三角函数化简题

课题：§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期

式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．

用．

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

．三角函数的求值： 1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；

2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；

3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．

1．三角函数式的化简：

三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明：

三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．

1、已知θ是第三象限角，且4

4

5

9

sin cos θθ+=

，那么2sin θ等于 （ A ）

A 、

3 B 、3- C 、23 D 、2

3

-

2、函数2

22

y sin x x =--+

的最小正周期 （ B ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π

3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ D ）

A 、1

B 、2

C 、－1

D 、－2

4、已知46sin (4)4m m m αα-=

≠-，则实数m 的取值范围是＿＿[－1，7

3

]＿＿＿。

5、设1

0,sin cos 2

απαα<<+=，则cos2α＝＿＿

例

1．已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2

π

θπ<<），则tan θ= （ C ）

()

A 423m m -- ()

B 342m m -±- ()

C 512- ()

D 34-或5

12

- 略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =（舍）

，∴5

sin 13θ=，∴5

tan 12

θ=-．

例2．已知1

cos(75)3

α+=，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值．

解：∵α是第三象限角，∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+（k Z ∈），

∵

1

cos(75)3

α+=

，∴

75

α+是第四象限角，∴

sin(75)α+==，

∴原式221

cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3

αααα+=---=+-+=-

． 例3．已知2

sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．

解：由题意，2

2sin 1sin cos θθθ=-=，

∴原式2

23sin sin

2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．

例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-， ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=，

得13cos()cos 3sin()sin αβααβα

+=+，若

cos()cos 0αβα+≠，则

13tan()tan 3

αβα+⋅=

， 若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义．

说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()βαβαβαα=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()αβαβα+=++等，解题过程中应充分利用这种变形．

例5．已知关于x

的方程2

21)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈，

求：（1）

sin cos 1cot 1tan θθ

θθ

+

--的值；（2）m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值． 解：（1

）由根与系数的关系，得sin cos sin cos 2

m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，

∴原式2222sin cos sin cos 1

sin cos sin cos cos sin sin cos 2

θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---．

（2

）由①平方得：212sin cos 2θθ+⋅=

，sin cos 4θθ⋅=

，即24

m =

，故m =

．

（3

）当2

21)0x x -+

=

，解得1212

x x ==，

∴sin 1

cos 2

θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

或1

sin 2cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

②