高一上期末考试数学试题(含答案)
河南省郑州中学2024届高一上数学期末复习检测试题含解析
19．已知函数
f
x
a 3x 1 3x 1
（1）当 a 1时，解方程 lg f 2x lg f x 1 lg16 ；
（1）用“五点法”做出函数 f x 在 x 0, 2 上的简图；
（2）若方程
f
x
a在
x
2 3
,
5 6
上有两个实根，求
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解题分析】利用分段函数在 R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
A.
1 3
,1
B.
,
1 3
1,
C.
1 3
,
1 3
D.
,
1 3
1 3
,
7．下面四个不等式中不正确的为
A. sin 1 1 15 15
B. 20.9 0.92
C.
ln
1 2
log3
1 2
D. 20.3 0.30.2
8．函数 f (x) 2 tan( x 3) 的最小正周期为 2
【解题分析】设函数 y x2 4x 3 ，求出 x [0, 4]时 y 的取值范围，再根据 a [2, 2]讨论 a 的取值范围，判断 f x
是否能取得最大值 3 ,从而求出对应的概率值
【题目详解】在区间 2, 2 上任取一个数 a ，基本事件空间对应区间的长度是 4 ， 由 y x2 4x 3 x 22 1, x [0，4] ，得 y [1,3] ，
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测试题 数学含解析
通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷（答案在最后）2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤ B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc> B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x= B.ln e xy = C.y = D.y=5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c >> D.a c b>>6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π- B.2π-C.4π D.2π8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.110.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．13.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为全集U =R ，{}21A x x =-<≤，所以{}U |21A x x x =≤->或ð.故选：C2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据初等基本函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.【详解】对于A ：因为函数y =(1,)-+∞上是增函数，所以满足条件，故A 正确；对于B ：因为函数2(1)y x =-在(0,1)上是减函数，所以不满足条件，故B 错误；对于C ：因为函数2xy -=在R 上为减函数，所以不满足条件，故C 错误；对于D ：因为函数()ln f x x =-在(0,)+∞上为减函数，所以不满足条件，故D 错误.3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc >B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >【答案】C 【解析】【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可．【详解】因为,,a b c ∈R 且a b >，对于A 选项：当0c =时不成立；对于B 选项：1()2xy =单调递减，所以不成立；对于C 选项：3y x =在(,)-∞+∞单调递增，成立；对于D 选项：举反例1,2a b =-=-，不成立．故选：C ．4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x =B.ln e xy = C.y = D.y=【答案】D 【解析】【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.【详解】易知()ln exf x x ==，且0x >，ln e 0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+.显然A 选项定义域与值域均为R ，故A 错误；因为ln e x y x ==，且e 0x >恒成立，即其定义域与值域均为R ，故B 错误；0y x ==≥，即其定义域为R ，值域为[)0,∞+，故C 错误；0y=>，且0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+，即D 正确.故选：D5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c>> D.a c b>>【分析】先判断出a b c 、、的范围，再比较大小即可.【详解】因为0.30221a =>=，所以1a >；0.30.3log 2log 10b =<=，0b <；0.3000.50.51c <=<=，01c <<；所以a c b >>.故选：D6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，23y x =-在R 上单调递增，所以2()log 23f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，因为()110f =-<，()22log 222320f =+⨯-=>，故函数()f x 零点的区间是(1,2).故选：C7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π-B.2π-C.4π D.2π【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质求出ϕ的取值，从而解得.【详解】解：根据诱导公式及正弦函数的性质可知()π212k ϕ=-⋅，Z k ∈，令0k =，可得ϕ的一个值为π2-.故选：B8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】分别解出cos 0x =、sin 1x =，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由cos 0x =，得ππ,Z 2x k k =+∈，由sin 1x =，得π2π,Z 2x k k =+∈，又ππ2π,Z π,Z 22x x k k x x k k ⎧⎫⎧⎫=+∈⊆=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以“cos 0x =”是“sin 1x =”的必要不充分条件.故选：B.9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.1【答案】A 【解析】【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可.【详解】由题意可知4.0lg 0.14lg 0.15K K =+⇒=-=，所以5lg L V =+，故()5lg 0.65lg3lg55lg31lg 2 4.78 4.8+=+-=+--≈≈，故A 正确.故选：A10.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解【答案】D 【解析】【分析】作出函数()f x 和()g x 的图象，结合函数图象即可判断A B ；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C ；根据当1k a =时，函数()log (1)a m x x a =>和1()n x kx x a==的图象都过过点(),1a ，即可判断D.【详解】对于A ，如图所示，作出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，函数()f x 和()g x 的图象有三个公共点，故A 错误；对于B ，由A 选项可知，当>4x 时，()()f x g x >，所以不存在0x ∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立，故B 错误；对于C ，如图，作出函数()2x f x =，()log (1)a m x x a =>的图象，由图可知，函数()2x f x =的图象在y x =的图象的上方，函数()log (1)a m x x a =>的图象在y x =的图象的下方，所以()0,x ∞∀∈+，()()f x m x >，所以不存在0(0,)x ∈+∞，使得()()00f x m x <成立，故C 错误；对于D ，因为1,0a k >>，1ak ≤，当1k a=时，函数()log (1)a m x x a =>的图象过点(),1a ，函数1()n x kx x a==的图象过点(),1a ，即直线与函数图象有交点，当1k a<时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，所以当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解，故D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.【答案】(,2)-∞【解析】【分析】利用对数的限制条件可得答案.【详解】由题意得，20x ->得2x <，所以定义域是(,2)-∞.故答案为：(,2)-∞12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．【答案】1【解析】【分析】利用分数指数幂运算和对数运算性质求解即可【详解】124(lg2lg5)2lg10211-+=-=-=.故答案为：113.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.【答案】1【解析】【分析】令()0f x =，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.【详解】()2()1ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，令()2()1ln 0f x x x =-=，则210x -=或ln 0x =，解得1x =或=1x -（舍）.故答案为：114.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.【答案】①.3-②.π6【解析】【分析】当0=t 时，求出点P 对应的1P 坐标，即可求得tan α的值，当π6t =时，求出点P 对应的2P 坐标，即可确定扇形12O P P 的圆心角，从而可以求得线段OP 扫过的面积.【详解】当0=t 时，ππ3cos cos 662⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin sin 662⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点11,22P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，所以132tan 332α-==-，此时，1π6xOP ∠=-，当π6t =时，πππcos 2cos 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ1sin 2sin 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点21,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，此时，2π6xOP ∠=，所以12πππ663POP ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭，且1OP =，所以 12ππ133PP =⨯=，所以当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积就是扇形12O P P 的面积，即121ππ1236OP P S =⨯⨯=扇形，故答案为：33-，π6.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④.【详解】当2a =时，()2,222,2x x f x x ≥=-<⎪⎩，则方程()2f x =，若2,222x x ≥∴=⇒=，若2,222242xxx x <∴=-⇒=⇒=，与前提矛盾，舍去，所以当2a =时，方程()f x a =有唯一解2x =，故①正确；当(0,1)a ∈时，若2,2x a a x ≥∴=⇒=，若2,2xx a a <∴=-，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，则当log 2a x ≤时,20x y a =-≥，且2x y a =-在(),2∞-上单调递减，当log 22a x <<时，20x y a =-<，则2(2)2x f x a a =-<-，此时()()()222222102a aaa a a a a --=+-=-+<⇒<-，作出函数()f x 与y a =的草图如下，可知当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解，故②正确；因为0a >且1a ≠，可知0y a =+>恒成立，若()0,1a ∈，由上可知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，且()log 2log 20a a x =<时，20x y a =-=，此时20xy a =-≥；若1a >，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递增，即222x y a a =-<-，（i 1a ≥>时，20x y a =-<，则20xa ->，（ii ）当a >()log 2log 22a a x =<时，20xy a =-=，此时20x y a =-≥；1a ≥>时，()f x 取不到最小值0，故③错误；由上可知()0,1a ∈和)∞+时，()f x 在(),log 2a ∞-上单调递减，1a ≥>时，()f x 在(),2∞-上单调递减，故④错误.故答案为：①②【点睛】难点点睛：难点在第二个结论和第三个结论，需要利用指数函数的单调性与零点分类讨论参数的范围，讨论容易遗漏.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.【答案】（1）3sin 5α=，5sin 5β=.（2）5-【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义计算即可；（2）利用余弦的差角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可知：1sin 0y α=>，4cos 5α=，则3sin 5α==，同理2sin 0y β=>，cos 5β=-，则sin 5β==；【小问2详解】易知POM βα∠=-，所以()cos cos cos cos sin sin POM βαβαβα∠=-=+4355555=-⨯+⨯=-.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】（1）由五点法，可求周期，从而求出ω，代点求出ϕ，从而求出()y f x =的解析式.（2）根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，即可得出.【小问1详解】由表格知，2A =且4πππ233T =-=，即2πT =，故2π1T ω==，由ππ32+=ωϕ，则ππ32ϕ+=，故π6ϕ=，则π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知ππ()2sin 36⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x f x x ，由πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，所以π2π2π2π33k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数()y g x =的单调增区间为π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πT =（2；最小值1-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简()f x ，若选条件①可推得函数()f x 不存在，选择条件②③，可求得函数的解析式，进而得到最小正周期；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，借助正弦函数性质可求出最值.【小问1详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-，04ω<<，所以π()sin 2cos 224f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若选条件①：因为π()24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为.所以π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 存在.若选条件②：因为x ∀∈R ，()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.故()f x 在π8x =处取最大值，即πππ2π442k ω+=+，k ∈Z ，所以18k ω=+，因为04ω<<，故1ω=，所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.若选条件③：因为函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.ππ044ω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以πππ44k ω-+=，k ∈Z ，即14k ω=-，k ∈Z ，因为04ω<<，故1ω=.所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.【小问2详解】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x +=，即π8x =时，()f x ；故当π5π244x +=，即π2x =时，()f x 取最小值1-.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，2-（2）(4,)m ∈+∞【解析】【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数()e e 4x x f x m -=+-计算m ，利用换元法e 0x u =>，结合基本不等式进行最小值的求解即可.（2）由于函数()f x 图像恒在x 轴上方，所以函数()0f x >，进行参数分离，得到24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立，结合换元法进行讨论即可.【小问1详解】因为函数()e e 4x x f x m -=+-为偶函数.所以()()f x f x -=恒成立，即e e 4e e 4x x x x m m --+-=+-恒成立.即()(1)ee 0xx m ---=恒成立，解得1m =，所以1()e e 4e 4exxx x f x -=+-=+-，令e 0x u =>，1442y u u =+-≥-=-，当且仅当1u =，即0x =时，等号成立.所以函数()f x 的最小值为2-.【小问2详解】当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，故当[1,1]x ∈-时()e e 40x x f x m -=+->恒成立.即24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立.令2()4e e x x h x =-，令e x t =，1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为24y t t =-，对称轴为2t =，故当2t =即ln 2x =时，()h x 取最大值4，故(4,)m ∈+∞.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.【答案】20.()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ 21.这一天在1014x -≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得()f x 的解析式，分类讨论解不等式()101f x ≥即可得结果.【小问1详解】当[0,12]x ∈时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为(10,106)，且过()8,102，()12,102，可设2()(10)106f x b x =-+，0b <，代入点(8,102)可得2(810)106102b -+=，解得1b =-，故当[0,12]x ∈时，2()(10)106f x x =--+；点(12,102)代入log (10)103a y x =--+，解得2a =，故当(12,24]x ∈时，2()log (10)103f x x =--+；()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ .【小问2详解】当[0,12]x ∈时，令2()(10)106101f x x =--+≥，解得1012x ≤≤，当(12,24]x ∈时，令2()log (10)103101f x x =--+≥，解得1214x <≤，所以1014x -≤≤，综上所述：这一天在1014x ≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用m 元完备数对的定义推理判断即得.（2）令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，根据m 元完备数对的定义确定k b 的所有可能情况，再导出矛盾即可.【小问1详解】当3m =时，由12(1,2)+-≤=i i a a i ，得12235-+-<a a a a ，不符合题意，所以不存在3元完备数对；当4m =时，当13a =，22a =，34a =，41a =时，满足122331a a a a a a -≤-≤-且1223346-+-+-=a a a a a a ，符合题意，所以(3,2,4,1)A =为4元完备数对.【小问2详解】假设存在8元完备数对，当8m =时，令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，则1211b b b ≤≤≤≤ ，且12710b b b +++= ，则k b 有以下三种可能：①()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ ；②()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩；③()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，于是126b b b === ，即1223671a a a a a a -=-==-= ，由112|(1,2,,7)|||k k k k a a a a k +++--== ，得112k k k k a a a a +++-=-或121k k k k a a a a +++--=，而,{1,2,3,4,5,6,7,8},,i j i j i j a a ∈≠≠，则有112k k k k a a a a +++-=-，因此1a ，2a ，…，7a ，8a 分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，由74b =得874a a =+或874a a =-，与已知矛盾，则当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，不存在8元完备数对；当()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩或()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，同理不存在8元完备数对，所以不存在8元完备数对.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
2024北京丰台区高一(上)期末数学试题及答案
2024北京丰台高一（上）期末数 学2024.01考生须知：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID 号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID 号、姓名。
在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次练习所有答题均在答题卡上完成，选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在练习卷、草稿纸上答题无效。
4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}21A x x =−<<，{}12B x x =−≤<，则AB =（ ） A.{}22x x −<< B.{}11x x −≤< C.{}11x x −≤≤ D.{}12x x −≤< 2.下列函数在区间()0,+∞上单调递减的是（ ）A.ln y x =B.cos y x =C.e x y =D.y x =−3.若0a b >>，c d >，则下列结论一定成立的是（ ）A.0a b −<B.a c b c +>+C.ac bc >D.ac bd > 4.已知tan 24πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A.3−B.1−C.13D.15.13lg 2lg58−+−+=（ ） A.12π− B.2π− C.4π− D.32π− 6.函数()sin cos 2f x x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则（ ）A.()f x 是最小正周期为2π的奇函数B.()f x 是最小正周期为2π的偶函数C.()f x 是最小正周期为π的奇函数D.()f x 是最小正周期为π的偶函数7.函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b >>8.若α，β都是第一象限角，则“sin sin αβ>”是“tan tan αβ>”成立的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a ，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n 天后，甲同学的知识储备量为()12%na +，乙同学的知识储备量为()12%n a −，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg102 2.0086≈，lg98 1.9912≈） A.15 B.18 C.30 D.3510.记()R A 为非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,R A R B R A R B A B R B R A R A R B −≥⎧⎪=⎨−<⎪⎩ .若{}1,2A =，()(){}2250B x x ax x ax =+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()R S 等于（ ）A.1B.2C.3D.4 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
安徽省A10联盟2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷含答案
2023—2024学年第一学期高一年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{2,1,0,1,2}M =--，{(1)(3)0}N xx x =+->∣，则M N ⋂=（）A.{2,1,0,1}-- B.{2}- C.{2,1}-- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{(1)(3)0}N xx x =+->∣解得：{3N x x =>∣或1}x <-，因为{2,1,0,1,2}M =--，所以M N ⋂={2}-.故选：B 2.“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.【详解】若π2π,6k k α=+∈Z ，则ππ1sin sin 2πsin ,662k k α⎛⎫=+==∈ ⎪⎝⎭Z 成立；若1sin 2α=，则π2π,6k k α=+∈Z 或5π2π,6k k α=+∈Z ，故π2π,6k k α=+∈Z 不一定成立；综上所述：“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的充分不必要条件.故选：A.3.计算55log 42log 10-=（）A.2B.1- C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算公式可得答案.【详解】555552log 42log 10log 4log 1100l 5og 2-===--.故选：C.4.已知正数x ，y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（）A.6B.16C.20D.18【答案】D 【解析】【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为正数x ，y 满足811x y+=，则()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当16y xx y=，即12,3x y ==时等号成立.故选：D5.计算sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=（）A. B.32C.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】由两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=sin 50cos10cos50sin10︒︒︒︒+()sin 5010=sin 602︒︒︒=+=.故选：B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =-上，则πtan 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.17-B.17C.7D.7-【答案】C 【解析】【分析】先求解tan θ的值，结合倍角公式和和角公式可得答案.【详解】由题意tan 3θ=-，所以22tan 63tan 21tan 194θθθ-===--，所以πtan 21tan 2741tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.7.将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A.()cos g x x =-B.()cos g x x=C.π()cos 3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()πcos 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，得到()2ππcos 2cos 2πcos 233y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-=- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()cos y g x x ==-的图象.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，2(2)f x x bx c =++．若(3)(2)6f f -=，则752f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94B.32C.74-D.52-【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()2286f x x x =-+，进而利用周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()02f f c =-=，由②得：()()312f f b c ==++，因为(3)(2)6f f -=，所以26b c c +++=，即24b c +=，令0x =，由①得：()()()111020f f f b c =-⇒=⇒++=，解得：8,6b c =-=，所以()2286f x x x =-+．又因为()()()()()221111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-+=--+=--+=-⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，所以75331114911222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115246242f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭．75522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：（1）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a -+=+；（2）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a -+=-+.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）9.已知a ，b 为实数，且a b <，则下列不等式恒成立的是（）A.sin sin a b <B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b <D.()()22ln 1ln 1a b +<+【答案】BC 【解析】【分析】利用函数单调性和反例可得答案.【详解】对于A ，π2π23<，而π2πsin sin 23>，故A 不正确；对于B ，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，a b <，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3y x =为增函数，a b <，所以33a b <，故C 正确；对于D ，21-<，而()()ln 41ln 11+>+，故D 不正确.故选：BC.10.高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数[]()f x x =称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，[3]3=.下列结论正确的是（）A.对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则()()12f x f x ≤B.函数()f x 是R 上的奇的数C.对任意实数m ，(2)2()f m f m =D.对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A ；通过举例来判断BC ；设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，r 为m 的小数部分，01r ≤<，分102r ≤<，112r ≤<讨论计算来判断D .【详解】对于A ：对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则[][]12x x ≤，即()()12f x f x ≤，故A 正确；对于B ：例如()[]1.5 1.51f ==，()[]1.5 1.52f -=-=-，即()()1.5 1.5f f -≠-，故函数()[]f x x =不是奇函数，故B 错误；对于C ：取12m =，()[]121112f f ⎛⎫⨯=== ⎪⎝⎭，1122022f⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不满足(2)2()f m f m =，故C 错误；对于D ：设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，,n m n ≤∈Z ，r 为m 的小数部分，01r ≤<，则[][]1122m m n r n r ⎡⎤⎡⎤++=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222m n r =+，若102r ≤<，可得[]122m m n ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，[]22m n =，若112r ≤<，可得[]1212m m n ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，[]221m n =+，所以对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：AD.11.已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.4ab ≤B.228a b +≥ C.228a b +≥ D.22log log 2a b +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式及其变形式，结合指数运算判断ABC ，举反例根据对数函数的单调性判断D.【详解】对于A ：因为4=+≥a b 4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，A 正确；对于B ：因为222222228a b a b ++≥=⋅=⋅=，当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；对于C ：因为()2222162a b a b ab ab +=+-=-，4ab ≤，所以221621688a b ab +=-≥-=，当且仅当2a b ==时取等号，故C 正确；对于D ：当10,30a b =>=>时，满足4a b +=，但是222222log log log 1log 3log 3log 42a b +=+=<=，故D 错误；故选：ABC.12.已知函数()cos(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于直线7π12=-x 对称，则（）A.(0)2f =B.函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.函数()f x 在区间5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.【详解】因为()f x 的图象关于直线7π12=-x 对称，所以7ππ6k ϕ-=，即7ππ6k ϕ=+，Z k ∈；因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()cos(2π6=+f x x .π(0)cos 62f ==，故A 正确；2π3π(cos 032f ==，所以函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；令π26t x =+，由19π,π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得21π13π,126t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为21π13π2π126<<，所以函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，故C 不正确；令π26t x =+，由5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得11,36t ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以cos 1,2t ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()1,2f x ⎡∈-⎢⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．13.命题“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是_________．【答案】()2R,ln 10x x ∃∈+≤【解析】【分析】利用全称命题的否定方法可得答案.【详解】因为“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是“()2R,ln 10x x ∃∈+≤”故答案为：()2R,ln 10x x ∃∈+≤.14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】2-【解析】【分析】先利用周期和奇偶性，把所求转化为已知区间内，代入可得答案.【详解】因为()f x 是周期为2的奇函数，所以511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为当01x <<时，()4x f x =，所以1()22f =，所以522f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-15.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，若()2log 0f m >，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性得到22log 2m -<<，利用对数函数单调性求解即可.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，()20f =，所以()2log 0f m >等价于()()2log2f m f >，所以2log 2m <，所以22log 2m -<<，解得144m <<.所以实数m 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,44⎛⎫⎪⎝⎭.16.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，区间[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y f x =在区间[,]a b 上至少含有20个零点，在所有满足此条件的区间[,]a b 中，b a -的最小值为_________．【答案】55π6##55π6【解析】【分析】通过整体代换求解函数的零点通式，求出相邻零点之间的距离，即可求出满足零点个数的最小区间长度．【详解】令π()2sin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得πx k =或ππ6x k =+，k ∈Z ，即()y f x =的相邻两零点间隔为π6或5π6，故若()y f x =在[],a b 上至少含有20个零点，则b a ﹣的最小值为π5π55π109666⨯+⨯=．故答案为：55π6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数2()(2)2f x x k x k =++++，设集合{}122xA x=<<∣，集合{()0}B x f x =<∣．（1）若B =∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数k 的取值范围．【答案】17.[]2,2-18.5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意可得()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，即0∆≤求解；（2）化简()0,1A =，由题意A B ⊆得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩求得答案.【小问1详解】由B =∅，即()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，()()22420k k ∴∆=+-+≤，解得22k -≤≤.所以实数k 的取值范围为[]22-,.【小问2详解】由{}()1220,1xA x =<<=，x A ∈是xB ∈的充分条件，所以A B ⊆，得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即20250k k +≤⎧⎨+≤⎩，解得52k ≤-.所以实数k 的取值范围为5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.18.已知函数π()2sin 6g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭周期为π，其中0ω>．（1）求函数()g x 的单调递增区间；（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数()g x 在[0,]π上的简图．【答案】（1）πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；（2）利用五点法画图可得答案.【小问1详解】由题意可得2ω=，所以π()2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】π26x -π6-π2π3π211π6x 0π12π37π125π6π()g x 1-022-1-描点，连线，其简图如下19.已知函数2()141x a f x =-+是奇函数．（1）求实数a 的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式()()412250x x f f t ++-⋅+<在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1a =，减函数（2）5t >-【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出a ，再根据复合函数单调性可判定单调性；（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.【小问1详解】因为2()141x a f x =-+是奇函数，所以(0)0f =，解得1a =；当1a =时，214()14141xx x f x -=-=++，定义域为R ，又1441()41)4(1x x x x f x x f ---+-==-+=-符合题意.所以1a =，因为41x y =+为增函数，所以()f x 为减函数.【小问2详解】()()412250x x f f t ++-⋅+<等价于()()41225x x f f t +<--⋅+，即()()41225x x f f t +<-+⋅-；因为()f x 为减函数，所以41225x x t +>-+⋅-，即4226x x t ⋅+->-；令20x m =>，则上式化为226m m t ⋅+->-，即()215m t -+>-；所以5t >-.20.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产1台，需另投入成本()C x （万元），当年产量不足70台时，21()602C x x x =+（万元）；当年产量不小于70台时，8100()1212180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】20.2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩21.90台时利润最大.【解析】【分析】（1）分070x <<、70x ≥两种情况分别求出函数关系式即可；（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.【小问1详解】由题可知当070x <<时，2211120605006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当70x ≥时，8100810012012121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；【小问2详解】当070x <<时，()22116050060130022y x x x =-+-=--+，则60x =时，y 有最大值1300（万元）；当70x ≥时，81001680y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0x >时，8100180x x +≥=，当且仅当8100x x =，即90x =时取等号，所以8100168016801801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，所以当90x =时，y 有最大值1500（万元）；综上，年产量为90台时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.21.已知函数2())2cos 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=+-+><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()()sin cos h x f x x x =+-的最小值.（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到依次为1231,,,,,n n x x x x x - 试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【答案】21.2-22.85π12【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再根据周期及奇偶数性求出()f x 的解析式，再令sin cos t x x =-，利用二次函数性质求解最小值即可；（2）根据三角函数图像变换求得()g x ，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得n 以及1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【小问1详解】()()22cos 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()()πcos 2sin 6x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得2ω=，又由函数()f x 为奇函数，所以ππ,6k k ϕ-=∈Z ，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()2sin2f x x =.所以()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =+-=+-，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则22sin 24sin cos 22x x x t ==-，故原函数最小值为222,y t t t ⎡=-++∈⎣的最小值，其对称轴为14t =，在14t ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，在14t ⎡∈⎢⎣单调递减，且(222222-⨯+>--，所以t =222y t t =-++有最小值2-，所以()()sin cos h x f x x x =+-的最小值为2-.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()π22sin 433g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则π1sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4,5π33x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令3π4t x =-，则π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y t =在π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，由图可知，sin y t =与13y =共有6个交点，所以方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上共有6个根，即6n =，因为()()()123456162345222222t t t t t t t t t t t t +++++=+++++5π3π7π2222225π222=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以1234562222x x x x x x +++++()1234561π222210412t t t t t t =++++++⨯85π12=.22.对于函数()()f x x D ∈，D 为函数定义域，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.（1）若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，求k 的取值范围；（2）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22,π∞⎛-- ⎝⎦（2）存在，且4T ≥【解析】【分析】（1）由()()f x T f x +≤恒成立，分离常数k ，结合三角函数的最值来求得k 的取值范围.（2）结合()f x 的图象以及图象变换的知识求得T 的取值范围.【小问1详解】因为函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，则()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，所以ππsin cos 24k x x x ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭，即πsin π4k x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于πsin 14x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以πk ≤-.所以k的取值范围是,π∞⎛-- ⎝⎦.【小问2详解】存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x --≤-⎧⎪=---++=-<<⎨⎪-+≥⎩，画出()f x的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，所以存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，且4T ≥.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.。
2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2560,{10}A x x x B x x =-+≥=-<，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．(2,1)--C ．(3,1)--D ．(3,)+∞【正确答案】A【分析】解不等式求得集合,A B ，由此求得A B ⋂.【详解】()()256230x x x x -+=--≥，解得2x ≤或3x ≥，所以(][),23,A =-∞⋃+∞，而(),1B =-∞，所以A B = (,1)-∞.故选：A2．十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a ，众数为b ，第一四分位数为c ，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c <<B ．<<c a bC ．c b a <<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】根据中位数、众数、分位数的定义求解.【详解】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，所以中位数151515,2a +==众数为b =17，100.25 2.5⨯=，所以第一四分位数为第三个数，即c =14，所以<<c a b ，故选:B.3．已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若()2f x x =，则()00f =，此时()f x 为偶函数，充分性不成立；若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，则()00f =恒成立，必要性成立；∴函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.4．如图是函数()f x 的图象，则下列说法不正确的是（）A ．()02f =-B ．()f x 的定义域为[]3,2-C ．()f x 的值域为[]22-,D ．若()0f x =，则12x =或2【正确答案】C【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．【详解】解：由图象知(0)2f =-正确，函数的定义域为[3-，2]正确，函数的最小值为3-，即函数的值域为[3-，2]，故C 错误，若()0f x =，则12x =或2，故D 正确故选：C ．5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg20.3010,lg30.4771≈≈，设71249N =⨯，则N 所在的区间为（）A ．()131410,10B ．()141510,10C ．()151610,10D ．()161710,10【正确答案】C【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.【详解】因为712712142449,lg lg4lg9lg2lg314lg224lg3 4.21411.450415N N =⨯=+=+=+≈+≈.6644，所以()15.664415161010,10N =∈.故选：C6．方程24x x +=的根所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】B构造函数()24xf x x =+-，利用零点存在定理可得出结论.【详解】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-< ，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.7．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且2是它的一个零点，则不等式(1)0f x ->的解集为（）A ．(1,3)-B ．(,3)(1,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞【正确答案】A【分析】根据函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，又因为2是它的一个零点，所以(2)0f =，所以(2)(2)0f f -==，所以当22x -<<时()0f x >，所以由(1)0f x ->可得212x -<-<解得13x -<<，故选:A.8．设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞满足()()2112120x f x x f x x x->- 且(1)2f =，则不等式()2f x x >的解集为（）A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(1,0)(0,1)-C ．,1(),)1(-∞-⋃+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A 【分析】设()()f x F x x=，判断出()F x 的奇偶性、单调性，由此求得不等式()2f x x >的解集.【详解】设()()f x F x x =，由于()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-，所以()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数.任取120x x <<，120x x -<，则：()()()()()()1221121212120f x f x x f x x f x F x F x x x x x --=-=<，()()12F x F x <，所以()F x 在()0,∞+上递增，则()F x 在(),0∞-上递减.()(1)21f f ==-，()()()11211f F F ===-，对于不等式()2f x x >，当0x >时，有()2f x x >，即()()11F x F x >⇒>；当0x <时，由()2f x x<，即()()110F x F x <-⇒-<<，综上所述，不等式()2f x x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：A二、多选题9．有一组样本数据123,,,,n x x x x ，由这组数据得到新样本数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ ，则下列结论正确的是（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【正确答案】CD【分析】根据一组数据的平均数、中位数、标准差和极差的定义求解.【详解】数据123,,,,n x x x x 的平均数为123nx x x x x n++++=，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的平均数为123123222222n n x x x x x x x x nx n n++++++++++++==++ ，故A 错误；若数据123,,,,n x x x x 的中位数为i x ，则新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的中位数为2i x +，故B 错误；数据123,,,,n x x x x 的标准差为s =，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的标准差为1s s ==，故C 正确；若数据123,,,,n x x x x 中的最大数为,m x 最小数为n x ，则极差为m n x x -，则数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的极差为22m n m n x x x x +--=-，故D 正确，故选：CD.10．若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22lg lg a b >B ．22a b--<C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】BD【分析】应用特殊值23a b =>=-，判断A 、C ，根据2x y =，3y x =的单调性判断B 、D.【详解】当23a b =>=-时，则()22239<-=，而lg 4lg9<，又1123>-，∴A ，C 不正确；∵2x y =，3y x =都是R 上单调递增函数，∴B ，D 是正确的.故选：BD.11．关于x 的方程221x k xx x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的值可能是（）A ．0B ．1-C ．1D ．3【正确答案】ABD【分析】由方程有意义可得0x ≠且1x ≠，并将方程化为220x x k +-=；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况：方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由此可解得k 所有可能的值.【详解】由已知方程得：210x x x -≠-≠⎧⎨⎩，解得：0x ≠且1x ≠；由221x k x x x x-=--得：220x x k +-=；若221x k x x x x-=--的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解，440k ∴∆=+=，解得：1k =-，此时220x x k +-=的解为1x =-，满足题意；②方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1；由0200k +⨯-=得：=0k ，220x x ∴+=，此时方程另一根为2x =-，满足题意；③方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由1210k +⨯-=得：=3k ，2230x x ∴+-=，此时方程另一根为3x =-，满足题意；综上所述：1k =-或0或3.故选：ABD.12．已知函数2()21xx f x =+，下列说法正确的是（）A ．若2()1f a >，则0a >B ．()f x 在R 上单调递增C ．当120x x +>时，()()121f x f x +>D ．函数()y f x =的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称【正确答案】ABC【分析】根据指数不等式、函数单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()21f a >，即221,2221,21,021aa a a aa ⨯>⨯>+>>+，A 选项正确.B 选项，1221()12111212x x x x xf x ==+=-+++-，由于121x y =+在R 上递减，所以()f x 在R 上递增，B 选项正确.C 选项，当120x x +>时，12x x >-，所以()()12f x f x >-，即12122221212112x x x x x -->=+++，所以()()1221222122221212121211x x x x x x x f x f x +=>++=++++，C 选项正确.D 选项，()()112212122x x xf x f x ---==≠-++，D 选项错误.故选：ABC三、填空题13．已知幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，则1()f x -=_________．【正确答案】3x 【分析】根据幂函数的的知识求得α，然后根据反函数的知识求得正确答案.【详解】依题意，幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，所以182,3αα==，所以()13f x x =，令13y x =，解得3x y =，交换,x y 得3y x =，所以13()f x x -=故3x 14．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1p -，则A 与B 同时发生的概率的最大值为______.【正确答案】14##0.25【分析】求出相互独立事件同时发生的概率，利用二次函数求最值.【详解】因为事件A 与B 同时发生的概率为()[]()221110,124p p p p p p ⎛⎫-=-=--+∈ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，最大值为14.故1415．已知函数(),y f x x =∈R ，且(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，写出函数()y f x =的一个解析式：________．【正确答案】()32xf x =⨯【分析】利用累乘的方法可求解函数解析式.【详解】因为(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，所以(1)(2)()(0)32(0)(1)(1)n f f f n f f f f n ⨯⨯⨯=⨯- ，即()32n f n =⨯，所以函数()y f x =的一个解析式为()32x f x =⨯，故答案为:()32x f x =⨯.16．已知函数2()|2|4f x x x a a a =-+-，若函数()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则123111x x x ++的取值范围是_________．【正确答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，对a 进行分类讨论，求得12123,,x x x x x +，由此求得123111x x x ++的取值范围.【详解】()222224,224,2x ax a a x af x x ax a a x a ⎧-+-≥=⎨-++-<⎩，当0a >时，方程有3个不相等的实数根，()f x 在()2,a +∞上递增，所以2x a ≥时，22240x ax a a -+-=有1个根，且2x a <时，22240x ax a a -++-=有2个根，所以()222444040a a a a a ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得24a <<.由于123x x x <<，则2121232,4,2x x a x x a a x a +==-+=+，所以122123123111124x x a x x x x x x a a +++=+=+-+()24a a a =+-()()244a a a a a a -=-==--()()221111=----，)2111,311<<-<<，)22110-<-<，()2111<-()212214211+-<=-.当a<0时，当2x a >时，方程22240x ax a a -+-=的判别式()22444160a a a a ∆=--=<，所以此时不符合题意.当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭研究含有绝对值的函数的零点，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要注意做到不重不漏.四、解答题17．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100-+-⋅．【正确答案】(1)2916(2)74-【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.18．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75.（1）求x ，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.【正确答案】（1）0.025x =；0.02y =；甲的平均分为74.5，乙的平均分为73.5；（2）35.（1）根据甲测试成绩的中位数为75，由0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，求得y ,再利用各矩形的面积的和为1，求得x ,然后利用平均数公式求解.（2）易得甲测试成绩不足60分的试卷数2，乙测试成绩不足60分的试卷数3，先得到从中抽3份的基本事件数，再找出恰有2份来自乙的基本事件数，代入古典概型公式求解.【详解】（1）∵甲测试成绩的中位数为75，∴0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，解得0.02y =.∴0.0110100.0410100.005101y x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.025x =.同学甲的平均分为550.0110650.0210750.0410850.02510950.0051074.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.同学乙的平均分为550.01510650.02510750.0310850.0210950.011073.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为200.01102⨯⨯=，设为A ，B .乙测试成绩不足60分的试卷数为200.015103⨯⨯=，设为a ，b ，c .从中抽3份的情况有(),,A B a ，(),,A B b ，(),,A B c ，(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，(),,a b c ，共10种情况.满足条件的有(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，共6种情况，故恰有2份来自乙的概率为63105=.19．已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.(1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a b x y+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)41a b =⎧⎨=⎩(2)(3,5)-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得min ()9x y +=，从而解一元二次不等式22150k k --<即可得答案.【详解】（1）解：因为不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >），所以1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，所以5141a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩；（2）解：由（1）知411x y+=，且0x >，0y >，所以414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即63x y =⎧⎨=⎩时等号成立，依题意有2min ()26x y k k +>--，即2926k k >--，所以22150k k --<，解得35k -<<，所以k 的取值范围为(3,5)-.20．甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.【正确答案】（1）1327；（2）427.【分析】（1）根据规则乙先投进，分情况讨论，求各个情况下概率和即可；（2）根据规则第四次乙先进球或第五次甲先进球，符合题意，求概率和即可.【详解】（1）记“乙获胜”为事件C ，记甲第i 次投篮投进为事件i A ，乙第i 次投篮投进为事件iB 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()()111122112233P C P A B P A B A B P A B A B A B =+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()()()()()()()()111122112233P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B =++⋅22332121211332323227⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()112211223P D P A B A B P A B A B A =⋅⋅+⋅⋅⋅()()()()()()()()()112211223P A P B P A P B P A P B P A P B P A =+⋅22222121143232327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：50,020,60,20120.140x v k x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．2.646=）【正确答案】(1)（1）车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．【分析】（1）由120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）求得k ，可得v 关于x 的关系式，再由40v 求解x 的范围得结论；（2）结合（1）写出隧道内的车流量y 关于x 的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．【详解】（1）解：由题意，当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入60140k v x=--，得060140120k =--，解得1200k =．∴50,020120060,20120140x v x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，5040v =，符合题意；当20120x <时，令12006040140x--，解得80x ，2080x ∴<．综上，080x <．故车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；（2）由题意得，50,020120060,20120140x x y x x x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，50y x =为增函数，20501000y ∴⨯=，等号当且仅当20x =时成立；当20120x <时，12002020(140)28006060()60[140140140x x x y x x x x x x--=-=-=+---2800280060(2060[160(140)140140x x x x=+-=-----60(16060(1603250-=-≈．当且仅当2800140140x x-=-，即14087(20x =-≈∈，120]时成立，综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．函数()()lg 93x x f x a =+-．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若()f x 的值域为R ，求实数a 的值；(3)在（2）条件下，()g x 为定义域为R 的奇函数，且0x >时，()()109f x x g x =-，对任意的R t ∈，解关于x 的不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥．【正确答案】(1)0a ≤；(2)0a =；(3)答案详见解析.【分析】（1）由930x x a +->恒成立分离常数a ，结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案；（2）令()93x x h x a =+-，结合()h x 的值域包含()0,∞+列不等式，由此求得正确答案；（3）先求得()g x 的解析式，由此化简不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥.对t 进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】（1）由题930x x a +->恒成立，则93x x a <+恒成立，由于1130,322x x >+>，所以211933024x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭，所以0a ≤；（2）令()93x x h x a =+-，则()h x 的值域包含()0,∞+，因为21193324x x x a a a ⎛⎫+-=+-->- ⎪⎝⎭，所以0a -≤，即0a ≥,又因为0a ≤，所以0a =；（3）当0x >时，()()1093f x x x g x =-=；若0x <，0x ->，()3x g x --=，又因为()g x 为定义域为R 的奇函数，所以当0x <时，()3xg x -=-，所以()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，()()3g x g x =()()20g x x ≠，不等式()()()322g x g x tx t g x +-≥等价于()()()2220g x tx t g x x +-≥≠，由于()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩在()(),00,∞-+∞U 上是单调递增函数，所以原不等式等价于()2220x tx t x x +-≥≠，即：()()()200x x t x -+≥≠，当2t <-时，解集为{|2x x ≤且0x ≠或}x t ≥-；当2t =-时，解集为{}0x x ≠；当20t -<≤时，解集为{|x x t ≤-且0x ≠或}2x ≥；当0t >时，解集为{|x x t ≤-或}2x ≥.根据函数的奇偶性求函数的解析式要注意的地方有：1.如果函数的定义域为R ，则对于奇函数来说，必有()00f =，偶函数则不一定；2.当0x >时，0x -<（或当0x <时，0x ->），需要代入对应范围的解析式，结合()()=f x f x -或()()f x f x =--来求得函数的解析式.。
2023-2024学年广东省深圳市龙华区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省深圳市龙华区高一上册期末数学试题一、单选题1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，{2,3,4}B =，则()()U U A B ⋃痧=（）A ．{2}B ．{0,2,3}C ．{1,3,4}D ．{0,1,3,4}【正确答案】D【分析】根据补集和并集的定义运算即得.【详解】 全集{}0,1,2,3,4U =，集合{0,1,2}A =，{}2,3,4B =，所以{}3,4U A =ð，{}0,1U B =ð因此，{}0,1,3()(,4)U U A B = 痧.故选：D.2．在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒【正确答案】B【分析】根据弧长公式，结合弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【详解】弧长为π的弧所对的圆心角为πrad 902︒=，故选：B3．下列条件中，使a b >成立的充要条件是（）A ．a b >B ．22a b >C ．22a b>D >【正确答案】C【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义及指数函数的性质逐项分析即得.【详解】对A ，取11a b =>=-，则a b =，错误；对B ，取11a b =>=-，则22a b =，错误；对C ，22a b a b >⇔>，正确；对D ，取11a b =>=-无意义，错误.故选：C ．4．下列是奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．1y x -=B ．y =C ．e xy =D ．3y x =【正确答案】D【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A ，函数1y x -=是奇函数，在(0,)+∞上单调递减，故错误；对B ，函数y =对C ，函数e x y =是非奇非偶函数，故错误；对D ，函数3y x =是奇函数，在(0,)+∞上单调递增，故正确.故选：D5．神舟十五号载人飞船于2022年11月30日到达中国空间站，并成功对接，完成了中国空间站的最后一块拼图.已知中国空间站离地球表面的高度约为390千米，每90分钟绕地球一圈.若将其运行轨道近似地看成圆形，运行轨道所在平面与地球的截面也近似地看成直径约为12420千米的圆形，则中国空间站在轨道中运行的速度约为（π 3.14≈）（）A ．7.68千米/秒B ．7.82千米/秒C ．7.88千米/秒D ．7.96千米/秒【正确答案】A【分析】求出半径，再根据圆的周长公式求出运行的长度，除以时间即可得到速度.【详解】根据直径为12420千米，则半径为6210千米，则运行速度()()2π62103902 3.1462103907.6890609060v +⨯+=≈≈⨯⨯千米/秒.故选：A.6．已知ππ2α<<）A ．sin cos αα-B ．sin cos αα+C ．sin αD ．cos α-【正确答案】A【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.【详解】因为ππ2α<<，所以sin 0α>，cos 0α<，则sin cos 0αα->，sin cos sin cos αααα=-=-.故选：A7．已知()lg f x x =，若12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(4)c f =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．c a b>>【正确答案】C【分析】根据对数的运算和对数函数的单调性进行判断即可.【详解】11lg lg 2lg 222a f ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，11lg lg3lg333b f ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，(4)lg 4lg 4c f ===，因为函数lg y x =是正实数集上的增函数，所以有c b a >>故选：C8．已知函数()lg 3f x x x =+-，则()f x 的零点所在的区间为（）A ．(1,1.5)B ．(1.5,2)C ．(2,2.5)D ．(2.5,3)【正确答案】D【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可.【详解】由已知得(1)20f =-<，33(1.5)lg 022f =-<，(2)lg 210f =-<，511(2.5)lg 0222f =-<=，(3)lg30f =>，所以(2.5)(3)0f f ⋅<，由零点的存在定理得，()f x 的零点所在的区间为(2.5,3)，故选：D ．二、多选题9．下列是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】ABD【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个x 只有一个y 和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C 不是函数图象，ABD 是函数图象.故选：ABD.10．下列函数中，最小正周期是π，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．tan y x =B ．cos 2y x =C ．sin 2y x =D ．sin y x=【正确答案】AB【分析】根据已知条件结合选项逐项验证，可得答案.【详解】A ，tan y x =，最小正周期为π，在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确；B ，cos 2y x =，最小正周期为π，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；C ，sin 2y x =，最小正周期为π，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不具有单调性，故C 错误；D ，sin y x =，最小正周期为π，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故选：AB.11．已知函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域是RB ．()f x 的图象关于原点对称C ．π562f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭D ．当0x >时，()f x 的最小值为2【正确答案】BC【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A 、B 的正误；根据函数解析式可得函数值可得C 的正误；根据余弦函数的性质，可得D 的正误.【详解】对A ，由函数1()sin sin f x x x=+，其定义域为{}()πZ x x k k ≠∈，故A 错误；对B ，()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x-=-+=--=--，故函数()f x 为奇函数，故B 正确；对C ，因为ππ15sin π662sin 6f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，故C 正确；对D ，当()π,2πx ∈时，sin 0x <，则()0f x <，故D 错误.故选：BC.12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，均有1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是（）A ．1()f x x x=+B ．1()ln ln f x x x=+C ．(),011,1x x f x x x <<⎧⎪=⎨->⎪⎩D ．()221,01,1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪->⎩【正确答案】BCD【分析】根据题中定义，结合分类讨论思想逐一判断即可.【详解】A ：()()11f x f x f x x x⎛⎫=+=≠- ⎪⎝⎭，因此本函数不具有“倒负”变换性质；B ：()1111()ln ln 1ln ln f x f x x x xx =+=--=-，因此本函数具有“倒负”变换性质；C ：当01x <<时，()111f x f x x x⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()11f f x x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此本函数具有“倒负”变换性质；D ：当01x <<时，()211f f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()22111f x f x x x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，因此本函数具有“倒负”变换性质，故选：BCD关键点睛：利用代入法，结合分段函数的解析式进行分类讨论是解题的关键.三、填空题13．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域是___________.【正确答案】{1x x >且2}x ≠根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.【详解】由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以定义域为：{1x x >且2}x ≠故{1x x >且2}x ≠14．化简2的值为___________.【正确答案】2【分析】根据指数幂的运算律运算即得.【详解】((22222222===，故答案为.215．已知S 市某所新建高中2022年的绿化面积为2 m a ，若该校绿化面积的年平均增长率为50％，则到_______年（用整数年份表示），该校的绿化面积约是25 m a .（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【正确答案】2026【分析】设经过n 年后，该校的绿化面积约是25 m a ，由已知可得n 的关系式，再通过两边取对数，利用对数运算求解即可．【详解】设经过n 年后，该校的绿化面积约是25 m a ，则由已知得* (150%)5,N n a a n +≈∈，即*3()5,N 2n n ≈∈，两边取对数得32lg 51lg 210.301699lg 543lg 3lg 20.4770.301176lg 2n --≈==≈=≈--，202242026+=，故2026．16．已知π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02α<<，则2πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.【正确答案】23-【分析】根据诱导公式结合条件即得.【详解】因为π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππππ2cos cos sin 32663ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为.23-四、解答题17．已知函数2()1x f x x +=-.(1)当2x =时，求()f x 的值；(2)若()2f a a =，求实数a 的值.【正确答案】(1)4；(2)12a =-或2a =.【分析】（1）将2x =代入2()1x f x x +=-求解；（2）根据2()21a f a a a +==-，求解即得.【详解】（1）∵函数2()1x f x x +=-，∴当2x =时，22(2)421f +==-；（2）函数2()1x f x x +=-的定义域为{|1}x x ≠，因为()2f a a =，所以2()21a f a a a +==-，即22(1)a a a +=-，解得12a =-或2a =；所以12a =-或2a =.18．如图所示，在直角坐标系内，锐角α的终边与单位圆交于点P ，将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，并与单位圆交于点Q .(1)用含α的式子表示点Q 的坐标；(2)若7sin cos 5ββ-=，求tan α的值.【正确答案】(1)()sin ,cos Q αα-(2)34或43【分析】（1）由三角函数定义，根据题中条件，即可用含α的式子表示点Q 的坐标；（2）法一：根据题中条件，由同角三角函数的平方关系和商数关系，联立方程组求解即可；法二：根据题中条件，由同角三角函数基本关系可得，7sin cos 5αα+=①，1sin cos 5αα-=±②，联立方程组求解即可．【详解】（1）依题意得：π2βα=+，由三角函数定义知，πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2βαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为()sin ,cos .Q αα-（2）法一：因为7sin cos 5ββ-=，所以7sin cos 5αα+=①又因为22sin cos 1αα+=②，联立①②解得34sin 55αα==或43sin ,cos 55αα==，所以sin 3tan cos 4ααα==或43.法二：因为7sin cos 5ββ-=，所以7sin cos 5αα+=①两边平方得4912sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=，又因为()21sin cos 12sin cos 25αααα-=-=，所以1sin cos 5αα-=±②当1sin cos 5αα-=时，解得43sin ,cos 55αα==，此时sin 3tan .cos 4ααα==当1sin cos 5αα-=-时，解得34sin ,cos 55αα==，此时sin 3tan cos 4ααα==或43．19．已知函数1π()4cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在区间4ππ,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【正确答案】(1)7ππ4π,4π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）(2)-【分析】（1）利用整体代入法与余弦函数的性质求解即可；（2）利用余弦函数的性质，结合整体法求解即可.【详解】（1）设1π26z x =+，∵cos y z =，z ∈R 的单调递增区间是[]π2π,2πk k -+，k ∈Z ，∴由1ππ2π2π26k x k -+≤+≤，k ∈Z ，解得7ππ4π4π33k x k -+≤≤-+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为7ππ4π,4π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.（2）∵4ππ,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1ππ5π,2636z x ⎡⎤=+∈-⎢⎣⎦，∴由余弦函数cos y z =的性质，当1π5π266x +=，即4π3x =时，1πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为5πcos 6=4π3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴当4π3x =时，()f x 在区间4ππ,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-.20．已知函数()33x x f x -=-，x ∈R .(1)证明()f x 是增函数；(2)若不等式23()()0x f x m f x +⋅≥对于[1,2]x ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)[8,)-+∞【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）法一：利用函数的单调性，把问题转化为23()13x x m f x ≥-=-在[1,2]上恒成立，再求2()13x g x =-在[1,2]上的最大值即可；法二：原不等式可转化为423(2)310x x m m +--+≥，再通过换元23x t =转化为二次不等式在给定区间的恒成立问题，利用二次函数性质求解即可．【详解】（1）证明：12,R x x ∀∈，且12x x <，1112121()()(33)(13x x x x f x f x +=+--，因为12x x <，函数3x y =在R 上单调递增，所以12330x x -<，又121103x x ++>，故12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.因此，1()33xxf x =-是增函数.（2）法一：由（1）知()y f x =在[1,2]上单调递增，所以()(1)0f x f ≥>，所以不等式23()()0x f x m f x +⋅≥可变为3()0x f x m +≥，即23()13x x m f x ≥-=-，令2()13x g x =-，则()g x 在[1,2]上单调递减，当1x =时，()g x 取得最大值，所以()(1)8g x g ≥=-，综上所求得m 的取值范围是[8,)-+∞.法二：由不等式23()()0xf x m f x +⋅≥得21133(3)033x x x x x m ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭，整理得423(2)310x x m m +--+≥，令23x t =，即2(2)10t m t m +--+≥，即(1)(1)0t t m -+-≥，因为[1,2]x ∈，所以[9,81]t ∈，8180t ≤-≤，所以要使原不等式恒成立，则有1t m -≥-，即8m ≥-，8m ≥-，故m 的取值范围是[8,)-+∞21．已知函数2()log f x x =.(1)若0a b >>，证明：()()22f a f b a b f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；(2)若()g x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()(2)1g x f x =+-.（ⅰ）求()g x 的解析式；（ⅱ）求方程2()0g x x -=的所有根.【正确答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）()()()221log 2,0log 21,0x x g x x x ⎧--<⎪=⎨+-≥⎪⎩；（ⅱ）2-，0，2【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程2()0g x x -=转化成曲线()y g x =与直线12y x =的交点情况，结合函数的图象和性质即得.【详解】（1）证明：因为0a b >>，所以222()()log log log f a f b a b ab +=+=，2(log 22a b a b f ++=，由基本不等式，当a b ¹2a b +<，即2222log log log log 22a b a b ++=<，即()()22f a f b a b f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；（2）（ⅰ）依题意得，当0x >时，2()log (2)1g x x =+-，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0g =，代入上式成立，即当0x ≥时，2()log (2)1g x x =+-，设0x <，则0x ->，所以2()()1log (2)g x g x x =--=--，所以()()()221log 2,0log 21,0x x g x x x ⎧--<⎪=⎨+-≥⎪⎩；（ⅱ）方程2()0g x x -=转化成曲线()y g x =与直线12y x =的交点情况，当0x ≥时，()y g x =与12y x =交于点(0,0)和点(2,1)，由（1）知()y g x =的图象总是向上凸的，所以除(2,1)外不会有其它交点，同理，当0x <时，根据对称性，两个图象还有一个交点(2,1)--，所以方程2()0g x x -=有三个根2-，0，2.22．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测算，若以MN 为x 轴，OO '为y 轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线AO 上的任一点在抛物线2140y x =上，而右侧曲线OB 上的任一点在以B 为顶点的抛物线21810y x x =-+上.(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上（不包括端点）.若桥墩CD 每米的造价为m （万元），桥墩EF 每米的造价为32m （万元），则当O E '为多少米时，两个桥墩的总造价S 最低？【正确答案】(1)120米；(2)32.【分析】（1）根据A,B 高度一致结合条件即得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用二次函数的性质即得.【详解】（1）由22118(40)1601010y x x x =-+=--+得(40,160)B ，所以40O B '=，160OO '=，解2116040x =得80x =±，即80O A '=，所以桥AB 的长度为120O A O B ''+=(米)；（2）设O E x '=，则040x <<，80O C x '=-，依题意得21,810F x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由（1）得()214010EF x =-，()2180,8040D x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()22111608044040CD x x x =--=-，所以两个桥墩的总造价()2233140422040S m EF m CD x x x m ⎡⎤=⨯+⨯=-+-⨯⎢⎥⎣⎦，化简得2211(8240)[(32)112]88S x x m x m =-+⨯=-+⨯，所以当32O E '=米时，两个桥墩的总造价S 最低.。
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高一上期末考试数学试题(含答案)高 一 数 学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45- B ．35-C ．35 D ．452.下列函数是偶函数的是A ．sin y x =B ．sin y x x =C ．21x y = D ．xxy 212-= 3．设集合{1},{2,}x M x x N y y x M =<==∈，则集合()RM N 等于A .]21,(-∞B . )1,21( C .1(,][1,)2-∞+∞D .),1[+∞ 4．已知O 、A 、M 、B 为平面上四点，且(1) , (1,2)OM OB OA λλλ=+-∈，则 A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O 、A 、M 、B 四点共线 5. 已知01a <<，函数xa y =与log ()a y x =-的图象可能是25, (1a ==a ∥b ，则 A ．(2,4) B ．(2,4)-- C ．(2,4)或(2,4)-- D ．(2,4)-或(2,4)- 7．设c b a ,,依次是方程1sin 1,sin 2,sin 22x x x x x x +=+=+=的根，并且π02x <<，则c b a ,,的大小关系是A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b << 8．若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,1,3a b c ===，则a b c ++等于 A. 2 B. 5 C. 2或5 D.y x B O y9．4log ,3.0log ,3.0,43.0443.0====d c b a 则A ．a b d c >>>B . a b c d >>>C . a b d c <<<D . c b d a <<< 10．设函数π()3sinxf x m，若存在实数0x ，使函数()f x 的图像关于直线0x x =对称且 22200[()]x f x m +<成立，则m 的取值范围是A .(1,1)-B .(,1)(1,)-∞-+∞C .(2,2)-D .(,2)(2,)-∞-+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）11. 211log 0322161(32)()2log 98---⋅的值为 ▲ ．12.工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120，外圆半径为50cm ，内圆半径为20cm . 则制作这样一面扇面需要的布料为 ▲ 2cm （用数字作答，π取3.14）．13. 函数1ππ()sin()[π,]232f x x =+-在上的单调递增区间为 ▲ ．14. 如图，AB 是圆C 的弦，已知2AB =, 则AB AC ⋅= ▲ ．15. 已知函数[] 0,()(1) 0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩≥,其中[]x 表示不超过x [π]3=，…).则函数()y f x =与函数3log y x =的图象交点个数是 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知全集,{1,3,5,7},{28}U R A B x x ===≤≤，{121}C x a x a =-+≤≤. （1）求 ,UA B B ；（2）若 ()UB C φ≠，求a 的取值范围.17.（本小题满分12分）C B A（1）已知π02α-<<,4sin 5α=-，求πtan sin()2αα+-的值；（2）已知tan(π)3θ+=，求θθθ2cos cos sin 21+的值.18.（本小题满分12分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(/)P mg L 与时间(t 小时)间的关系为0kt P P e -=．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求： （1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln 20.7,ln3 1.1,ln5 1.6===）19.（本小题满分12分）已知(2,0),(0,2),(cos ,sin )(0π)A B C ααα<<.（1）若7OA OC +=（O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若AC BC ⊥，求αtan 的值.20.（本小题满分13分）如图,某大风车的半径为2米,每12秒沿逆时针方向匀速旋转一周,它的最低点O 离地面1米.风车圆周上一点A 从最低点O 开始,运动t 秒后与地面距离为h 米. （1）直接写出函数()h f t =的关系式,并在给出的坐标系中用五点作图法．．．．．作出()h f t =在[0,12)上的图象（要列表,描点）；（2）A 从最低点O 开始,沿逆时针方向旋转第一周内,有多长时间离地面的高度超过4米?21.（本小题满分14分）已知0a >且1a ≠，函数xx f a-=12log )(. （1）求()f x 的定义域D 及其零点；（2）讨论并证明函数()f x 在定义域D 上的单调性；（3）设32)(2+-=mx mx x g ，当1>a 时，若对任意]1,(1--∞∈x ，存在]4,3[2∈x ，使得12()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围.上学期期末质量检测高一数学参考答案及评分说明一、选择题：ABCBD CACBD 10.由0πππ,2x k k Z m =+∈得0,2mx mk k Z =+∈，由2223)21(m k m <++得Z k mk k ∈-<-+,34322，23()4k k k Z +-∈的最小值为3(01)4k -=-或，所以2343m-<-即24m >. 二、填空题：11.54 12. 2198 13. π[π,]3- 14. 2 15. 4 三、解答题：16.（1）{3,5,7}AB = ………………………3分{28}UB x x x =<>或 ………………………6分（2）由题得12218a a -<+>或 得732a a <>或 ……………………10分 又C φ≠则121a a -+≤即2a -≥ 故a 的范围是23a -<≤或72a >…………12分 17.(1)由题意得34cos ,tan 53αα==- ………………………3分 原式=43113515-+=- ……………………6分 （2）由题意得tan 3θ= ……………………………7分∴22221sin cos 2sin cos cos 2sin cos cos θθθθθθθθ+=++ ……………………………………………9分 2tan 1102tan 17θθ+==+ ………………………………………12分 18. (1)由0ktP P e -=可知，当0t =时，0P P =； ………………………………………2分当5t =时，0(110%)P P =-．于是有500(110%)kP P e--=，解得1ln 0.95k =-，那么1(ln 0.9)50t P P e= …………4分所以，当10t =时，1(ln 0.9)10ln 0.81500081%P P eP e P ⨯===∴10个小时后还剩81%的污染物 …………6分（2）当050%P P =时，有1(ln 0.9)50050%t P P e= ………………8分解得15lnln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+- ……11分 ∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时． …………12分注：可用整体代换来解：50.9ke-=，则105255(),()t kk ktk eeee----==19.（1）由(2cos ,sin )OA OC αα+=+得7sin cos cos 4422=+++ααα ………2分即1cos 2α=，又0πα<<解得π3α=． ……………………………3分∴1(0,2),(,22OB OC ==，设θ的夹角为与OC OB则23cos =θ，∴6πθ=，即π6OB OC 与的夹角为 …………6分（2）(cos 2,sin ),(cos ,sin 2)AC BC αααα=-=-，由AC BC ⊥得0sin 2sin cos 2cos 22=-+-αααα ……………7分1cos sin 2αα+=∴32sin cos 4αα=- (8)分 ∴sin cos αα-=(0π)α<< ………10分∴1sin 4α=，1cos 4α=．∴tan α== ………12分注：若有两种结果，扣2分．20．（1）π()32cos 6h f t t ==- ……………………………… 4分列表2分，描点连线2分 …………………………8分 （Ⅱ）由π32cos 46t ->得π1cos 62t <- ………………10分2ππ4π,[0,12]363t t <<∈由得48t << ………………………………12分 所以有4秒钟的时间离地面的高度超过4米. ………………………………13分 注：用几何图形求解亦可. 21. （1）由题意知，20,101x x>->-，解得1<x ， 所以函数)(x f 的定义域D 为)1,(-∞． ………………………………1分 令0)(=x f ，得111=-x，解得1-=x ， 故函数)(x f 的零点为1-； ………………………………3分 （2）设21,x x 是)1,(-∞内的任意两个不相等的实数，且21x x <，则012>-=∆x x x ，12121()()log 1ax y f x f x x -∆=-=- ……………………………4分 11212211,111x x x x x x -<<∴->->->-，即……………………………6分 所以当10<<a 时，0<∆y ，故)(x f 在D 上单调递减，当1>a 时，0>∆y ，故)(x f 在D 上单调递增 ……………………………8分 （III ）若对于任意]1,(1--∞∈x ，存在]4,3[2∈x ，使得12()()f x g x ≤成立， 只需max max ()()f x g x ≤ ……………………………9分 由（Ⅱ）知当1>a 时， )(x f 在]1,(--∞上单调递增，则0)1()(max =-=f x f …10分 当0=m 时，3)(=x g ，12()()f x g x ≤成立 …………………………11分 当0>m 时，)(x g 在]4,3[上单调递增，38)4()(max +==m g x g由830m +≥，解得38m -≥，0>∴m …………………………12分 当0<m 时，)(x g 在]4,3[上单调递减，33)3()(max +==m g x g由330m +≥，解得1m -≥，10m ∴-<≤ …………………………13分 综上，满足条件的m 的范围是1m -≥. …………………………14分。