第九讲 余数问题
六年级余数问题知识点归纳
六年级余数问题知识点归纳在数学学习中，余数问题是一个常见的概念，并且在六年级的数学课程中也被广泛涉及。
本文将对六年级余数问题的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用余数问题。
1. 余数的定义余数是指一个数除以另一个数时，余下的未被整除的部分。
例如，当30除以7时，商为4，余数为2，即30除以7等于4余2。
2. 除法的基本性质在进行余数问题的解答过程中，我们需要了解除法的一些基本性质。
这些性质有助于我们更好地理解和解决余数问题。
- 除法的封闭性：任意两个自然数相除所得的商和余数也是自然数。
- 除法的交换性：两个数进行除法运算时，得到的商和余数与除数和被除数的顺序无关。
- 除法的结合性：多个数进行除法运算时，可以先对其中某两个数进行除法，再将商与第三个数进行除法运算。
- 除法与乘法的关系：两个数相除的商与将被除数乘以除数所得的积相等。
3. 余数的性质余数具有一些特定的性质，了解这些性质有助于我们在解决余数问题时更加灵活地运用。
- 余数的范围：余数永远小于除数。
- 余数的特殊性：当被除数小于除数时，余数等于被除数本身。
- 余数与除数的关系：同一个被除数，不同除数下的余数之间存在一定的关系。
4. 余数问题的解法在解决余数问题时，常用的方法有提取法、列竖式法和分段法等。
- 提取法：当被除数过大时，我们可以先提取出能够整除的部分，再对剩余的部分进行除法运算。
- 列竖式法：将被除数和除数写成竖式，逐位进行除法运算，并求出商和余数。
- 分段法：对于一些复杂的余数问题，我们可以将问题分段处理，分别对每个段进行除法计算，最后求得整体的结果。
5. 常见的余数问题类型在六年级的数学学习中，有一些常见的余数问题类型。
- 判断是否能整除：题目中给出一个被除数和一个除数，要求判断是否能够整除，即余数是否为0。
- 求最大余数：题目中给出一个被除数和一个除数，要求求解出最大的余数。
- 求可能的余数：题目中给出一个被除数和一个除数，要求求解出可能的余数的范围。
余数问题的解题方法
余数问题的解题方法
解题方法：
1. 除法互换律：将被除数和除数互换，得到的结果是余数。
例如：1÷3=0...1，则3÷1=3...0，即余数为零。
2. 同余定理：如果a÷b=c...d（c为商，d为余数），则a-d÷b=c...0，即余数为零。
例如：7÷3=2...1，则7-1÷3=2...0，余数为零。
3. 分解质因数法：将被除数和除数分解质因数，列出所有的可能组合，直到得到能够整除的结果则余数为零。
例如：6÷3=2...0，则2×3=6，余数为零。
4. 模运算：使用模运算，即a mod b=d，其中d为余数。
5. 对于除法不可整除的情况，可以使用乘除法，即a×b=c+d（c大于等于a，d为余数），其中d为余数。
例如：7×3=21，则21-7=14，余数为7。
6. 开平方法：将被除数平方，或者除数平方，直到得到整除的结果则余数为零。
例如：64÷8=8...0，则8×8=64，余数为零。
7. 拆分成多项式：将被除数和除数拆分成多项式，例如
a=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n，b=b_1x_1+b_2x_2+…+b_nx_n，则a÷b=c...d（其中d为余数）。
第九讲余数问题解答[五C]
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第九讲余数问题知识导航被除数=商×除数+余数余数具有可乘、可加、可减性。
余数定理：一个自然数除以某数得到一个余数，另一个自然数除以某数也得到一个余数，这两个自然数的积（或和或差）除以某数得到的余数与两个余数的积（或和或差）除以某数得到的余数相同。
同余性质：1、如果整数a和b除以自然数m的余数相同，则a和b的差必能被m整除。
2、如果整数a、b除以自然数m的余数相同，b、c除以m的余数相同，则a、c除以m的余数也相同。
3、如果整数a和b对于m同余，除数m不变，a、b扩大同样倍数后对于m仍然同余。
精典例题【例1】甲数除以9，商12余7；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数+乙数+丙数）÷9的余数是多少？思路点拨：根据余数定理可得（甲数+乙数+丙数）÷9的余数等于甲、乙、丙三个数除以9所得的余数之和÷9的余数变式训练：甲数除以13余7，乙数除以13余9，现将甲、乙两数相乘，积除以13余数是多少？【例2】17×354×409×672除以23所得的余数是多少？思路点拨：余数具有可乘性。
先算出每个因数除以23所得的余数，再将余数相乘的积除以23。
变式训练：求17× 354 ×409×672除以3所得的余数。
【例3】两个不同的三位数被13除，若得到相同的余数，那么，这两个三位数的和最大是，他们的差最大是。
（2012年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试）思路点拨：和最大时，第一个显然要选最大的三位数999，第二个则是999-13=986，细节解说：相差13，被13除得到的余数自然相同。
变式训练：用一个整数去除454和546所得的余数都是17，这个数是多少？【例4】有一个（大于1）数，除122，148，187得到相同的余数，这个数是多少？（2010年成中育才网班招生考试题）思路点拨：根据同余性质可得任意两个被除数的差都能被除数整除，也就是说除数是这三个差的公因数（比1大），（26,39,65）=13。
余数的除法解决问题教学ppt
余数除法的基本原理
03
余数除法问题的建模
被除数、除数、商和余数。
建立数学模型
定义变量
被除数 = 除数 × 商 + 余数。
建立数学方程
余数总是小于除数。
余数的性质
1
解析余数除法问题
2
3
除法是数学中的一个基本运算，将一个数分成若干等份。余数是指在除法运算后剩余的部分。
理解除法的基本概念
余数总是小于除数，这是因为如果余数等于或大于除数，那么商可以增加1，而余数则变为小于除数的值。
练习二：提升练习
01
题目一
有18个蛋糕，需要分给6个小朋友，每个小朋友能得到多少个蛋糕？
02
题目二
有23个巧克力，需要分给7个小朋友，每个小朋友能得到多少个巧克力？
有25个玩具，需要分给9个小朋友，每个小朋友能得到多少个玩具？
练习三：挑战练习及答案解析
有33个气球，需要分给11个小朋友，每个小朋友能得到多少个气球？
详细描述
策略一：循环相消法
总结词
通过将除数乘以一个整数，得到一个与被除数相关的倍数，再根据倍数关系解决问题。
详细描述
倍数关系法是一种基于乘法运算的解决余数除法问题的方法。在解决实际问题时，我们可以利用这种方法来简化计算过程。例如，如果我们有15个苹果，需要平均分给5个人，那么我们可以将除数5乘以一个整数3，得到15个苹果的倍数15，再根据倍数关系解决问题。具体来说，我们可以将15个苹果分成3组，每组5个苹果，这样就没有余数了。因此，商是3，余数是0。
xx年xx月xx日
《余数的除法解决问题教学ppt》
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引言余数的除法基础知识余数除法问题的建模余数除法问题的解决策略余数除法问题的应用实例余数除法问题的巩固练习与答案解析
第九讲 余数问题
第九讲余数问题【探究必备】老猴子采摘了一些桃子分给小猴子们吃，要让每个小猴子吃到的桃子一样多，而且尽可能多，我们知道分到最后的结果是：要么刚好分完，要么还剩一些。
如果还剩一些桃子，剩下的桃子个数比小猴子的数量少，多的话还可以继续再分，同学们，是不是？这就是我们所说的除法计算中的余数问题，余数一定要比除数小。
利用有余数的除法，可以解决许多生活中的数学问题，如：简单的周期问题（找规律性问题）。
在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间有这样的数量关系：被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数余数=被除数-除数×商【王牌例题】例1、在（）÷7=（）……（）算式中，商和余数相同，你知道商是几吗？分析与解答：从题目看这是一道有余数的除法算式，我们知道在有余数的除法算式里，余数要比除数小，即余数要小于7，余数是1、2、3、4、5、6，因为商和除数相等，所以商是1、2、3、4、5、6。
例2、在（）÷8=12……（）算式中，被除数最大是多少，最小是多少？分析与解答：在有余数的除法算式中，根据“被除数=除数×商+余数”可知，在商和除数一定时，要使被除数最大，那么余数要最大，要使被除数最小，那么余数要最小，由于余数要小于除数，因为除数是8，所以余数要小于8，故余数最大是7，最小是1，所以被除数最大是8×12+7=103，被除数最小是8×12+1=97。
例3、幼儿园王阿姨有76块巧克力糖，打算分给8个小朋友。
她最少拿去多少块多少块巧克力糖或者最少添上多少块巧克力糖，就可以平均分给8个小朋友？分析与解答：把76块巧克力糖分给8个小朋友，分得情况是这样：76÷8=9（块）……4（块），每个小朋友分得9块，还剩4块，只要把剩余的4块拿走，或者把4块拿走后再拿走8的整数倍数个，即4+8×1；4+8×2；4+8×3；4+8×4；……都可以平均分给8个小朋友，所以最少拿走4块就可以平均分给8个小朋友；又因为每个小朋友分得9块后还剩4块，所以再添8-4=4（块），或者再添4+8×1；4+8×2；4+8×3；4+8×4；……都可以平均分给8个小朋友，因此最少还添4块就可以平均分给8个小朋友。
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
六年级余数问题知识点总结
六年级余数问题知识点总结在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的问题和知识点。
其中，六年级的学生们也会接触到余数问题。
余数是指一个数除以另一个数时得到的剩下的数值。
下面，我将总结六年级余数问题的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
1. 余数的定义与表示方法- 余数是除法运算中的概念，表示被除数除以除数后剩下的数值。
- 一般以 R 表示余数，可以用 R = 被除数 - 商 ×除数来计算余数。
- 也可以用 R = 被除数 mod 除数的方式表示，其中 mod 是取余运算符，意为取得两个数相除的余数。
2. 余数的应用场景- 余数可以用来判断一个数是否是另一个数的倍数。
- 余数也可以用来解决循环问题，例如判断一个数是否是循环小数。
- 余数在计算中具有重要的应用，例如在数据校验、密码学和编码中。
3. 余数的基本性质- 如果两个整数 a、b 对 m 取余后的余数相同，那么 a 和 b 被m 整除的余数也相同。
- 余数也遵循乘法和加法的性质，即 (a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m。
- 对于整数 a、b 和正整数 m，有以下关系：(a × b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m。
4. 余数与整除的关系- 当被除数能够整除除数时，余数为0，表示没有剩下的数值。
- 如果被除数不能整除除数，余数大于 0，表示还有剩下的数值。
- 除数比被除数大，那么余数一定等于被除数。
5. 余数的求解方法- 在纸面上进行除法运算，直接得到余数。
- 使用科里奥定理，计算被除数除以除数的商和余数。
- 在计算机编程中，可以使用取余运算符直接计算得到余数。
6. 余数问题的常见应用- 判断一个数是否是另一个数的倍数：若余数为0，则是倍数；若余数不为 0，则不是倍数。
- 寻找符合条件的数：利用余数的性质，可以通过对余数的分析来找到满足要求的数。
小学数学解题策略--余数问题名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
• 8. 甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按 下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙 报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，……，这么， 报1990这个小朋友是_____.
解8. 丁 • 根据小朋友报数顺序列表如下:
Байду номын сангаас甲乙丙丁
1234
5
6
7 8 9 10
11
12
………………………
由上表可知每6个数号为一组旳报数旳规律.由 1990÷6=331…4，根据余数是4可知报1990旳小
• 9. 假如按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫旳顺序，将 19921992……1992只彩灯依次反复排列，那么 1991个1992
何种颜色旳彩灯肯定要比其他颜色旳彩灯少一只.
解：9. 紫
• 10. 从7开始,把7旳倍数依次写下去,一直写到994成 为一种很大旳数:71421……987994.这个数是 _____位数.
（2）余数不大于除数
同余定理（一）
假如a，b除于c旳余数相同，就称a，b对于余 数来说是同余旳，且有a与b旳差能被c整除。 （a,b,c均为自然数）
同余定理（二）
a与b旳和除于c旳余数，等于a，b分别除于c旳 余数之和（或这个和除于c旳余数）
例：23,16除于5旳余数非别是3和1，所以（23 ＋16）除于5旳余数等于3＋1＝4 例：23，19除于5旳余数非别是3和4，所以 （23＋19）除于5旳余数等于（3＋4）除于5 旳余数，即2
余数问题 — 求余数
2. 732 327 184 9 余数是几？
余数问题
3. 2017 2018 2019 的结果除以 3 的余数是几？
4. 81547×118 除以 8、9、11 的余数分别是几？
5. 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 的积的末三位数是 多少？
3. 201720182019 除以 3 的余数是几？除以 9 的余数是几？
附加题： 21! AB0909421717094CD000 ，那么四位数 ABCD 是几？
题型二：复杂算式求余
1. 412 327 184 3 余数是几？ 412 327 184 9 余数是几？
【常见题型】 1. 复杂算式求余 用余数的三个性质求解。 2. 周期求余 用余数的可乘性求解，余数是一个周期。
余数问题
题型一：整除特征求余 1. 1234567 除以 5 的余数是几？除以 8 的余数是几？除以 25 的余数是几？除以
9 的余数是几？
2. 20172017 2017 除以 9 的余数是几？ 2017 个
6. 1 2 3 2018 的计算结果，除以 9 的余数是几？
题型三：周期求余 1. 32017 8 的余数是几？
2. 20172017 9 的余数是几？
余数问题
奇数位数字和减去偶数位数字和的差2偶数位截断求和3三位截断求差
余数问题
余数问题 — 求余数
【整除特征求余】
1.
2、5 求余：只看个位
4、25 求余：只看末两位
8、125 求余：只看末三位
2. 3、9 求余：
（1） 数字和
（2） 弃倍数
3. 11 求余：
五年级数奥--余数问题详细分析讲解
五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。
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第九讲余数问题
【探究必备】
老猴子采摘了一些桃子分给小猴子们吃，要让每个小猴子吃到的桃子一样多，而且尽可能多，我们知道分到最后的结果是：要么刚好分完，要么还剩一些。
如果还剩一些桃子，剩下的桃子个数比小猴子的数量少，多的话还可以继续再分，同学们，是不是？这就是我们所说的除法计算中的余数问题，余数一定要比除数小。
利用有余数的除法，可以解决许多生活中的数学问题，如：简单的周期问题（找规律性问题）。
在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间有这样的数量关系：
被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商
商=（被除数-余数）÷除数余数=被除数-除数×商
【王牌例题】
例1、在（）÷7=（）……（）算式中，商和余数相同，你知道商是几吗？
分析与解答：从题目看这是一道有余数的除法算式，我们知道在有余数的除法算式里，余数要比除数小，即余数要小于7，余数是1、2、3、4、5、6，因为商和除数相等，所以商是1、2、3、4、5、6。
例2、在（）÷8=12……（）算式中，被除数最大是多少，最小是多少？分析与解答：在有余数的除法算式中，根据“被除数=除数×商+余数”可知，在商和除数一定时，要使被除数最大，那么余数要最大，要使被除数最小，那么余数要最小，由于余数要小于除数，因为除数是8，所以余数要小于8，故余数最大是7，最小是1，所以被除数最大是8×12+7=103，被除数最小是8×12+1=97。
例3、幼儿园王阿姨有76块巧克力糖，打算分给8个小朋友。
她最少拿去多少块多少块巧克力糖或者最少添上多少块巧克力糖，就可以平均分给8个小朋友？分析与解答：把76块巧克力糖分给8个小朋友，分得情况是这样：76÷8=9（块）……4（块），每个小朋友分得9块，还剩4块，只要把剩余的4块拿走，或者把4块拿走后再拿走8的整数倍数个，即4+8×1；4+8×2；4+8×3；4+8×4；……都可以平均分给8个小朋友，所以最少拿走4块就可以平均分给8个小朋友；又因为每个小朋友分得9块后还剩4块，所以再添8-4=4（块），或者再
添4+8×1；4+8×2；4+8×3；4+8×4；……都可以平均分给8个小朋友，因此最少还添4块就可以平均分给8个小朋友。
例4、现有编号为1—42的数字卡片，从1开始依次发给小红、小明、小华、小兰，每人每次发一张，循环发放完。
编号为38的发给了谁？
分析与解答：根据题意发放情况如下图：
小红小明小华小兰
第一次 1 2 3 4
第二次 5 6 7 8
第三次9 10 11 12
……
从发放的情况看，每次发4张，把它们看作一组，可知每一组的第1张都发给小红，第2张都发给小明；第3张都发给小华，第4张都发给小兰，发编号38时，一共发了38张。
先把这38张，每4张一组进行分组，可以分38÷4=9（组）……2（张），剩下的2张是37号和38号是第十组的第1张和第2张，所以第38号发给小明。
例5、在一道没有余数的除法算式里，被除数、除数、商的和是80.已知商是8，被除数和除数各是多少？
分析与解答：因为商是8，所以被除数+除数=80-8=72，根据“被除数=商×除数”可知，被除数是除数的8倍，画出线段图：
80-8=72
被除数：
从线段图上可以看出，除数是1倍数，那么被除数是它的8倍，那么被除数和除
数一共是除数的8+1=9倍，则除数是72÷9=8，因此被除数是72-8=64。
【同步练习】
一、填空。
1. 下列每道算式中，余数各有几个，分别是多少。
（1）（）÷8=（）……（）
（2）（）÷9=（）……（）
（3）（）÷10=（）……（）
2. 下列算式中，除数最小是几？
（1）（）÷（）=18 (8)
（2）（）÷（）=5 (5)
（3）（）÷（）=12 (6)
3. 请你写出3道商和余数相同的除法算式。
（1）（）÷（）=（）……（）
（2）（）÷（）=（）……（）
（3）（）÷（）=（）……（）
4. 下列算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
（1）（）÷（）=（） (5)
（2）（）÷（）=（） (8)
（3）（）÷（）=（） (7)
5. 下列算式中，被除数最大是几？最小是几？
（1）（）÷4=15……（）
（2）（）÷8=6……（）
（3）（）÷7=15……（）
6. 按照下列图形的排列规律，在横线上画上适当的图形。
（1）☆▲◎★□☆▲◎★□…………
第20个第44个
（2）○○△▼▼◇○○△▼▼◇…………
第28个第54个
7. 在38÷（）=（）……6中，被除数和商各是多少？
二、解决问题。
1. 幼儿园李老师把一袋糖平均分给几个小朋友，分到最后每人得到5块糖，还余下8块糖（不够一人一块），这袋糖最少有多少块？
2. 小红把自己的画片平均分给另外的几个小朋友玩，分到最后每个小朋友得到9张画片，小红手里还剩下4张画片。
如果小红再添2张画片，每个小朋友就可以多分一张。
问：这些画片分给几个小朋友？
3. 一袋饼干有若干块，分给几个小朋友吃。
若把这袋饼干拿掉5块，每个小朋友刚好分到6块。
如果再添上3块，每个小朋友刚好分到7块。
有几个小朋友？这袋饼干有多少块？
4. （1）2002年6月1日是星期六，6月30日是星期几？
（2）2013年元月1日是星期二，2014年元月1日是星期几？（一年按365天计算）。
5. 甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从1起按下面顺序进行：甲报1，乙报2，丙报3，丁报4，甲报5，乙报6，丙报7，丁报8，……，这样报下去，102这个小朋友是谁？
6. 在一道没有余数的除法算式里，被除数、除数、商的和是79.已知商是7，被除数和除数各是多少？
7. 一道除法算式（没有余数）中，商是8，被除数比除数大56.写出这道除法算式。
【综合检测】
一、填空。
1. 算式（）÷7=（）……（）中余数有（）。
2. 算式（）÷8=14……（）中，被除数最大是，最小是。
3. 算式（）÷5=（）……（）中，商和余数相同，被除数可以是。
4. 算式28÷（）=（）……4中，除数是，商是。
5. 学校门口插了一排彩旗，按照“一红二蓝三黄”的规律排列，第15面是色，第24面是。
6. 有一列数213213213……第20个数字是，前20个数字和是。
7. 如果时针现在表示的时间是16点整，那么分针旋转143圈之后是点钟。
二、解决问题。
1. 张老师打算把78张画片分给9个同学，她最少添上或者最少拿走多少张画片后，就可以平均分给这9个同学？
2. 一袋饼干有若干块，平均分给几个小朋友吃。
若把这些饼干拿掉6块，每个小朋友刚好分到7块，如果再添3块，每个小朋友刚好拿到8块。
有几个小朋友？这袋饼干有多少块？
3. 2012年9月1日是星期六，2012年12月31日是星期几？
4. 现有编号为1—46的数字卡片，按从小到大的顺序依次发给甲、乙、丙、丁四个小朋友，每人一张，循环发放，直到发完为止。
那么编号为33的卡片发给了谁？谁拿到最后一张卡片？甲小朋友一共得到多少张卡片？
5. 元旦某超市开业，在路旁按照2面红旗，2面蓝旗，2面黄旗，然后又是2面红旗，2面蓝旗，2面黄旗……这样插下去。
问：第50面旗是什么颜色？前100面彩旗中有多少面红旗？
6. 操场上8个小朋友围成一圈做传花游戏，当老师喊停的时候，花在谁的手中谁将出局。
如图：
（1）如果从1号开始，顺时针或逆时针传，传几
次又回到1号的手中？
（2）从1号同学开始，顺时针传，传了55次，花
传到谁的手中？
（3）从1号同学开始，如果逆时针传，传了68次，花在谁的手中？
【搏击奥数】
1. 两整数相除得商是9，余8，被除数、除数、商及余数的和等于145，则除数是多少？
2. 某学校一个学期共安排了86节数学课，单周一三五每天两节，双周二四每天两节。
开学第一周是星期一，举行开学典礼没上课，数学课从星期三开始上，第86节课是星期 上的。
15。