3.3.2简单的线性规划问题3(优秀经典公开课比赛课件)
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3.3.2 简单的线性规划问题 课件
3.3.2
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解
析式，
线性目标函数是x、y的
一次
解析式．
条 件
3．线性规划问题：求线性目标函数在
线性约束
由约束条件画出可行域(如图6所示 )，为矩形 ABCD(包
括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在
y轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
[答案]
a>1
[评析 ]
这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题
必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得， 运用数形结合的思想方法求解．
[解] 设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，获得收 益为 z 元，则
18x＋15y≤180， 1000x＋600y≤8000， x≥0，y≥0，且x，y∈N， 6x＋5y≤60，① 即5x＋3y≤40，② x≥0，y≥0，且x，y∈N.
目标函数为 z＝200x＋150y， 画出可行域如右图 8 所示．
解析：如图3所示．
作出可行域，作直
线 l0： x＋ y＝ 0，平移 l0， 当 l0 过点 A(2,0) 时， z 有最 小值2，无最大值． 答案：B
x－y＋5≥0， [例 2] 设 x，y 满足条件x＋y≥0， x≤3.
(1)求 u＝x2＋y2 的最大值与最小值； y (2)求 v＝ 的最大值与最小值． x－5
(1)求目标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数 z＝3x－y 的最小值与最大值；
3.3.2简单的线性规划问题课件
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 12x＋8y≥64， ＋ ≥ ， ＋ ≥ ， 6x＋6y≥42， ＋ ≥ ， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 3x＋2y≥16， ＋ ≥ ， 即 ＋ ≥ ， x＋y≥7， ＋ ≥ 3x＋5y≥27.
作出
可行域如图， 可行域如图，
x－y＋2≥0， － ＋ ≥ ， － ＋ ≤ ， 束条件x－5y＋10≤0， ＋ － ≤ ， x＋y－8≤0，
的最大值和最小值分别为( 的最大值和最小值分别为( A．3，－ ，－11 ． ，－ C．11，－ ，－3 ． ，－
【思路点拨】 思路点拨】
解答本题可先画出可行域， 解答本题可先画出可行域，再平
1.(2010 ⋅ 吉林联考)若点(1,3) 和(−4， 2) 在直线 − 2x + y + m = 0的两侧，则m的取值范围是( C B. m = −5或m = 10 D. − 5 ≤ m ≤ 10 10 A. m < −5或m > 10 C. − 5 < m < 10
)
解析：由已知两点在直线的两侧， 即( m + 5)( m − 10) < 0，所以 − 5 < m < 10，选C. 则( 2 + 3 + m )( −8 − 2 + m ) < 0，
让目标函数表示直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移， ＋ ＝ 在可行域上平移 在可行域上平移， 让目标函数表示直线 由此可知z＝ 处取得最小值． 由此可知 ＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． ＋ 在 处取得最小值 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和 个单 个单位的午餐和3个单 因此，应当为该儿童预订 个单位的午餐和 位的晚餐，就可满足要求． 位的晚餐，就可满足要求．
3.3.2简单的线性规划问题(三) 公开课一等奖课件
则z=10x+10y的最大值是: A. 80 B. 85 C. 90
( ) D.95
讲授新课
x y z 1 3y z 2 例1. 设 x, y, z满足约束条件 , 0 x 1 0 y 1
求u＝2x＋6y＋4z的最大值和最小值.
讲授新课
O 2
8
18
28
复习引入
y 16 2 x y 15 8 4 2 x
O 2
8
x 2 y 18
18
28
复习引入
y 16 2 x y 15 8 4 2
x 3 y 27
8
O 2
x 2 y 18
18
28
x
复习引入
y 16 2 x y 15 8 4 2
x 3 y 27
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附赠 中高考状元学习方法
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前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
1 ab 2 例2. (1)已知 , 求t＝4a－2b 2 a b 4
的取值范围； (2)设f(x)＝ax2 ＋bx，且1≤f(－1)≤2， 2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围.
3.32简单的线性规划问题课件人教新课标
1 -1 O
-1 B
x-y+1=0
9 17 A (8, 8 )
x-5y-3=0 C
3
x
5x+3y-15=0
课堂练习
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足
y ≤ x,
束缚条件 x + y ≤ 1,
y ≥ -1.
解：用图形表示出不等式组表示的平面区域；
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.
答：公司派出4辆A型卡车、4 辆B型卡车时 每天所支出的费用最少.
x 0,
y 0.
利用图解法可求出最大值.此时，x
y
=
1000 29
34.4
=
360 29
12.4
课堂小结
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义—在y轴上的截 距或其相反数.
3、解线性计划问题的步骤： 画、移、求、答.
x + 2y ≤ 8
4x ≤ 16 4y ≤ 12
x≥0
y ≥ 0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
C
3
x
5x+3y-15=0
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点（2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点 (9 , 17 ) 的直线所对应的t最大.
-1 B
x-y+1=0
9 17 A (8, 8 )
x-5y-3=0 C
3
x
5x+3y-15=0
课堂练习
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足
y ≤ x,
束缚条件 x + y ≤ 1,
y ≥ -1.
解：用图形表示出不等式组表示的平面区域；
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.
答：公司派出4辆A型卡车、4 辆B型卡车时 每天所支出的费用最少.
x 0,
y 0.
利用图解法可求出最大值.此时，x
y
=
1000 29
34.4
=
360 29
12.4
课堂小结
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义—在y轴上的截 距或其相反数.
3、解线性计划问题的步骤： 画、移、求、答.
x + 2y ≤ 8
4x ≤ 16 4y ≤ 12
x≥0
y ≥ 0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
C
3
x
5x+3y-15=0
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点（2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点 (9 , 17 ) 的直线所对应的t最大.
简单的线性规划问题(4课时)PPT课件
12 5
.
3
x-4y+3=0
B
2
1C
3x+5y-25=0
0 1 234567 X
13
y
例2 已知x、y满足： x
y
求z＝2x＋y的最大值. y
2x＋y＝0
最优解（3，3），
最大值9.
O
x y2 3x 6
y＝x
M
x
y＝3x－6
x＋y＝2
14
小结作业
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
19
20
探究（一）：营养配置问题 t
p
1 2
5730
【背景材料】营养学家指出，成人良好
的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳
水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的
脂肪.已知1kg食物A含有0.105kg碳水化
合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花
费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水
（3）线性规划问题： 在线性约束条件下，求线性目标函数
的最大值或最小值问题，统称为线性规 划问题．
（4）可行解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫
做可行解．
10
（5）可行域： 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
（6）最优解： 使目标函数取得最大或最小值的可行
解叫做最优解．
11
理论迁移
例1 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
1
问题提出
t
p
1 2
课件7：3.3.2 简单的线性规划问题
3．在可行域内求目标函数的最优解． 4．根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解， 即结合实际情况求得最优解． 另外，线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的 顶点处取得，也可能在可行域的边界上取得，即满足条 件的最优解有无数多个．要准确理解z的几何意义．
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解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，
约束条件是x2＋ x＋2yy≤ ≤450000 ， x≥0，y≥0
目标函数是f＝3x＋2y，要求出适当的x，y，使f＝3x＋2y取 得最大值． 如下图作出可行域．
设3x＋2y＝a，a是参数，将它变形为y＝－ 32x＋a2 ，这是斜
率为－
3 2
，随a变化的一族直线．当直线与可行域相交且
A．(1,1) B．(3,2)
C．(5,2) D．(4,1) 【解析】对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越小． 【答案】A
3．若实数x，y满足
x－y＋1≤0， x＞0，
则
y x
的取值范围
是( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
x－y＋1≤0，
x＞0，
【答案】C
4．不等式组
x－y＋5≥0 x＋y＞0
，表示的平面区域是(
)
x＜3
【解析】注意直线的虚实知，选C. 【答案】C
课堂小结： 要完成一项确定的任务，如何统筹安排，尽量做到用最少 的资源去完成它，这是线性规划中最常见的问题之一；资 源数量一定，如何安排使用它们，使得效益最好，这是线 性规划中常见的问题之二．解决这类问题的思路和方法： 1．准确建立数学模型，根据实际问题中的已知条件，找出 约束条件和目标函数，应分清已知条件中，哪些属于约束 条件，哪些与目标函数有关，并列出正确的不等式组． 2．由二元一次不等式表示的平面区域画出可行域．
第三章 3.3 3.3.2 简单的线性规划问题(优秀经典公开课比赛课件)
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人教A版数学·必修5
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延伸探究 1.若本例(1)条件不变，求 z＝2x＋y 的最大值．
解析：由2y＝x＋－33y－3＝0 得 B 点(6，－3) 平移直线 y＝－2x＋z 过 B 点时，z 最大． zmax＝2×6－3＝9.
人教A版数学·必修5
2．若本例(1)条件不变，求 z＝13x＋y－1 的最大值． 解析：由22xx＋ －33yy－ ＋33＝ ＝00 得 C 点(0,1)． 由 z＝13x＋y－1 得 y＝－13x＋z＋1 知斜率 k＝－13＞－23 ∴z＝13x＋y－1 过 C 点时，z 有最大值． zmax＝0＋1－1＝0.
的截距bz的最值问题； 并平行移动，在平移过程中，一般最先或最后经过的点为
最优解；
(4)求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值．
人教A版数学·必修5
[自我检测]
x≥0， 1．若y≥0，
则 z＝x－y 的最大值为( )
x＋y≤1，
A．－1 C．2
B．1 D．－2
答案：B
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人教A版数学·必修5
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3.3.2 简单的线性规划问题
人教A版数学·必修5
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内容标准
学科素养
1.了解线性规划中的基本概念． 2.会用图解法解决线性规划问题． 3.能利用线性规划解决实际应用问题.
应用直观想象 提升数学运算 强化数学建模
人教A版数学·必修5
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
人教A版数学·必一 线性规划的基本概念 阅读教材P87－91，思考并完成以下问题
课件6：3.3.2 简单的线性规划问题
)
x≤4，
A．2
B．5
C．8Biblioteka D．10(3)变量 x，y 满足约束条件xx＋－y2≥y＋0，2≥0， mx－y≤0，
若 z＝2x－y 的最大值为 2，则
实数 m 等于( ) A．－2
B．－1
C．1
D．2
【解析】 (1)画出可行域如图中阴影部分所示． 由 z＝2x－y 得 y＝2x－z，平移直线 2x－y＝0，当直线过 A 点时，z 取得最小 值． 由xy＋ －yx＝ ＝11， ， 得xy＝＝01，， ∴A(0,1)． ∴当 x＝0，y＝1 时，zmin＝2×0－1＝－1，故选 A.
探究 1 设投资甲、乙两个项目的资金分别为 x、y 万元，那么 x、y 应满足 什么条件？
【提示】
x＋y≤60， x≥23y， x≥5， y≥5.
探究 2 若公司对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每 投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，设该公司所获利润为 z 万元，那么 z 与 x，y 有何关系？
选项 A，B，D，故选 C. 【答案】 C
【提示】 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的 利润，可得 z 与 x，y 的关系为 z＝0.4x＋0.6y.
探究 3 x，y 应在什么条件下取值，x，y 取值对利润 z 有无影响？
【提示】
x＋y≤60， x，y 必须在线性约束条件x≥23y，
x≥5， y≥5
值，直接影响 z 的取值．
(2)v＝x－y 5表示可行域内的点 P(x，y)到定点 D(5,0)的斜率，由图可知，kBD 最大，kCD 最小，又 C(3,8)，B(3，－3)，
所以 vmax＝3－－35＝32，vmin＝3－8 5＝－4.
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x 0
y 0
x+3y=27
2x+y=15
x+2y=18
例7.在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料， 产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料， 产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙 两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润 ？
设 设生产甲种肥料ｘ车皮，乙种ｙ车皮
列 列出约束条件所
设 需要第一种钢板ｘ张，第二种ｙ张
列 列出约束条件所
2x y 15
对应的不等式组 目标函数为：ｚ＝ｘ＋ｙ
xx
2y 3y
18 27
画 画出可行域
Байду номын сангаас
x 0 y 0
B(3,9) C(4,8)
M
2x y 15
xx
2y 3y
18 27
4x y 10
对应的不等式组
18x 15y 66
目标函数为：ｚ＝ｘ＋0.5ｙ x 0
画 画出可行域
y 0
4x y 10 18x 15y 66 x 0 y 0
解方程组求M点 的坐标
18x 15y 66 4x y 10
3.3.2简单的线性规划 (三)
复习：解线性规划应用问题的步骤
1.设——分析条件，设未知数x,y 2.列——列出约束条件、目标函数 3.画——规范、精确地画出可行域 4.移——平移直线，注意斜率和移动方 向
5.求——解出最优解对应的点的坐标， 求出Z的最值 6.答——应用题要作答
例６.在上一节例3中，各截这两张钢板多少张 可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用 钢板张数最少？
作业P93－A组4
得M(2,2)
Zmax=x+0.5y=3
18x+15y=66 4x+y=10
阅读：课本第91页的“阅读与思考”——错 在哪里？
解决办法——代定系数、整 y 体代换
1
O1
x
x+y=1
还有别的方法解这类问题吗？ 2x+4y=0
三.课时小结
[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一 般在可行域的顶点处取得. [结论二]线性目标函数的最大值、最小值也 可能在可行域的边界上取得，即满足条件 的最优解有无数多个．