最新初中数学3. 三角形中几条重要线段
第3课时 三角形中几条重要线段 教案2024-2025学年沪科版八年级数学上册
《13.1.3三角形中几条重要线段》教学设计教学内容分析本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
本节内容是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
学习者分析学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.教学目标 1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线；2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质；3.明确重心的概念；4.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯；5.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识。
教学重点理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.教学难点钝角三角形高线的画法.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形学生活动1：学生观察图片，动脑思考，并积极回答.成的无数条线段中，有没有特殊位置的线段?今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!活动意图说明：通过展示图片，引发学生思考，引出这节课要学的内容，调动学生学习的积极性. 环节二：三角形中的特殊线段教师活动2：角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE 就是△ABC的一条中线．高线：学生活动2：学生听教师讲解，理解三角形中的特殊线段。
八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段教案
第3课时三角形中几条重要线段教学目标【知识与技能】1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线.2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】1.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.2.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识.重点难点【重点】三角形的三条高、中线和角平分线的画法.【难点】钝角三角形三条高的画法.教学过程一、创设情境,导入新知师:我们在上节课把三角形按角进行了分类,我请几个同学回答一下什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形.生甲:在三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.生乙:在三角形中,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.生丙:在三角形中,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:很好!我们上节课学习了一个重要的定理,大家还记得吗?生:记得.三角形三个内角的和等于180°.师:很好!这节课我们继续学习三角形的有关知识.二、共同探究,获取新知师:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此之外,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗?生:角平分线.师:什么是角平分线呢?生:三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.师:还有什么元素?生:中线.师:什么是中线呢?生:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线. 师:还有什么元素呢?生:高.师:什么是高呢?生:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高. 学生熟记定义.师:你能根据这些线的定义作出这些线吗?生:能.师:现在请大家画一个三角形,并作出各个角的平分线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一个角的平分线.∠1=∠2,BD是∠ABC的平分线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条中线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一条中线.BD=DC,AD是BC边上的中线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条高.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画三种类型的三角形的一条高线.锐角三角形BC边上的高直角三角形BC边上的高钝角三角形BC边上的高师:你能用折叠的方法作出一个角的平分线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎样做的?生:先作出一个三角形,把它裁剪下来,我折叠要平分的这个角使它的两边重合,这样得到的折痕与这个角的对边有一个交点,连接这个角的顶点与这个交点得到的线段就是这个三角形的角平分线.师:你太聪明了.大家现在都知道怎么作的吗?生:知道.师:那么请同学们动手做一做.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形的一条中线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎么做的?生:要作出三角形一边上的中线,我折叠这条边,使其两端点重合,折痕与这条边的交点,就是这条边的中点.连接这条边所对角的顶点与这个中点,所得的线段就是这条边上的中线.师:现在请大家动手作出中线.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形一边上的高吗?学生讨论.生:过这边所对角的顶点折叠三角形,使这条边的两段重合,这样就得到了三角形的高.师:很好,请大家动手做一做.学生操作,教师巡视指导.三、作图练习,理解定义师:三角形的角平分线的定义给出了角平分线的作法,请同学们在纸上画出一个三角形,并根据角平分线的定义,画出三个角的平分线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们再画出一个三角形,然后根据中线的定义,作出中线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们完成教材上“操作”的第1题.学生操作,教师巡视指导,最后集体订正.师:直角三角形的高中,有两条和边重合;钝角三角形的高中,有两条在三角形的外部.请同学们观察一下,你们作出的三条角平分线、三条中线和三条高,它们有什么特点?生甲:三条角平分线交于一点.生乙:三条中线交于一点.生丙:三条高交于一点.师:很好!之前学过的说明三角形意义的语句、本节中说明三角形角平分线意义的语句:“不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形”,“三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线”,分别是三角形、三角形角平分线的定义.七年级时我们也学过一些定义,如“整数和分数统称为有理数”是有理数的定义.前两个定义揭示了对象的特征性质,后一个定义明确了所指对象的范围.给出定义,就是在于明确研究对象是什么.四、课堂小结师:本节课我们学习了什么内容?生:我们学习了三角形的角平分线、中线和高的定义以及画法.师:对,我们由作图过程知道了三角形的三条角平分线、三条中线和三条高是交于一点的.教学反思本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形三个角的平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的这些线是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.通过实际动手得到的结论,他们的印象会更深刻,理解更透彻.这节课所讲授的三种线段中的两种,即三角形的角平分线和高线都是建立在以往旧知识的基础上的,学生对这两种线段已经有了一定的认识,学习起来更容易.强调三角形中的三种线是“线段”,而不是以往的“射线”.。
13.1.3-三角形中几条重要线段ppt课件沪科版八年级上册数学
当堂练习
1．下列说法正确的是 A．三角形三条高都在三角形内
（B ）
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在
以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；
③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （ D ）
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE= 1∠BAC. 2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
A
E B
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－ 60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
个内角的平分线吗?
A
D
B
C
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
相同点是： ∠ BAD= ∠ CAD; 不同点是：前者是线段，后者是射线.
A 用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个 B 一个三角形并剪下，将它 的一个角对折，使其两边 重合.
A
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
C C
第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明
13.1 三角形中的边角关系
3.三角形中几条重要线段
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
复习回顾
垂线
线段 中点
定义
当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是直角时，就说这两条直线互 相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例
五、案例亮点
1.生活化的情景导入
本案例从学生熟悉的生活场景出发，将三角形三条重要线段与实际生活紧密结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受数学的魅力。这种生活化的情景导入，有助于激发学生的学习兴趣，使他们更容易理解和接受新知识。
（四）反思与评价
1.在教学过程中，我将引导学生进行自我反思，如：“我在本节课中学到了什么？”“我还有哪些地方需要改进？”等，帮助学生总结学习经验，提高自我认知。
2.采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况。在评价过程中，注重鼓励性原则，充分肯定学生的优点，同时指出不足，并提出改进建议。
a.如何准确地找到三角形的内心、外心和重心？
b.这些线段在三角形中有哪些应用？
c.你能举例说明三角形内心、外心和重心的性质在实际问题中的应用吗？
2.学生在小组内展开讨论，分享自己的发现和心得，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（四）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形内心、外心和重心的定义及性质。
3.定期组织学生进行阶段性的自我评价和同伴评价，培养他们客观、公正地评价他人和自我反思的能力。
4.教师要关注学生在学习过程中的情感态度与价值观，引导他们形成正确的数学观念，激发他们对数学学科的兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的三角形物体，如三角板、自行车三角架等，引导学生观察这些物体中的三角形特点。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，三角形的相关知识一直是教学的重点和难点。七年级数学下册的《三角形的三条重要线段》章节，旨在帮助学生理解并掌握三角形的内心、外心、重心这三条重要线段的概念及其性质。为了提高学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，本教学案例将采用生活实例导入、合作探究、分层练习等多样化的教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高解决问题的能力。
八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段授课
感悟新知
例4 如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是△ABC， 知2－练 △ABD的中线. （1）若△ABD与△ADC的周长之差为 3，AB=8，求 AC 的长. （2）若S△AB间 的关系和面积之间的关系解题.
感悟新知
解：（1）因为AD为BC边上的中线，
B．CE是△BCD的角平分线 C． 3 1 ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
知1－练
感悟新知
知识点 2 三角形的中线
知2－讲
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的 线段叫做该三角形这条边上的中线．
2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形内部，如图，这 个点叫做三角形的重心．
感悟新知
总结
知2－讲
三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD，
且△ ABD 的边BD上的高与△ACD 的边CD上的高相同，
根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个
三角形的面积相等，即S△ ABD=S△ ADC=
1 2
S△ABC.
感悟新知
知2－练
例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．
1 (中考·长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以 下作法正确的是( )
感悟新知
知3－练
2 下列说法中正确的是( ) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
感悟新知
知识点 4 定义
知4－讲
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 今后我们还会学习许多定义.
感悟新知
知3－练
解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 △ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，
数学沪科版八年级(上册)第3课时三角形中几条重要线段
A
E
C
BE=EC
试着画出下列三角形的中线？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角 形的内部.
高线
从三角形的一个顶点向它的 对边所在直线所作的的垂线 叫做三角形的高线，简称三 角形的高。
B
01 23 4 5
01 23 4 5
A DC
1.分别画出下图各个三角形三条边上的高.
交点的位置
锐角三角形
3
相交 相交
三角形内部
直角三角形
1
相交 相交
直角顶点
钝角三角形
1
不相交 相交
三角形外部
2.任意画一个三角形，画出三边上的中线.
三角形，三条中线交于
o
一点，这个交点就是三
角形的重心.
1. 填空：
（1）如果AD是△ABC的高，那么∠BDA= 90° ；
（2）如果BE是△ABC的角平分线，那么∠ABE=
（1）锐角三角形 O
锐角三角形的三条高都在三角形的内部
A （2）直角三角形
D
B
C
直角三角形的三条高交于直角顶点.
（3）钝角三角形
钝角三角形的三条高不 A
F
相交于一点.
钝角三角形的三条高所
DB
C
在直线交于一点，交点
在三角形外.
E
P
高在三角形内 部的数量
高之间是否相 交
高所在的直线 是否相交
三条高所在直 线的
BC边上的高是 AD ;
D
B
C CA边上的高是 BF ;Βιβλιοθήκη E角平分线中线
高
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
沪科版数学八年级上册13.1.3三角形中几条重要线段课件(共26张PPT)
钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°.因为CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，所以∠B＝50°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.
练一练
解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.
例如：（1）整数和分数统称有理数； （2）同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； （3）三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
练一练
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ， △ADC的周长＝ AC + DC + AD ， 所以△ABD的周长-△ADC的周长＝（ AB+BD+ AD ）-（ AC + DC + AD ）＝ AB-AC=2cm.又因为AC＝5cm，所以AB＝7cm.
AB
BC
BD
钝角三角形的三条高
问题： 画出钝角三角形的三条高，钝角三 角形的三条高又有怎样的位置关系吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点，钝角三角形的三条高所在直线交于一点
归纳
三角形
高及高的交点的位置
图示
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3. 三角形中几条重要线段
【知识与技能】
领会三角形中的高、角平分线、中线的知识，会应用它们解决实际问题.
【过程与方法】
经历探究三角形中的高、角平分线、中线的过程，掌握其应用方法，培养空间观念.
【情感与态度】
在互动交流中形成几何推理意识，感悟几何学逻辑推理的价值.
【教学重点】
重点是应用三角形中的高、角平分线、中线的概念.
【教学难点】
难点是画钝角三角形的高线.
一、创设情境，探究新知
1.动手操作.
问题：过三角形ABC三个顶点分别作它们对边的垂线.
【教学说明】在黑板上画出锐角、直角、钝角三角形各一个，要求学生在练习本上画图，并请一些同学上讲台“演示”.
教师提问：三角形中的三条垂线是否能交在一点？
导入高的定义：
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段,叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.
2.动手折叠.
教师要求：请同学们用折纸的方法得到三角形的高.
注意：钝角三角形的三条高的交点在三角形外面，直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点上，锐角三角形三条高的交点在三角形内部.
二、操作感知，形成概念
【合作交流1】
交流内容：折纸，感悟三角形角的平分线.
交流方法：用剪刀剪出一块任意三角形，然后对折一个内角.
引出三角形的角平分线定义：
在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
学生活动：在折纸讨论的基础上，认识角平分线定义，发现三角形三条角平分线交于一点，且交点在三角形内部.
【合作交流2】
交流内容：画三角形的中线.
画图方法：
（1）画一个锐角三角形，一个直角三角形，一个钝角三角形.
（2）寻找出三边的中点.（用刻度尺）
（3）把顶点与它们对边的中点连接.
学生活动：动手画图，发现画出来的三条线段交于一点.
引出中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线.
三角形三条中线的交点是三角形的重心.
教师提问：要取三角形一边的中点，除了用刻度尺来确定，还有别的方法吗？
三、随堂练习，巩固深化
1.不一定在三角形内部的线段是（）
A.三角形的角平分线
B.三角形的中线
C.三角形的高
D.三角形的中位线
2.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）
3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠
DBC=________.
第3题图第4题图
4.如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D.则图中共有____个直角三角形.
5.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线.
（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高EM；
（3）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，求△ADC的面积.
【参考答案】1.C 2.C 3.40° 4.3
5.解：（1）∵∠BED=40°，∠BAD=25°，
∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°，
∵BE为△ABD的角平分线，
∴∠ABD=2∠ABE=2×15°=30°.
（2）BD边上的高EM如图所示.
四、师生互动，课堂小结
1.今天学习了哪些概念？
2.三角形“三线”如何区别？它们的交点是否都在三角形内部？
1.课本第73页练习1、2、3.
2.补充：
如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD 和∠DAE的度数.
3.完成练习册中相应的作业.
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循从感性到理性的渐进认识规律，体现了知识的发生过程，体现了数学学习的必然性.教学先从学生折纸开始，让学生体验三角形中线、角平分线的存在及其性质，而后通过尺规作图，加深学生对中线、角平分线的认识，增加了数学学习的兴趣.在讲三角形高的过程中，学生也想用折纸折出三角形高，结果碰到困难(钝角三角形)，使新、旧知识大碰撞，加速知识同化.在探究三角形稳定性时，课堂出现很多三角形结构，并让同学解释，使学生认识到数学来源于生活同时也服务于生活的真谛，增强学生学习数学的热情，整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，培养学生动手、合作、概括的能力.。