1 + Δ1P = 0
计算系数及自由项
4
Δ1P = 0
∑ ∫ δ11 =
M
2 1
ds
NP
思考
18
对 图 a 所 示 桁 架 用 力 法 计 算 时，取 图 b 作 为 基 本 体 系 ( 杆 AB 被 去 掉 ),则 其 典 型 方 程 为:
? δ 11 X1
+ Δ1P
= Δ0l AB
=
−
X1 ⋅l EA
PA
B
P
问题：若用拆除上弦
X1
X1
杆的静定结构作为
基本结构，本题应
如何考虑？
(a)
(b)
例5
19
用力法计算图示超静定组合结构的内力。已
知 A = 10I / l 2 ， 按去掉CD杆和切断CD杆两种不同 的基本体系建立典型方程进行计算；并讨论CD杆的 面积趋于零和CD杆的面积趋于无穷大的情况。
基本体系一 切断竖向链杆CD
20
δ11 X1 + Δ1P = 0
∑ ∫ ∑ δ11 =
静定
超静定复合刚架的计算
27
P
X1
X1 = 1
l
P
δ11 X1 + Δ1P = 0
l
M1 图
3
δ 11
=
l3 EI
Δ1P
=
−
Pl3 6EI
,
P
Pl Pl
P X1 = 6
Pl
Pl
P
MP 图
M = M1X1 + MP
X1
=
P 6
28
X1 = 1
P
l l
Pl Pl
Pl
Pl
M1 图
3
P
MP 图
Pl
Pl Pl
MP
基本体系 X1
6
6
M
X1=1
53.33 160
M图(kN.m)
160 M图(kN.m)
53.33
80 ＋
－
8.9
7
－ 80 8.9 Q图(kN) ＋
80 8.9
8.9
80
8.9
－
80
80
－
N图(kN)
－
例3 绘制M图，各跨EI为常数。 8
9
X1
X2
原连续梁受力变形时，在结点B、C 处都是连续 的，分别不发生左、右截面的相对转角，则力法 典型方程为：
在非荷载因素作用下，超静定结构的内力 与EI的绝对值有关。
（4）求出多余未知力
12
解得：
X1
=
−
1 15
ql
2
X
2
=
1 60
ql 2
X1为负号表示其方向与所设方向相反，截面B 应 为上边缘受拉。
（5）绘制最终弯矩图
13
M = M1X1 + M2 X2 + MP
X1 =1
X1
=
− 1 ql2 15
截位X移面1 为沿= 零−X1(。方12++向2的2相)2P对=轴−向P2线
X1=1
1
1 −2 −2 1
P
P
0 − 2P 0 0
1
N1
P
NP
X1
=
−
P 2
X1=1
N = N 1 X1 + NP 17
1
1 −2 −2 1
P
−P 2
2P
1
N1
0
P
P
− 2P 0
0
P − 2P
2
2
2 −P 2
l
P 2
l
P
X1
=1
δ11
=
1 EI
(1 2
l2
⋅
2 3
l)
+
l EA
X1 = 1
M1图 ( 2 分 )
ql 2 2
MPٛ 图
Δ1P = −ql 4 8EI
X1 = 1
ll
M1图 ( 2X分1) = ql 8
l M1图 ( 2 分 )
3ql 2 8
N = ql 8
M 图 (5 分 )
AE=A3→I 2∞l2 l
M1 N1
MP NP
M = M 1X1 + M P N = N1X1 + NP
基本体系二 去掉CD杆，设X1向上 22
Δ
原结构C点竖向位移为 Δ
δ61lE13XI 1X+1Δ−1P6F=EPl−I3 Δ==−−22XXEE11Al
δ 11
=
l3 6EI
Δ1P
=
−
FPl 3 6EI
FPl 3
X1 =
EI
≠0
代入力法方程，得
δ11 X1 = 0, δ11 ≠ 0, X1 = 0
由叠加法作弯矩图
5
M = M P + M1 X 1= M P
由上述解法可知，选择合适的基本体系 是十分重要的。
例2
q=20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
I1
I2 I2=k I1
I2
6m
8m
δ 11
X
1
+
Δ 1P
=
0
Δ 1P
X1
X1
EA → ∞
基本结构
Ph
MP
X1=1
h
M1
不考虑轴向变形
30
δ11 X1 + Δ1P = 0
δ 11
=
2h3 3 EI
Δ1P
=
2 Ph 3 3 EI
X1
=
−
Δ1P
δ 11
M = M1X1 + Mp
h
例 用力法计算并绘图示结构的M图 31
q I l
M1 图
A = 3I 2l2 l
l
δ11X1 + Δ1P = 0
=
1 EI
(2l 3
× 1 ql2 8