三角形三条重要线段
三角形的三种重要线段.doc
三角形的三种重要线段中线角平分线高线文字语言在三角形中，连接一个顶点与它对边在三角形中，一个内角的平从三角形的一个顶点向它的对中点的连线分线与它的对边相交，这个边所在直线作垂线，顶点和垂角的顶点与交点之间的线足之间的线段段图形语言作图语言取 BC边的中点 D，连接 AD 作∠ BAC的平分线 AD，交 BC 过点 A 做 AD⊥ BC于点 D于点 D符号语言（ 1）AD是△ ABC的中线；（ 1）AD是△ ABC的角平（1）AD是△ ABC的高；（ 2）AD是△ ABC的 BC边上的中分线；（2）AD是△ ABC中 BC边上线；（ 2）AD平分∠ BAC，交的高；（ 3）；BC于点 D；（3）AD⊥ BC于点 D；（ 4）点 D 是 BC边上的中点（ 3）∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；（4）推理语言因为 AD是△ ABC的中线，所以因为 AD是△ ABC的角平分因为 AD是△ ABC的高，所以；线，所以∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；AD⊥ BC（或）用途举例（ 1）线段相等；角度相等（1）线段垂直；（ 2）面积相等（2）角度相等重要特征一个三角形有三条中线，它们相交于一个三角形有三条角平分一个三角形有三条高，它们所三角形内一点，这点称为三角形的重线，它们相交于三角形内一在直线相交于三角形内一点，心点，这点称为三角形的内心这点称为三角形的垂心共同点每个三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，它们所在的直线都相交于一点，它们都是线段精讲精练1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画 BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D．2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3.给出以下判断：（ 1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有（）A．一个B．两个C．三个D．四个4. 如图，在△ ABC 中， AD⊥ BC于点 D， BE=ED=DC，∠ 1=∠ 2，则：①AD是△ ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ ABE的边上的高；②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线．5. 如图，在△ ABC中，BD是∠ ABC的角平分线，已知∠ ABC=80°，则∠ DBC=°．6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．7．如图，点 D 是△ ABC的边 BC上任意一点，点 E、 F 分别是线段AD、 CE的中点，且△ ABC 的面积为18cm2，则△ BEF 的面积 =cm2．8．如图， D、E 分别是△ ABC边 AB、BC上的点， AD=2BD，BE=CE，设△ ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2，若 S△ABC=6，则 S1﹣ S2的值为．9．如图， A、 B、C 分别是线段A1B， B1C， C1A 的中点，若△ ABC 的面积是1，那么△A1B1C1的面积．10．如图， G是△ ABC的重心， AG⊥ GC， AC=4，则 BG的长为．11．如图，点 G是△ ABC的重心，且△ ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．12．如图，直线a∥b，点 B 在直线上 b 上，且 AB⊥ BC，∠ 1=55°，求∠ 2 的度数．13．如图，在△ ABC 中，已知点D，E， F 分别为 BC，AD， CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少14．已知：点A、 B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．15．如图，已知： AD是△ ABC的角平分线， CE是△ ABC的高，∠ BAC=60°，∠ BCE=40°，求∠ADB的度数．16．已知：∠ MON=40°，OE平分∠ MON，点 A、B、 C分别是射线OM、 OE、 ON上的动点（ A、B、 C 不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D．设∠ OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ ON，则①∠ ABO的度数是；②当∠BAD=∠ ABD时， x= ；当∠ BAD=∠ BDA时， x= ．（2）如图 2，若 AB⊥ OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．17．如图，在△ ABC 中， CF⊥AB于 F，BE⊥ AC于 E， M为 BC的中点．（1）若 EF=4， BC=10，求△ EFM的周长；（2）若∠ ABC=50°，∠ ACB=60°，求∠ FME的度数．18．如图，△ ACB 中，∠ ACB=90°，∠ 1=∠ B．（1）试说明 CD是△ ABC的高；（2）如果 AC=8， BC=6， AB=10，求 CD的长．。
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
三角形中的三种重要线段
03
确定角平分线
中垂线与三角形的一边和 相对的角平分线垂直，因 此可以利用中垂线来确定 三角形的角平分线。
确定高线
中垂线与三角形的一边垂 直，因此可以利用中垂线 来确定三角形的高线。
确定中点
中垂线与三角形的一边平 行，因此可以利用中垂线 来确定三角形的中点。
中垂线的性质
垂直平分线的性质
中垂线是三角形一边的垂直平分线，因此它具有垂直平分线的性质，即中垂线上的点到 三角形的两个端点的距离相等。
三角形中的三种重要线段
contents
目录
• 三角形中的中线 • 三角形中的高线 • 三角形中的角平分线 • 三角形中的中位线 • 三角形中的中垂线
01
三角形中的中线
中线的定义
总结词
三角形中线的定义是连接三角形的一 个顶点与对边中点的线段。
详细描述
在三角形中，中线是连接一个顶点与 对边中点的线段。对于任意一个顶点 ，都可以作出一条中线，且该中线将 对应的底边分为两等分。
中线在三角形中的作用
总结词
中线在三角形中起到稳定结构、简化图形和辅助证明等作用。
详细描述
中线在三角形中具有多重作用。首先，它有助于稳定三角形的结构，因为中线将底边分为两等分，使得三角形的 形状更加稳定。其次，中线可以简化复杂的几何图形，通过将图形划分为更易于处理的部分，有助于问题的解决。 此外，中线还常常作为辅助线用于证明三角形中的一些性质和定理。
中线的性质
要点一
总结词
中线具有平行于第三边、长度为第三边一半等性质。
要点二
详细描述
根据中线的定义和性质，我们可以得出以下几点：首先， 中线平行于三角形的第三边，即中线与对应的底边平行； 其次，中线的长度是第三边长度的一半，即中线的长度等 于$frac{1}{2}$倍的底边长度；最后，中线将对应的底边分 为两等分，即中点是底边的中点。这些性质在几何证明和 解题过程中具有广泛应用。
三角形的重要线段知识整理
三角形的重要线段知识整理三角形的世界其实比你想象的要有趣得多，尤其是那些藏在它内部的“重要线段”。
你可能觉得，哎呀，这些东西就是简单的线条嘛，有啥了不起？别看它们看上去普通，个个都有着非凡的使命哦！我们就一起来“揭秘”一下这些神秘的三角形线段，搞清楚它们到底有啥作用，真的是一学就会，一用就灵。
咱得聊聊最基础也是最重要的——三角形的“高”。
要是你想要量三角形的“身高”，这条线段可就要派上用场了。
三角形的高，从顶点垂直下降到对边，就是它的“身高”。
别看它垂直下来的这么简简单单，实际上一旦找对了这个点，你就能很轻松地算出三角形的面积。
是不是很酷？就像你量身高一样，一测就知道。
高的作用，可不止这个哦！它还是一些几何问题中的关键，很多时候，它就像是你在解谜时的“万能钥匙”。
要是没有它，很多难题可能就不好解决了。
然后说到“中线”，很多人可能一听这名字就有点迷糊，“中线？是指中午的线？”嘿嘿，别逗了！中线是从三角形的一个顶点，直接连到对边的中点。
如果你把三角形的每条边的中点都连起来，你就会发现一个奇妙的现象——这些中线交汇的地方，居然能将三角形分成六个完全相等的区域！这简直就是三角形的“中心思想”，就像你找到了三角形的心脏一样。
说到这，你是不是有点佩服这个三角形了？它的每个部位都有着严密的联系，简直就像一台精密的机器。
再来说说“角平分线”。
一提到角平分线，大家脑袋里肯定就会冒出一个问题：“这不是说把一个角一分为二吗？”对！你没听错，角平分线就是把一个角“分成两半”的那条线。
它不仅仅是分割角度那么简单，更厉害的是，它会把三角形的边分成一种特定的比例。
换句话说，角平分线就像是一个“神奇的分割大师”，它帮助你精确地把边分割成合适的比例，这可不是随便谁都能做到的哦。
你想象一下，角平分线就像是在三角形里找到了最佳的平衡点，它是一个“调和大师”，让整个三角形变得更加和谐。
再看看“重心”这个家伙，它可不是我们平常意义上的“重心”哦。
三角形的中线、高线、角平分线
三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的高线。
2. AD⊥BC于D。
3.∠ADB=∠ADC=90°。
三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。
三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。
1. AD是△ABC的BC边上的中线。
2. BD=DC=12BC。
三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
三角形的重心在三角形的内部。
三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。
2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。
的内心。
三角形的内心在三角形的内部。
【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。
甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。
答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。
这道题是过B 点，垂直于AC 边。
例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。
思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。
答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。
根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。
三角形中的主要线段-(201909)
ABC”.
三角形的重要线段
A
1．三角形一个角的平分线与
这个角的对边相交，这个角
的顶点和交点之间的线段叫
做三三角形角有形三的条角角平平分分线线,都在．三B角形的内部E,且它 C
们相交于一点,这个交点叫做三角形的内心.
2．在中线．
三角形有三条角中线,都在三
角形的内部,且它们相交于一 B
C
点,这个交点叫做三角形的重心.
F
3.从三角形的一个顶点向它的 A
对边画垂线， 顶点与垂足 之
间的线段叫三角形的高．
(1)锐角三角形的三条高,都
在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一
B
H
C
条在三角形的内部,另外两条
在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有
一条在三角形的内部,另外
两条在三角形的外部.
三角形有三条高,且它们(或它们
的延长线)相交于一点,这个交点
叫做三角形的垂心.
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；
尚书令王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁
三角形中的三种重要线段教学资料
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题型典例
2、康乐村张大爷的两个儿子都长大成人了，准备分家。于是张大爷准 备把如图的一块三角形宅基地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成 的两块宅基地仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案。
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题型：三角形的高、中线和线段的应用
题型典例
3、如图，已知AE是△ABD的角平分线，AF是△ACD的角平分线，则下 列结论不正确的是（ C ）。
三角形中的三种重要线段
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知识点：三角形的高、中线和角平分线 2 三角形的中线
连接△ABC其中一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做 △ABC的中线。 △ABC的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。 （1）线段相等 （2）面积相等
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知识点：三角形的高、中线和角平分线 3 三角形的角平分线
把△ABC任意一个内角平分为两个相等的小角的线段叫做 △ABC的角平分线。角形的高、中线和线段的应用
题型典例
1、如图，在△ABC中，CE⊥AB，AD⊥BC，且AB=3,BC=6，则CE和AD有 怎样的数量关系。
思 路：
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题型：三角形的高、中线和线段的应用
三角形的三条重要线段PPT课件
04
典型例题分析与讲解
中线相关例题分析
解题思路
利用中线性质，将AD与AB、 AC的长度联系起来，通过不等 式求解。
解题思路
通过构造平行线，利用中线与 平行线的关系证明三线交于一 点。
例题1
已知三角形ABC中，D为BC中 点，AD为中线，求AD的长度 范围。
知识点
中线定义及性质，三角形不等 式。
知识点
绘制锐角三角形、直 角三角形和钝角三角 形
利用不同颜色或线型 区分三条线段，增强 视觉效果
在每个三角形中标出 角平分线、中线和高 线
测量和比较不同类型三角形中各条线段长度
使用测量工具（如直尺、量角 器等）测量各条线段的长度
比较同一三角形中不同线段长 度，观察规律
比较不同三角形中相同类型线 段的长度，分析差异原因
02
三角形中的三条重要线段
中线定义及性质
01
02
03
定义
连接三角形任意两边中点 的线段叫做三角形的中线。
性质
三角形的中线平分三角形 的面积，即三角形的面积 被中线分为两个相等的部 分。
应用
中线常用于解决与三角形 面积、重心有关的问题。
角平分线定义及性质
Байду номын сангаас定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做角的平分线。
距离和高度差。
03
日常生活
在日常生活中，许多物品的形状和结构都与三角形及其线段有关，如自
行车支架、相机三脚架等。了解这些性质有助于我们更好地理解和利用
这些物品。
THANKS
感谢观看
04
例题2
在三角形ABC中，角A的平分线AD与 BC交于点D，求证：三角形ABD与三 角形ACD的面积之比等于BD/CD。
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第9章多边形
9.1.1认识三角形
【教学目标】
知识与能力
1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.
2.会将三角形按角分类.
3.理解等腰三角形、等边三角形的概念.过程与方法
不等式的解集；通过数轴直观表示不等式的解集。
体会数形结合的思想，并懂得如何在实际问题中运用它。
情感态度与价值观
通过自主探究体会到不等式与方程的类似与不同之处，感受不等式解法的实际应用，进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。
【教学重点】
三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念.
【教学难点】
三角形的外角.
【教学过程】
一、引入新课
在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题.
本章我们将学习三角形的基本性质.
二、新知探究
1．三角形的概念：
(1)什么是三角形呢?
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.如图：AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点.(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC.
(2)三角形的内角，外角的概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC.
每个三角形有几个内角?
三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻.
B
与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?
练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来.
B C
(2)指出△ADC的三个内角、三条边.
学生回答后教师接着问：∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么?
(3)有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗?AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗?
(4)∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD的外角，对吗?
(5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角.
2．三角形按角分类.
让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点?并用量角器或三角板加以验证.
1 2 3
第一个三角形三个内角都是锐角；第二个三角形有一个内角是直角；第三个三角形有一个内角是钝角.
所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形.
三角形按角分类可分为：
锐角三角形(三个内角都是锐角)
直角三角形(有一个内角是直角)
钝角三角形(有一个内角是钝角)
3．等腰三角形、等边三角形的概念：让学生观察以下三个三角形，它们的边各有什么特点?
1
经过观察，测量可知：第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等(AB＝AC)；第三个三角形的三边都相等.
(1)等腰三角形：两条边相等的三角形叫等腰三角形.
相等的两边叫做等腰三角形的腰，如上图(2)AB、AC是这个等腰三角形的腰.
(2)等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)
问：等边三角形是不是等腰三角形?
[等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等边三角形]
三角形按边来分，可分为：
三边都不相等的三角形
只有两边相等的三角形
等边三角形
三、知识梳理
l、三角形的概念，一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角，六个外角，和三角形一个内角相邻的外角有2个，它们是对顶角，若一个顶点只取一个外角，那么只有3个外角.
2．三角形的分类：按角分为三类：①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形.按边分为三类：①三边都不相等的三角形；②等腰三角形.
等边三角形只是等腰三角形中的一种特殊的三角形.
四、随堂练习
1、在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝．
2、如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（）。
3、△ABC中，若∠A＝350,∠B＝650,则∠C＝；若∠A＝1200,∠B＝2∠C，则∠C ＝。
4、三角形三个内角中, 最多有____个直角,最多有____个钝角,最多有____个锐角,至少有____个锐角。
5、三角形按角的不同分类，可分为________三角形，________三角形和________三角形。
6、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是三角形。
7、在△ABC中，∠A－∠B＝36°，∠C＝2∠B，则∠A＝，∠B＝，∠C＝。
8、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形。
9、已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.
10、已知△AB C为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8 cm和3 cm时，它的周长为_____；
②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为_____.。