基本概念与基本逻辑运算
逻辑代数的基本概念与基本运算
逻辑代数的基本概念与基本运算1. 引言逻辑代数是数学中的一个分支，它主要研究逻辑关系、逻辑运算和逻辑函数等内容。
逻辑代数作为数理逻辑的一个重要工具，不仅在数学、计算机科学等领域具有重要的应用，同时也在现实生活中扮演着重要的角色。
本文将介绍逻辑代数的基本概念与基本运算，帮助读者更好地理解逻辑代数的基本原理和运算规则。
2. 逻辑代数的基本概念逻辑代数是一种用于描述逻辑运算的代数体系，它主要包括逻辑变量、逻辑常量、逻辑运算和逻辑函数等基本概念。
2.1 逻辑变量逻辑变量是逻辑代数中的基本元素，通常用字母表示，表示逻辑命题的真假值。
在逻辑代数中，逻辑变量通常只能取两个值，即真和假，分别用1和0表示。
2.2 逻辑常量逻辑常量是逻辑代数中表示常量真假值的符号，通常用T表示真，用F 表示假。
逻辑常量在逻辑运算中扮演着重要的角色。
2.3 逻辑运算逻辑运算是逻辑代数中的基本运算，包括与、或、非、异或等运算。
逻辑运算主要用于描述不同命题之间的逻辑关系，帮助我们进行逻辑推理和逻辑计算。
2.4 逻辑函数逻辑函数是逻辑代数中的一种特殊函数，它描述了不同逻辑变量之间的逻辑关系。
逻辑函数在逻辑代数中具有重要的地位，它可以通过逻辑运算表达逻辑命题之间的关系，是描述逻辑代数系统的重要工具。
3. 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算等。
这些基本运算在逻辑代数中有着严格的规则和性质，对于理解逻辑代数的基本原理和进行逻辑推理具有重要的意义。
3.1 与运算与运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑与的关系。
与运算的运算规则如下：- 真与真为真，真与假为假，假与假为假。
与运算通常用符号“∧”表示，A∧B表示命题A与命题B的逻辑与关系。
3.2 或运算或运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑或的关系。
或运算的运算规则如下：- 真或真为真，真或假为真，假或假为假。
或运算通常用符号“∨”表示，A∨B表示命题A与命题B的逻辑或关系。
逻辑运算
逻辑运算
一、简介
逻辑运算是数字符号化的逻辑推演法，包括联合、相交、相减。
在图形处理操作中引用了这种逻辑运算方法以使简单的基本图形组合产生新的形体，并由二维逻辑运算发展到三维图形的逻辑运算。
由于布尔在符号逻辑运算中的特殊贡献，很多计算机语言中将逻辑运算称为布尔运算，将其结果称为布尔值。
二、基本概念
逻辑运算：在逻辑运算中，有与、或、非三种基本逻辑运算。
表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。
三、逻辑运算符
在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。
1、逻辑“与”AND：指两个条件同时成立。
如“在家偷玩游戏”与“妈妈回家了”，可以将它们组成“在家偷玩游戏且妈妈回家了”。
2、逻辑“或”OR：指两个条件中的任意一个成立。
如“晚餐吃蛋糕”或“晚餐吃炸鸡”，可以组成“晚餐吃蛋糕或炸鸡，我会很开心”。
3、逻辑“非”NOT：指将原结果做相反的计算。
如条件“飞机飞行”，结果“下飞机”可以组成“飞机不飞行时，才能下飞机”。
四、各种编程语言中的逻辑运算符。
逻辑代数的基本概念
例2 列出下列函数的真值表：
由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真
值表可写出逻辑表达式：
L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。
L AB AB
解：该函数有两个变量，有4种取值的 可能组合，将他们按顺序排列起来即 得真值表。
对于输入逻辑变量A、B、C设：
同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。
对于输出逻辑函数L设：
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
• 当输入逻辑变量为“真”时，输出逻辑变量就为 “假”；而当输入逻辑变量为“假”时，输出逻辑变 量就为“真”。这种逻辑关系称为逻辑“非”。
• 在数字逻辑电路中，这三种逻辑关系是通过相应的逻 辑运算来表达的。
1.2 基本逻辑运算
1．与运算 与逻辑举例： 设1表示开关闭合或灯亮； 0表示开关不 闭合或灯不亮， 则得真值表。
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
二、逻辑函数的表示方法
1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列 在一起而组成的表格。
同或是异或的非运算，即当两个变量取值相同时，逻辑函数值 为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。
程序设计中的逻辑运算
01 02
控制流程
在程序设计中，逻辑非运算常用于控制程序的执行流程。例如，在条件 语句中，可以使用逻辑非运算来反转条件的结果，从而实现不同的程序 分支。
数据筛选
在处理数据时，可以使用逻辑非运算来筛选出满足特定条件的数据。例 如，在查询数据库时，可以使用逻辑非运算来排除某些结果。
03
错误处理
在编写错误处理代码时，可以使用逻辑非运算来检测错误是否发生。例
逻辑与运算的示例
• 在C中，逻辑与运算可以这样使用
逻辑与运算的示例
```cpp bool a = true; bool b = false;
逻辑与运算的示例
• bool result = a && b; // result 的值为 false，因为只有当 a 和 b 都为 true 时， 结果才为 true。
如，如果某个函数返回错误代码，可以使用逻辑非运算来检查是否发生
了错误。
05 逻辑异或运算（XOR）
逻辑异或运算的定义
逻辑异或运算是一种二元运算符，用于比较两个操作数的值，并返回一个布尔值，表示这两个值是否 不相等。
在逻辑异或运算中，当两个操作数的值相等时，结果为假（false）；当两个操作数的值不相等时，结果为 真（true）。
逻辑与运算的示例
```
在Python中，逻辑与运算可以这样使用
逻辑与运算的示例
b = False
a = True
```python
01
03 02
逻辑与运算的示例
result = a and b # result 的值为 False，因为只有当 a 和 b 都为 True 时，结果才为 True。
在进行逻辑运算时，优先级高的运算 符会先于优先级低的运算符进行计算。 如果需要改变优先级，可以使用括号 来明确指定运算顺序。
数字逻辑的一些基本运算和概念
““““““““数字逻辑的⼀些基本运算和概念进制转换基数：计数制中所⽤到的数字符号的个数，⽐如基数为R的计数制中，含0，1···R-1共R个数字符号，进位规律是“逢R进1”，称为R进制。
位权：在⼀种进位计数制表⽰的数中，⽤来表明不同数位上数值⼤⼩的⼀个固定的常数。
不同数位有不同的位权。
⽐如2进制：10001，第⼀个1位上的位权为 2^4，第⼆个1位上的位权为 2^0。
并列表⽰法：⽐如 1001001.多项式表⽰法：按权展开：1 x 2^6 + 1 x 2^3 + 1 x 2^0.⼆转⼗10110.101 = 1x2^4 + 1x2^2 + 1x2^1 + 1x2^-1 + 1x2^-3 = 16 + 4 + 2 + 0.5 + 0.125.⼗转⼆整数转换，除基数取余法：45 ÷ 2 = 22 (1)22 ÷ 2 = 11 011 ÷ 2 = 5 (1)5 ÷ 2 = 2 (1)2 ÷ 2 = 1 01 ÷ 2 = 0 (1)得到45的⼆进制 1 0 1 1 0 1，注意，按照从下往上的顺序。
⼩数转换，乘⼆取整法：0.6875x 2------1.3750 (1)x 2------0.7500 0x 2------1.5000 (1)x 2------1.0000 (1)0.6875的⼆进制 0.1011，注意，按照从上向下的顺序。
有些时候，⽆法⽤有限位⼆进制表⽰⼗进制的⼩数，就要根据题⽬的精度要求，将最低位进⼀然后舍去。
此外，当⼀个⼗进制既有整数也有⼩数，只要把它们分开计算就好了。
⼋进制，和⼗六进制，类⽐即可。
需要注意的是：⼋转⼆的时候，每⼀位⼋进制数 ⽤三位⼆进制表⽰即可，⽐如 732 -> 111 011 010；⼗六转⼆⽤4位⼆进制数即可。
⼆转⼋的时候，不⾜补0，⽐如 ⼆进制 1001 需要看做 001 001 再转成 11。
基本的逻辑运算-基本逻辑门电路符号
基本的逻辑运算-基本逻辑门电路符号基本的逻辑运算表⽰式-基本逻辑门电路符号1、与逻辑(AND Logic)与逻辑⼜叫做逻辑乘，通过开关的⼯作加以说明与逻辑的运算。
从上图看出，当开关有⼀个断开时，灯泡处于灭的，仅当两个开关合上时，灯泡才会亮。
于是将与逻辑的关系速记为：“有0出0,全1出1”。
图(b)列出了两个开关的组合，以及与灯泡的，⽤0表⽰开关处于断开，1表⽰开关处于合上的；灯泡的⽤0表⽰灭，⽤1表⽰亮。
图(c)给出了与逻辑门电路符号,该符号表⽰了两个输⼊的逻辑关系，&在英⽂中是AND的速写，开关有三个则符号的左边再加上⼀道线就⾏了。
逻辑与的关系还⽤表达式的形式表⽰为:F=A·B上式在不造成误解的下可简写为：F=AB。
2、或逻辑(OR Logic)上图(a)为⼀并联直流电路，当两只开关都处于断开时，其灯泡不会亮；当A,B两个开关中有⼀个或两个⼀起合上时，其灯泡就会亮。
如开关合上的⽤1表⽰，开关断开的⽤0表⽰；灯泡的亮时⽤1表⽰，不亮时⽤0表⽰，则可列出图(b)的真值表。
这种逻辑关系通常讲的“或逻辑”，从表中可看出，只要输⼊A,B两个中有⼀个为1，则输出为1，否则为0。
或逻辑可速记为：“有1出1，全0出0”。
上图(c)为或逻辑门电路符号，通常⽤该符号来表⽰或逻辑，其⽅块中的“≥1”表⽰输⼊中有⼀个及⼀个的1，输出就为1。
逻辑或的表⽰式为：F=A+B3、⾮逻辑(NOT Logic)⾮逻辑⼜常称为反相运算(Inverters)。
下图(a)的电路实现的逻辑功能⾮运算的功能，从图上看出当开关A合上时，灯泡反⽽灭；当开关断开时，灯泡才会亮，故其输出F的与输⼊A的相反。
⾮运算的逻辑表达式为图(c)给出了⾮逻辑门电路符号。
复合逻辑运算在数字系统中，除了与运算、或运算、⾮运算之外，使⽤的逻辑运算还有是通过这三种运算派⽣出来的运算，这种运算通常称为复合运算，的复合运算有：与⾮、或⾮、与或⾮、同或及异或等。
计算机逻辑基础知识点总结
计算机逻辑基础知识点总结一、逻辑与计算机逻辑是计算机科学的基础原理之一，它是计算机系统的核心。
逻辑是一种思维方式，是一种思考问题的方法，是一种对事物关系的认识和分析方法。
计算机逻辑包括了命题逻辑、谓词逻辑等，是计算机科学中最基础的知识之一。
二、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的关系的学问，它是逻辑学中的一种基本形式。
命题是一个能够用真或假表示的简单的陈述句。
命题逻辑就是处理这些命题的逻辑。
1. 命题逻辑的概念（1）命题：一个陈述句，可以用真或假表示，并且具有明确的意义的不可分割的陈述。
（2）复合命题：由一个或多个命题通过逻辑连接词组成的复杂命题。
（3）逻辑连接词：与、或、非、蕴含和等价。
2. 命题逻辑的基本运算（1）合取：取多个真命题的逻辑与。
（2）析取：取多个真命题的逻辑或。
（3）非：对一个命题的否定。
（4）蕴含：p→q，如果p成立，则q一定成立。
（5）等价：p↔q，p和q具有相同的真假值。
（6）命题的推理：逻辑连接词的运用和命题之间的关系。
3. 命题逻辑的证明（1）直接证明法：可以用一个分析都可以推出结论。
（2）间接证明法：反证法，假设命题的逆否命题或者对偶命题成立。
三、谓词逻辑谓词逻辑（predicate logic）也叫一阶逻辑，是处理复杂命题的一种逻辑。
与命题逻辑只处理简单命题不同，谓词逻辑可以处理对象、性质、关系等更为复杂的断言。
1. 谓词逻辑的概念（1）类型：谓词表示对象性质、关系及否定。
（2）量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。
（3）联结词：与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）、等价（↔）。
2. 谓词逻辑的基本运算（1）命题：由谓词和主词组成的有意义的陈述。
（2）开放式公式：含有变元的谓词表达式。
（3）关系：包括真值表、联结词、优先级规则。
3. 谓词逻辑的应用（1）推理：利用推理规则和公式化知识得出结论。
（2）知识表示：用谓词逻辑可以清晰精确地表示知识。
（3）语义网络：用谓词逻辑可以描述复杂的语义结构。
集合与常用逻辑 集合概念,基本关系及运算
a 2 3a 4
，
3 当a＜0时，B=（3a,a），应有3a 2，
得a∈综上.，实数a的取值范围是［4
a 4 ，2］.
3
26
（ 2 ） 要 满 足 A∩B= ， 当 a=0 时 ，
B= ，满足条件；当a＞0时，B=（a,3a）
2 应有a≥4或3a≤2，所以0＜a≤ 3 或a≥4；
当a＜0时，B=（3a,a），应有a≤2或3a≥4，
28
（1）集合元素的互异性
对 于 4 {1,a,a2} ， 根 据 元 素 的 互 异 性 有
a≠0,a≠±1.又a≠4,a2≠4，从而可确定a的取值 范围为{a∈R|a≠±1,0,±2,4}.
（2）集合的元素是什么 对 于 A={x2-x=0} ， B={x|x2-x=0} ，
C={x|y=x2-x} ， D={y|y=x2-x},E={ （ x,y ） |y=x2-x}, 分 别 有 A={x2-x=0} ， B={0,1} ， C=R ， D={x|x≥- 1}，E={曲线y=x2-x上的点}.
（3）因为A∩（ U B）=A，所以A U BB
所以A∩B=. ①若B= ，则由（2）知a＜-3;
B={2②}，若不B合≠ 题，意则；由当（a＞2）-3时知，，需当1a=-B3时且，2 B
故
a2 2a 2 0
a
2
4a
3
0
,
即
a a
1 3 1且a
3
.
综上，实数a的取值范围是(－∞，-3)∪ (-
6
3.集合M={x|y= x}，N={y|y=2 x-1},则
集合M∩N=（ C）
A.
B. {（1,1）}
C. {x|x≥0} D. {x|x≥-1}
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逻辑代数是1847年由英国数学家乔治· 布尔（George Boole)首先创立的，所以 通常人们又称逻辑代数为布尔代数。逻 辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑 代数表示的不是数的大小之间的关系， 而是逻辑的关系，它仅有两种状态即： 0,1。它是分析和设计数字系统的数学 基础。
4 1
5 0
6 1
7 1
8 0
亮灯情况 1
一、基本概念：
1、逻辑变量：和普通代数类似， 在逻辑代数中也用英文字母表示变 量，这种变量称为逻辑变量。常用 大写字母A、B、C、……..
2、逻辑常量：1、0
二、逻辑运算
逻辑代数中有“与”“或”“非”三种 逻辑关系的基本运算
1、“与”逻辑运算：设A，B是两个 逻辑变量，用A〃B表示两个变量的 逻辑与，也叫逻辑乘，A和B都称为 A〃B因子。
“非”运算的法则：
0 1
1 0
F= A
“非”运算Y= A 的真值表：
A 1 0
A
0 1
4、与门、或门、非门：。
Y=A· B
&
Y=A+B
>1
Y= A
1
A B
AB
A
(a) 与门
(b) 或门
(c) 非门
课堂小结
一、基本概念： 1、逻辑变量：A、B、C、…….. 2、逻辑常量：1、0 二、逻辑运算： “与”“或”“非” 三、运算法则
2.“或”逻辑运算：设A，B是两 个逻辑变量，用A＋B表示两个变 量的逻辑或，也叫逻辑加。
“或”运算的法则：
0+0=0 0+1=1 1+0=1
1+1=1
F = A+ B
“或”运算Y=A+B的真值表：
A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A+B 1 1 1 0
3. “非”逻辑运算：设A是逻辑变 量，用 A 表示变量A的逻辑非， 也叫逻辑反。
“与”运算的法则
0· 0=0
0· 1=0
1· 0=0
1· 1=1
F = A·B
真傎表 ：
将逻辑运算式中变量的所有取值组合与其相 应运算结果一一列出，并以表格的形式表示， 这种表称为逻辑运算的真傎表。其中用1表示 真值“真”，用0表示真值“假”。
“与”运算Y=A·B的真值表：
A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A· B 1 0 0 0
布置作业
课本117页练习15-7的3、 练习册相应习题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
创设情境
问题1：某教师要记录某一天晚
上9点各教室亮灯的情况，假如 该学校共有8间教室，请帮助设 计记录表。要求：在保证能够 看清楚是否每一个教室都已经 查看的前提下，尽可能地使记 录简洁。
归纳定义
教室 1 2 3 4 5 6 7 8 亮灯情况 亮 灭 亮 亮 灭 亮 亮 灭
教室
1
2 0
3 1