第十届(2018)全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛试题

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及

一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分)

（1）设(0,1),α∈则()

lim (1)n n n αα→+∞

+-=＿＿＿＿＿＿＿.

（2）若曲线()y y x =由+cos +sin 1

y

x t t

e ty t =⎧⎨

+=⎩确定，则此曲线在0t =对应点处的切线方程为

（3）23/2

ln((1)

x dx x ++⎰=

（4）2

01-cos lim x x →=＿＿＿＿＿＿＿.

f t ()0t ≠(1)0f =二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数f x -y 22()，使得曲线积分

2222

L ⎰y (2-f (x -y ))⎡⎤⎣⎦

dx +xf (x -y )dy 与路径无关，其中L 为任一不与直=±y x 线相交的分段光滑闭曲线.

f x ()0,11)3(f x ≤≤三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续，且 .证明：

11

14

1)

3f (x )dx dx (f x ⎰≤≤⎰

.

四 (本题满分12分)计算三重积分

22

⎰⎰⎰

x +y ()dV （V ）

（V ），其中是由222x +y +(z -2)≥4，222x +y +(z -1)≤9，0z ≥所围成的空心立体.

五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域D M ≤，11(,)A x y ，22(,)B x y 是D 内两点，线段AB 包含在D 内。证明：1122|(,)(,)|||f x y f x y M AB -≤，其

AB ||AB 中表示线段的长度.

)0(f x >六(本题满分14分) 证明：对于连续函数，有1

1

ln

f (x )dx ≥⎰

⎰ln f (x )dx .

七 (本题满分14分) 已知{}k a ，{}k b 是正项数列，且10,k k b b δ+-≥>，δ为

一常数.证明：若级数

1

k k a +∞=∑

收敛，则级数1

1k k k

+∞

=+.

1,2,k