高一下学期数学人教A版必修4第一章1.4.3 正切函数的性质与图象 教学设计

《正切函数的性质与图象》教学设计
一、教材内容分析：
1、教学内容
人教版A版，数学必修4，第一章，1.4.3“正切函数的性质与图象”
《普通高中课程标准实验教科书·数学 4 （必修）》第一章第四节第三课时内容
2、教材分析：
本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数．
正切函数的性质和图象是对前面已学函数以及三角函数知识的深化运用。

教材紧扣课题，先探究正切函数的性质，再作图，这与前面对正弦函数、余弦函数的研究恰好相反。

本节课提出先推导函数性质，再作图，又由图形发现新性质，再理性反思的处理方式，这样既能在性质的指导下，可以更加有效地作图，数形结合相得益彰，又能给学生提供更多研究数学问题的视角。

二、学习者特征分析：
学生已经学习了正切的定义、单位圆中的正切线、诱导公式、正弦函数的图象和性质等，具备了学习本节课的知识基础．并且在学习基本初等函数时，已然形成了稳定的函数研究模式，即先画图、再性质．选择恰当的方法和过程来研究正切函数的性质，对学生来说也是一种考验。

三、教学策略选择与设计：
我们知道研究函数常见两种方式，第一种方式是先根据函数解析式作出整体的函数图象．通过观察图象获得对函数性质的直观感性的认识，然后再把直观想象的内容用代数的语言加以抽象概括，进一步加以推理证明。

这种研究过程体现的思维模式是由“直观想象”到“抽象概括”，研究方法是由“整体”到“局部”；第二种方式是先用代数的语言抽象概括出函数的局部性质，再根据性质画出函数的整体图象，这种研究过程体现的思维模式是由“抽象概括”到“直观想象”，研究方法是由“局部”到“整体”；
前面主要研究了正余弦函数的图象和性质，我们的研究方法是先画出函数的图象，观察图象得到函数的性质．这节课研究正切函数过程中要体会另一种思维模式，先研究函数的一些局部的抽象的性质，再通过性质画出函数的整体的直观的图象．
使学生的研究函数的思维模式从“直观到抽象、整体到局部”突破到“抽象到直观、局
部到整体”，研究过程也从“先图象后性质”突破到“先性质后图象”，这也是今后研究一个不熟悉的函数时的常用方法。

四、教学目标：
1、能画出正切函数的图像，掌握正切函数的主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、对称性）；
2、 体会先根据已有知识研究性质，然后再根据性质研究图象的函数研究方法；
3、 在研究正切函数性质时培养数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，再由正切函数性质作出正切函数的图象时培养学习的直观想象能力。

五、教学重、难点
重点：1、正切函数的图像，正切函数的主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、对称性）；
2、研究函数的方法。

3、在研究正切函数性质时培养数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，再由正切函数性质作出正切函数的图象时培养学习的直观想象能力。

难点：1、从“代数抽象到几何直观”、“从局部性质到整体图象”的函数研究方法；
2、在教学过程中，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。

六、教学过程：
环节一——回顾知识，类比引入 思考1：任意角的正切的定义及几何意义. 环节二——合作交流，探究性质 思考2：正切函数有哪些性质? 1、 正切函数的定义：tan y x =，|,2x x k k ππ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭
Z
2、正切函数的性质：
定义域：|,2x x k k π
π⎧
⎫
≠+∈⎨⎬⎩
⎭
Z 值域：R
周期性：周期为π 奇偶性：正切函数为奇函数
单调性：在开区间(,
),2
2
k k k π
π
ππ-
++∈Z 内都是增函数。

环节三——动手操作，作出图象
思考3：如何借助以上正切函数的性质作出正切函数的图象呢？ 3、 正切函数的图象---正切曲线
tan y x =，|,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨
⎬⎩⎭
Z 的图象为：
环节四——数形结合，能力提升
思考4：请大家观察正切函数的图象直观感受一下正切函数，大家有什么新的发现吗？ 答案：对称性：正切函数图象关于点,02k k π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
Z 对称 环节五——例题精讲、知识应用 例1 求函数
()tan(
)23
f x x π
π
=+的定义域、周期和单调性. 环节六——巩固练习 1、已知函数()tan f x x =. （Ⅰ）若(,)36
x ππ
∈-
，则()f x 的取值范围为 ;
（Ⅱ）若2(,),3223
x ππ
ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()f x 的取值范围为 .
2、满足式tan 10x +≥的实数x 的取值范围为
.
3、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小：
（Ⅰ）tan138与tan143；（Ⅱ）
13
tan()
4
π
-与
17
tan()
5
π
-．
本节课我们通过研究正切函数的性质得到了正切函数的图象，希望同学们经过这节课的学习不但能能画出正切函数的图像，掌握正切函数的主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、对称性）；还能体会先根据已有知识研究性质，然后再根据性质研究图象的函数研究方法；切身感受到研究函数的思维模式从“几何直观到代数抽象、整体图象到局部性质”升华到“代数抽象到几何直观、局部性质到整体图象”的高度，这也是今后研究一个不熟悉的函数时的常用方法。

形与数，数与形密不可分，希望大家在平时学习中在注重注意两种方法的结合应用，要在研究函数的图象和性质的过程中着重培养自己的数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的素养。

七、教后反思：
本节课以正切函数的性质与图象为载体，力求让学生们体会研究函数的方法，并且在研究正切函数性质时培养数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，再由正切函数性质作出正切函数的图象时培养学习的直观想象能力，是常规课堂中如何培养学生的数学素养的具体体现。

不足之处是在直观观察图象时应该让学生再从多个角度观察对称性进一步培养学生的直观想象能力。