备战中考数学 一元二次方程 培优练习(含答案)附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．

己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x

x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）见解析,

（3）AM 的解析式为112

y x =-

-． 【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式

【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有

，

由解得．

∴函数的解析式为

． 令y=0，解得

∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-

-， 即AM 的解析式为112

y x =--．

2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.

（1）求k 的取值范围；

（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-

，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-

34 ；（2）k=﹣1 【解析】

试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；

（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.

试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，

∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．

∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．

解得k ＜-34

； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．

则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，

∵=== 32

-，

解得：k=-1或k= 13

-（舍去），

∴k=﹣1

3． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;

或( x≥m) ；

4．已知关于x 的一元二次方程()2

204

m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.

【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）135x +=，235x -=

. 【解析】 【分析】

（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；

（2）将4m =代入原方程，求解即可.

【详解】

（1）由题意得：24b ac ∆=- =()2

2404

m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1354x +=

，2354

x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.

5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?

【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m

【解析】

【分析】

根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.

【详解】

解:设绿化区宽为y ，则由题意得

502302x y -=-.

即10y x =-

列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=

解得13x =- (舍)，213x =.

∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m

【点睛】

本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

6．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．

【答案】1

【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可．

试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得

1﹣2a+a 2=0，

解得a 1=a 2=1，

所以a 的值为1.

7．阅读下面的例题，

范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，

解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2

请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．

【答案】x 1=4，x 2=﹣5．

【解析】

【分析】