北大版高等数学第5章习题解答

习题5.1

1.,,,,,().11

,,().22

ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-

=-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b

()

2.,1

().

().2

M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA

OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明

证 3.,,1

().

221

()

332

(),

1(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+?+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1

().

3,().

CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1

,().

(),

(),(),

221

().

4ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1

,().

OM OA OB OC OD =+++

2222225.?(1)()();(2)();(3)()().

(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==?=?======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,1122

().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+=

+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证

2227.:

(1),;(2).(1)()()()()||||0.

()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD

AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,

||()cos cos .

|||||||||||

a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD

AB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故

(2)||()()||||2||||.

AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+

2222222222222222228.()()||||.

()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα?+=?+=+=+=?=?证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11

的面积=

的面积22

证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b

2222222

2210.,,,()()2().

()()()()()()222().

=++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b

2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα?≤?=?==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .

习题5.2

1.(,,),,,,.||,||,

2.(1,2,1),(3,0,1),(2,1,2),,,,(3,0,1)(1,2,1)(4,2x

y z xy yz O x y z x y z Oxy Oyz d d d d z d x d x A B C AB BA AC BC AB =

======-

===--=-写出点分别到轴轴轴平面平面以及原点的距离已知三点求的坐标与模.解解,0),||20|(4,2,0)(4,2,0)25,(2,1,2)(1,2,1)(3,1,1),||11,

(2,1,

2)(3,0,1)(1,1,1),|| 3.

3.(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),

32(9,6,6)2

AB BA AB AC AC BC BC ===-=--=-=-=--=-==--=-==-==---+a b c a b +c =1112(2,6,4)(4,3,1)(11,9,1).

4.(2,5,1),(1,2,7),,.

2,7).

(2,5,)(1,2,7)(21,5,2,7),70,7.5.,(,,)(k k xy k k k k k k k k k A B x y z x ??---+-=-==-+=-+=+-=+-++==-设分别求出沿和方向的单位向量并求常数使与平面平行1设两点的坐标分别为和解a b a b ,a b a b a b 22111222121212,,),,.111

()((,,)(,,))(,,).

222

6.(1,2,3),(5,2,1),(1)23(2)(3)cos ,.(1)2366(2)

12.(2)1(3)cos y z

A B C OC OA OB x y z x y

z x x y y

z z =+=+=+++=-=-<>?

-=-求连线中点的坐标设求解解a b a b a i a b a b =a b =a i = .

2222,|||7.||1,||3,||2,|/3,?17|()()||||||2()1

1942(3),

3333,cos ||||322π<>======+⊥+=+=++=++++==+++?+==?设求解a b a b |a b a b c a b +c |=a c ==a b +c |a b +c a b +c a b c a b +b c a c b c b c b c ==b c .

22228.||2,||6,,()()||||4360,1/3.k k k k k k k k ==⊥--=-=-==±设试求常数使解a b a +b a b.a +b a b a b 9.(1,2,1),(1,1,3),(2,5,3)

(1)(2)(3)()(4)()(5)().

(1)121(5,2,1),

113(2)253(3,0,2).

(3)()11323.(4)()5212532=-=-=-????????-=---?-=-?-=-??---解a b c a b c j a b c a b c a b c i

a b =i j k

c j =i

a b c =a b c =(1,13,21).

53(5)11

3(12,9,7),()121(23,19,15).2

=---?-=-??=-=-----i j

k i j k

b c =a b c

10.,(2,1,0)(0,1,2),,.

(2,1,0)(0,1,2)(2,0,2),(0,1,2)(2,1,0)(2,2,2).cos ,|ABCD AB AD AC BD AC AB AD BD AD AB AC BD AC BD AC ==-<>=+=+-

==-=--=--<>=

在平行四边形中求两对角线的夹角解00,,.

2|||||||

|||5,,,.

AC BD BD AC BD AB AD ABCD AC BD π

==<>===<>=

平行四边形为菱形故两对角线的夹角解二|11.(3,4,1),(2,3,0),(3,5,1),.

(1,1,1)(1,1,1),(0,1,0),111(1,0,1),0101

A B C ABC AB AC AB AC ABC =---=-=?==-=已知三点求三角形的面积三角形的面积解i j k

12.(3,4,5),(1,2,2)(9,14,16).345

(,,)1220,,91416

13.|1,||5,3,|.

344

cos ,,sin ,,|||||sin ,15 4.

||||555

======-?-<>==<>=?=<>=??=证明向量和是共面的因为故和是共面的.

已知|求||证解a b c a b c a b c a =b a b =a b a b a b a b a b a b a b a b

14.cos ,cos ,cos ,,(1)cos 0,cos 0,cos 0;(2)cos cos 0,cos 0;(3)cos cos cos .(1)(2)1

15.||,2

x z αβγαβγαβγαβγπαβγ=≠≠==≠==-===设向量的方向余弦在下列各情况下指出的方向特征与轴垂直是沿轴的的向量.

(3)与三个轴的夹角相等,都是设的三个方向角满足求的坐标解a a .a .a a a a

a 22222222cos 21,(2cos 1) 1.

cos ,2(21)1,4211,2(21)0,0,.

2cos 0,,(0,0,2

13cos ,cos ,.(1,1,0).

24416.,(75)(3),(4)(72),co x x x x x x x x x αααααπααππ

ααα+=+-==+-=-+=-=====

====-⊥+-⊥-设为两非零向量且求22解2cos 2cos .

a a =a

b ,a b a b a b a b 222222

222s ,.

(75)(3)0,7||15||16||||cos ,0,(4)(72)0,7||8||30||||cos ,0.||||1516cos ,7,||||||||830cos ,7.

||716730||1516||83<>-+=-+<--=+-=a b a b a b a b a b >=b b a b >=a a b b a b >=a a b a ||1,1||

157

871

cos ,.

15162830

==---<=

=--b a a b >

习题5.3

1.:

(1)5310(2)270(3)50(4)290(5)50(6)0.(1).(2).(3).(4).(5).(6).2.:

(1)(1,5,1)(3,2,2);(2)(5,2,8);

(3)x z x y z y y z x y x y Oxz x z Oyz y Oxz -+=+-=+=-=--==---指出下列平面位置的特点平行于轴过原点平行于平面过轴平行于轴平面求下列各平面的方程平行于轴且通过点和平行于平面且通过点垂直于平解451(2,7,3)(0,0,0);(4)(5,4,3)(2,1,8).(1)(0,1,0),(2,7,3),010(3,0,2).

273

3(1)2(1)0,3250.(2) 2.

(3)(1,4,5),(2,7,3),145(47,13,1).

27347x y z Oyz x z x z y -+=---==-==-------=+-===-=-=-=----面且通过点及垂直于平面且通过点及解i j

a b n i j k

a b n 1310.

(4)(1,0,0),(7,5,5),100(0,5,5)5(0,1,1).

755(4)(3)0,70.

x y y z y z ++===-==-=---++-=-+=i

j k

a b n

3.(2,4,8),(3,1,5)(6,2,7).(5,3,3)(4,6,1).

533(15,17,42),

15(2)17(4)42(8)0,1517422380.

4.1,A B C x y z x y z y z a a --=---=-----=--------+-=+-+=++=求通过点及的平面方程设一平面在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5,-7,4),求此平面的方程.

x 5 a 解解a ,b i j

n =741,2,20.

5.(2,1,2)(8,7,5),.(6,8,7).6(8)8(7)7(5)0,6871390.

a x y z a a

A B B AB x y z x y z -++==++-=--=-+-+-=++-=a 已知两点及求过且与线段垂直的平面解n

126.(2,0,3)22470,3250.

224(0,16,8)8(0,2,1).2(3)0,30.

3127.94230.0,420,1,2,20.

2408.:380x y z x y z y z y z x x y z By Cz B C B C y z x z l l y z --++=+-+=-==++=++=---+=+=--===--=+-=??-+=?求过点且与垂直的平面方程求通过轴且与平面垂直的平面方程取求通过直线且与直线解解i

n =0101240

6010

2(6,1,3),11

0(1,1,1),031

613(2,9,7).0,4,8/3.1

2(4)9(8/3)7()0,297320.

383129.::1324x y y z z l y x y z x y z x t x y z l l y t z --=??--=?

==--=--=-=--===---++-=-+-+==+++-===+0平行的平面方程用代入的方程得x 求直线与直线解i

j k

i j k

a b =i j k n 000,

383112621116

,11,,3243223

13141314

8,,,(8,,3333

324(0,6,3)3(0,2,1).2(1)(2)0,240.

312

t t t t t t t t x y z y z y z ??

??=+?

+++++-==+=+=+=-=-=-=----==-=-+--=-+=的交点坐标并求通过此两直线的平面方程.

求两条直线交点坐标:交点).

解i j k

121112210.:

:.211422

(1,1,1)(2,2,0).211(4,5,3).3314(1)5(1)3(1)0,45320.

x y z x y z

l l x y z x y z -+++-====-------=------+++=--++=求通过两直线和的平面方程两直线平行.平面过点和解 i j k

n =

12211212

11.:

:.121012

,(1,2,1)(0,1,2)21123,5,0,.121210(1)3x y z x y z l l t t l t t x y z -++--====----?--+-+?

====?-??

+-+=证明两直线和是异面直线证首先两直线的方向向量和不平行.

x=-2

y=1+t 矛盾故两直线无公共点.

z=2-2t

两直线不平行,又无交点,故是异面直线.

12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程:0000350(2)280;280.

(1)211(1,7,5).

(1)0,6,7.

280;67

7567,.

75(2)(1)103(3,2,1).

012

(2)0,x z x y z y z y z x y z y z y z x t y t t z t -+=????

-+-=-+=??=-=----+=?===?-+-=?--==--=??

=--∞<<+∞??=-?=-=-=解中令解之得x 标准方程1参数方程:中令z 直i j k

n i j k

n 005,8.58.3215382,.

y x y z

x t y t t z t =-=-++===-+??

=-+-∞<<+∞??=?接得x 标准方程

参数方程:

00013.(3,2,5)3790.

100(0,5,2),

325520.

520

3790.

052(33,6,15)3(11,2,5).

317500,0, 3.

390.

3:11x y z y z y z x y z y z y x x y x ---+===-+=+=??

--+=?==--=----=?===-?-+=?+=-求通过点及x 轴的平面与平面的交线方程解地第一个平面的法向量平面方程直线方程直线的方向向量直线方程i j k

n i j k

a .

y z

0000

1213260

14.,403260

(0,0,),

260 3.

024040

15.::.

380601020x y z D Oz x y z D x y z Oz z x y z D z D z z D x z x y l l y z z y l -+-=??+-+=?

-+-=???+-+=?-=???==?-+=?--=--=????-+=-+=??

=-当为何值时直线与轴相交?

解直线与轴相交存在在此直线上试求通过直线并与直线平行的平面方程解的方向向量i

j k

a 2000(6,1,3).31

110(1,1,1)(1,1,1).

011613(2,3,5).

111

04,.

:2(4)3()50,2350.

l z x y x y z x y z =-=-=---=--==--===----++=+-=的方向向量平面的法向量在的方程中令得所求平面方程即i j k

b i

j k

043

16.(1,2,3).

132

(1,2,3):(1)3(2)2(3)0.43.

32:

(1)3(432)2(323)0,,

(,,2).

222

x y z x y z x t y t z t t t t t d --==-------==??

=-??=-?

-------====求点到直线的距离解过点垂直于直线的平面直线参数方程:代入平面方程得对应交点的参数直线与平面交点为所求距离

000017.(2,1,3)2230.

(2,1,3)2230:2212,.32

2(22)2(12)(3)30..

141325,,.

999

141325(2,1,3)2230,,999x y z x y z x t

y t t z t t t t t x y z x y z -+-=-+-==+??

=--∞<<+∞??=+?

+--++-==-===?-+-=求点到平面的距离与投影解过点垂直于平面的直线方程的参数方程代入平面方程点在平面

上的投影为.

(2,1,3)22302.3

x y z ? ???

-+-==点在平面的距离为

01111

18..123123

(1,1,0)123

(1)2(1)30.

12,131

(1)2(2)3(13)0,7

x y z x y z x y z x y z x y z x t y t z t t t t t -++-====--+--==-+--==---++==??

=--??=+?

---++==-求两平行直线

与的距离解所求的就是点到直线的距离.

作法与16题雷同.过点垂直于直线的平面:

直线的参数方程

代入平面方程

111.

154

(,,).

7771119.(2,1,3):321

3(2)2(1)(3)0.1312:

3(33)2(2d x y z

A l A l x y z x t l y t

z t t t t --==+-==--+---==-+??

=+??=-?

-++直线与平面交点所求距离求过点并与直线垂直且相交的直线方程.

解过点垂直于直线的平面方程直线的参数方程代入平面方程求交点对应的参数他03

)(3)0,.

2133

(,,).

777

,2133126246

(2,1,3)(,,)(2,1,4).

7777777

213

214

t t B A B AB x y z ---==-=----=--=-----==-交点连结点的直线的方向向量

所求直线方程

020.36270362140.

(0,0,)2

367/227/22)140,

391837,(,,).

77714 3.

x y z x y z A x t A y t

z t t t +--=+-+=-=??

=??=--?--+==----==求两平行平面与之间的距离解点在第一张平面上.

过垂直于第二张平面的直线的参数方程:求直线与第二张平面的交点:3(3t)+6(6t)-2(所求距离习题5.4

22222222222222222

1.23446161602344616160,

344616172(1)23(1)34(2)16162(1)3(1)4(2)50.(1)(1)(2)1,

x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++--++=++--++=++--++=--+--++-+=-+-++-=--+

求椭球面的中心的坐标及三个半轴之长度.

解:(1,1,2),-中心坐标半轴222

222222222

2.,:

(1)811241;.(2)491425;.

(3)29169;(4)2;(5)2;(6).x y z x y z x y z x y x y z x z xy ++=--=-

=--=+==说出下列曲面的名称并画出略图椭球面单叶双曲面双叶双曲面.

双曲柱面.椭圆抛物面.

双曲抛物面.

222222222

2222

22223.:(1)(1)(1)(3);(2)1;(3)1;944916(4);(5).

x y z R y z x y z x x y z y z z a b a b

-+++-=++=+-==-=+求下列曲面的参数方程

1sin cos (1)1sin sin 0,02;3cos x R y R z R ?θ?θ?πθπ?=+??=-+≤≤≤

解sin cos (2)3sin sin 0,02;2cos x y z ?θ?θ?πθπ?

=??

=≤≤≤

习题5.5

023********(1),,,(1,1,1);(2),(2,2,4);

(3)(0)(,0,).

111

11,2,3,(1,2,3),,123

:(1)2(1)3(1)0P x t y t z t P z x y x P x y R R z x y P R R x y z x y t z t x y z =======+=>=+=---'''======-+-+-=1.求下列曲线在指定点的切线方程和法平面方程：曲面与的交线柱面与平面的交线（）切线方程:

法平面方程解t 211,2360.

224

(2),,,1,1,2,(1,1,4).,

114

:(2)(2)4(4)0,4200.(3)(2,2,0)(2,0,0),(1,1,1),200(0,2,2)2(0,1,1),

11101x y z x y z x x y x z x x y z x x y z x y z x y R R R R R x R y z ++-=---'''=========-+-+-=++-====-===---==切线方程:法平面方程切线方程:

t i

j k

n n a ,:0.1

y z R +-=法平面方程

2cos (5)sin 0,02x ar y br r z r θθθπ?=?

=≤<+∞≤≤??=

2cos 4sin 0,02cos x r y r r z r θθθπ

θ?=?=≤<+∞≤≤??=?

（）

cos 2.sin (0,0,02)(,,)(sin ,cos ,),(cos ,cos ,cos )sin ,cos ,),

cos .0x R t y R t R b t z bt z x y z R t R t b R t R t b παβγπ=??

=>>≤≤??=?'''=-==-=

=<求出螺旋线在任意一

点处的切线的

方向余弦，并证明切线与轴之夹角为常数.常数常数.

解t <,=

12312311223311223.()(),.()()()()()().()((),(),()),()((),(),()),()()()()()()()(),

()()[()()()t t t d

t t t t t t dt

t a t a t a t t b t b t b t t t a t b t a t b t a t b t d d

t t a t b t a t b dt dt

αβ==<<''=+===++=+设与是两个可导的向量函数证明设证a a b b a b a b a b a b a b a b 331

111222233331

12233112233()()()]()()()()()()()()()()()()[()()()()()()][()()()()()()]()()()().

t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t t t t t +''''''=+++++''''''=+++++''=+a b a b

224.()(),|()|().(),()()0.

()(),()(),()()()()0,2()()0,

()()0.

t t t C t t t d d t t C t t C t t t t t t dt dt

t t αβ=<<='='''==+=='=设是一条光滑曲线切常数证明与切线垂直即证r r r r r r r r r r r r r r r r r r

第五章总练习题

2222222222,,:(1)||||;(2)|||||;(3)(1)||||||||||||2||||20,(2)|||||||(|||)||||2|=-=--=-?=-?++=++??=-?=-?++?1.设为两个非零向量指出下列等式成立的充分必要条件与共线正交.

a b a +b a b a +b a |b a +b a b .

a +

b a b a +b a b a b a b a b a b a b =a b a +b a |b a +b a |b a b a b a 解22|||2||||||||||||cos ||||cos 1,(3)()()000,+-?=?<>=-?<>=-?-??-=??-?=???共线且方向相反与共线共线.

b a b a b a b a b a,b a b a,b a b .

a +

b a b a +b a b b a a b a b =a b

2222222.,:(1)()();(2)();(3)()()(1)()().(2).:()0 1.

(3).()(),=?=?=≠=≠=??0设为非零向量判断下列等式是否成立不成立.例如:不成立例如成立和都是的有向体积且定向相同a,b,c a b c a b c a b =a b a b c a b c.i i j j i i j i j =i j a b c a b c a,b,c .

解

3.5342.5)(3)0,(4)(72)0.

715160 (1)78300 (2)(1)15(2)8

161()0,0.

4.,:.,ABC A -+----+=--=?-+=??-=???+?-=-=∠设为非零向量,且7与正交,与与7正交,求7利用向量运算证明下列几何命题射影定理考虑直角三角形其中2222222222a,b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a +b a b a b a b 解(2

,,,,.,,

0()(),AD AD BD CD AB BD BC AC CD CB AB AD DB AC AD DC AB AC AD DB AD DC AD AD DC DB AD DB DC AD DB DC A ====+=+==++=+++=+为直角是斜边上的高则证2

(,).()).().

D DB DC BD DC BD DC BD DC AB AD BD BD CD BD BD CD BD BD BC AC AD CD BD CD CD CD BD CD CD BC =-==?=+=+=+==+=+=+=同向

5.,,(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)..

(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1).(0,1,1),(0,1,0),(0,2,1),(1,0,0)(0,2,1)(1,2,1).A B C ACDBD D A B C AC AB AD AB AC OD OA AD D ======+==+=+=已知三点的坐标分别为若是一平行四边形，求点的坐标点的解(1,2,1).

坐标

22222222222222212126.,()().()|||sin ,|||(1cos ,)||||||||cos ,().11212

7.:,:,,121012

.12

x y z x y z L L L L ?-?=<>=-<>=-<>=--++--====--=-=-设为非零向量,证明设有两直线求平行于且与它们等距的平面方程2222a b a b =a b a b a b a |b a b a |b a b a b a b a b a b a b i j

n 证解(5,2,1),(1/2,1/2,1/2),

5(1/2)2(1/2)(1/2)0,5210.

A x y z x y z ---=-+----=+++=所求平面过点所求平面:-001101018.,||

.||

||||||.

L P L P P P L d d P P AB d P P ?==?=?设直线通过点且其方向向量为证明外一点到的距离可表为平行四边形的面积v v v v v 证

2121212121212121212121212121212129.,,.()0.

,,()0.

10.,,,.min ||Q L Q L

L L PP L L PP L L PP PP L L P P L L d Q Q ∈∈?=???==设两直线分别通过点且它们的方向向量为证明与共面的充分必要条件为与共面共面设两直线分别通过点且它们的方向向量为与之间的距离定义为证明:,v v v v v v v v ,v v 证121121121212121212121

1121212112(1),||

|()|(2).||

(1),8,.||

()(2)

(||

PP L L d PP L L d L L L L PP d PP PP ?=

??=?=?当与平行时它们之间的距离可表示为当与为异面直线时,它们之间的距离可表示为当与平行时,它们之间的距离为上任意一点到的距离由第题v v v v v v v v v v v v v 证21212121212121212)|()|()||

PP L L PP PP L L ??

???=?是在与的公垂线方向的单位向量上的投影,故其长度||是异面直线与之间的距离.v v v v v v v

111222212111112222212111112220

11.0

:(1),()()0;

(2),,()(A x B y C z D L A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D L L A x B y C z D A x B λλλλπλλπλλ+++=??+++=?+++++++=+++++设直线L的方程为:证明对于任意两个不全为零的常数,方程

表示一个通过直线的平面任意给定一个通过直线的平面必存在两个不全为零的实数,使平面的方程为22111222121111122222111122211112222)0.

(1)(,,)(,,),,,

()()0(,,)(,,)(0,0,0),0

(,,)0

y C z D A B C A B C A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C L A x B y C z D x y z A x B y C z D λλλλλλ++=+++++++=≠+++=??+++=2向量与不共线故对于两个不全为零的常数的主系数

+是一个平面的方程,并且上点的坐标满足证1111122222000000111222111222,()()0.(2),()()()0.

(,,).(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,),A x B y C z D A x B y C z D L A x x B y y C z z Ax By Cz D x y z L A B C A B C A B C L A B C A B C λλπ?+++++++=-+-+-=+++=故满足

设平面通过直线其方程为

在上三个向量与均垂直于的方向向量故共面又与都是非零向量故存在两个不全为零的121111222200012201220112201101010220202011221111122222,,(,,)(,,)(,,).

()()()()().()()0.

A B C A B C A B C D Ax By Cz A A x B B y C C z A x B y C z A x B y C z D D A x B y C z D A x B y C z D λλλλλλλλλλλλλλπλλ==---=---+=-++-++=++++++++=11常数使得

+++故表示为1212121212212121212121240

12.::113380(24)(38)0,3(2)480.,(,3,2)(1,1,1)0,320,20.

2,x z L L x y z y z x z y z x y z L λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--=?-=+=-?-+=?

--+-+=++---+=--=+--=-+==试求通过直线且与直线平行的平面方程.

根据题的结论所求平面方程有形式

由于平面与平行令解11,21,250.

x y z =+-=得所求平面方程3 22

13.:1,:2260.

(1);

(2),.(1)(2,,).420.

2()()()0

y z S x x y z S S y y

S x z x z y

x X x Y y z Z z ππππ++=+++=++=-+-+-=已知曲面S的方程为平面的方程为求曲面的平行于的切平面方程在曲面上求到平面距离为最短及最长的点并求最短及最长的距离的法向量解

北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案

北大计算机考研高等数学真题解答 2008年（5题60分） 1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求) (1 )()(1lim a f a f a x f a x '---→。 2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。 3 （12分）求不定积分? --dx x x x 2 ) ln (ln 1。 4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf x x ? -→0 4 220) (lim 。 5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1 (n f 发散，无穷级数)1 ()1(n f n -收敛。 2007年（5题60分） 1 （12分）求不定积分?+dx x e x 22)1(tan 。解：=+?dx x e x 22)1(tan +?xdx e x 22sec =?xdx e x tan 22 +?x d e x tan 2-x e x tan 2=? x d e x tan 2C x e x +tan 2。 2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(1 0=+=?f x x x f dt tx f 。解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =； ? =1 )(dt tx f ?=x du u f x 0 )(1? +x x x f sin )(? =x du u f 0 )(?+x x x xf sin )(2 ?++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2?--='x x x x f cos sin 2)(

北大版高等数学第4章习题集解答

习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.360docs.net/doc/6e6786134.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证

北京大学数学分析考研试题及解答

判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。解根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤，得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞；从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛，再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的，由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ，可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根，求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。证明（1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>；当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在，又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。（2）任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。例、设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。解显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散；由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，得 2 21ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小），

北大版高数答案

习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.2

北大版高等数学课后习题答案完整版

习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.2

北大版高等数学第5章习题解答

习题5.1 1.,,,,,().11 ,,().22 ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=- =-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b () 2.,1 (). 2 11 22 1 ().2 M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证 3.,,1 (). 3 221 () 332 1 (), 3 1(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+?+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1 (). 3 1 3,(). 3 CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1 ,(). 4 1 (), 2 11 (),(), 221 (). 2 4ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1 ,(). 4 OM OA OB OC OD =+++

2222225.?(1)()();(2)();(3)()(). (1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==?=?======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,1122 11 ().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+= +=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证 2227.: (1),;(2).(1)()()()()||||0. ()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2, ||()cos cos . ||||||||||| ,. a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD AB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故 22 2 2 2 (2)||()()||||2||||. AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+ 2222222222222222228.()()||||. ()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα?+=?+=+=+=?=?证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11 的面积= 的面积22 证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2222222 2 2210.,,,()()2(). ()()()()()()222(). =++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b

北大版高等数学第一章函数及极限答案第一章总练习题

第一章总练习题 221.:581 2. 3|58|1422.|58|6,586586,. 3552 (2)33,5 2 333,015. 5 (3)|1||2| 1 (1)(2),2144,. 2 2|2|,. 2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2. 解22231231 2,4,(2). 3 2,41 (2), 4.3 1 3.1. 2 2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222 121 1,.22 123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111 12 1 2 112 22 11231222222 2124(1)(1)3222,2222 1..1(1)(2)123(1). (1)1(11)1(1)1,(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1 21 2 .1(1)123(1)(1)(1) n n n n n n n x nx x x nx n x n x x +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则

1.1高数(北大版)

习题 1.1
证明 3为无理数. 1. 证若 3不是无理数,则 3 = p p2 , p, q为互素自然数.3 = 2 , p 2 = 3q 2 .3除尽p 2 , q q
必除尽p, 否则p = 3k + 1或p = 3k + 2. p 2 = 9k 2 + 6k + 1, p 2 = 9k 2 + 12k + 4, 3除 p 2 将余1.故p = 3k , 9k 2 = 3q 2 , q 2 = 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 设 2. p是正的素数, 证明 p是无理数. 证设 p= a a2 , a, b为互素自然数,则p = 2 , a 2 = pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a = pk . p k = pb , pk = b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.
解下列不等式 : 3. (1) | x | + | x ? 1|< 3.\; (2) | x 2 ? 3 |< 2. 解 (1)若x < 0, 则 ? x + 1 ? x < 3, 2 x > ?2, x > ?1, (?1, 0); 若0 < x < 1, 则x + 1 ? x < 3,1 < 3, (0,1); 若x > 1, 则x + x ? 1 < 3, x < 3 / 2, (1,3 / 2). X = (?1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1,3 / 2). (2) ? 2 < x 2 ? 3 < 2,1 < x 2 < 5,1 <| x |2 < 5,1 <| x |< 5, x = (1, 5) ∪ (? 5, ?1). 设 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a + b |≥| a | ? | b |;(2)设 | a ? b |< 1, 证明 | a |<| b | +1. 证(1) | a |=| a + b + (?b) |≤| a + b | + | ?b |=| a + b | + | b |,| a + b |≥| a | ? | b | . (2) | a |=| b + (a ? b) |≤| b | + | a ? b |<| b | +1. 解下列不等式 : 5. (1) | x + 6 |> 0.1;(2) | x ? a |> l. 解(1)x + 6 > 0.1或x + 6 < ?0.1.x > ?5.9或x < ?6.1. X = (?∞, ?6.1) ∪ (?5.9, +∞). (2)若l > 0, X = (a + l , +∞) ∪ (?∞, a ? l ); 若l = 0, x ≠ a; 若l < 0, X = (?∞, +∞). 若 6. a > 1, 证明0 < n a ? 1 < a ?1 , 其中n为自然数. n
n
证若a > 1, 显然 n a = b > 1.a ? 1 = n a ? 1 = ( n a ? 1)(b n ?1 + b n ? 2 + L + 1) > n( n a ? 1). 设 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑有理数集合 m A=An = { n | m ∈ Z}. 若An ∩ (a, b) = ?, 则A = B ∪ C , B = A ∩ {x | x ≥ b}, 10 C = A ∩ {x | x ≤ a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 ? 1) /10n ∈ C , b ? a ≤ m0 /10 n -(m0 ? 1) /10 n =1/10n ,此与n的选取矛盾. 设 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 证取自然数n 满足1/10 n < b ? a.考虑无理数集合An = { 2 + m | m ∈ Z}. 以下仿8题. 10n
1

北大版高等数学第一章-函数及极限答案-习题1.2

习题 1.2 2 22 2 22 ln(4);(2) 40,||4,||2,(,2)(2,). 1010 1 (2)0..11,(1,1). 1010 1 5 (3)1,540.540,( 4 y x y y y x x x D x x x x D x x x x x x x x x x =-=== ->>>=-∞-?+∞ ->-< ?? + >-<<=- ?? +>+< -?? - >--<-+= 求下列函数的定义域或 1.: (1) 解(1) 12 2 12 2 1)(4)0,1, 4. (1,4). (4)2530.(21)(3)0,3,1/2.(,3)(1/2,). (), ()1,(0,3).()(1,10). (2)()ln(1sin),(/2,],()(,ln2]. (3)( x x x D x x x x x x D f X X f x x X f X f x x X f X f x ππ --=== = +->-+==-==-∞-?+∞ =+== =+=-=-∞ 求下列函数的值域其中为题中指定的定义域 2.. (1) 22 12 2 )[1,3],320,230,(1)(3)0, 1,3,()[0,(1)][0,4]. (4)()sin cos,(,). ()cos(/4)cos sin(/3))/4),()[ ln (1)(),(1) ln10 X x x x x x x x x f X f f x x x X f x x x x f X x f x f πππ ==-+-=--=+-= =-=== =+=-∞+∞ =+=+= =- 求函数值：设求 3. 2 ,(0.001),(100); (2)()arcsin,(0),(1),(1); 1 ln(1),0, (3)()(3),(0),(5). , 0, cos,01, (4)()1/2,1,(0),(1),(3/2),(2). 2, 13 (1)()l x f f x f x f f f x x x f x f f f x x x x f x x f f f f x f x - =- + --∞<≤ ? =- ? -<<+∞ ? ?≤< ? == ? ?<≤ ? = 设求设求设求解264 og,(1)log10,(0.001)log(10)6,(100)log10 (2)(0)0,(1)arcsin(1/2)/6,(1)arcsin(1/2)/6. (3)(3)ln4,(0)0,(5) 5. (4)(0)cos01,(1)1/2,(3/2)(2) 4. 2 4.(), 2 x f f f f f f f f f f f f f x f x x x ππ - -==-==-= ===-=-=- -===- ===== + =≠ - =4.设函数 11 2,(),(1),()1,,. () 2213 (),2;(1),1,3, 2211 f x f x f x f x f x x x x f x x f x x x x x x ?? ±-++ ? ?? -+++ -=≠±+==≠≠- +--- 求解

2013年北京大学高等数学考研真题及答案解析

1 / 5 全国统一咨询热线：400-6998-626 育明教育官方网址： https://www.360docs.net/doc/6e6786134.html, 育明教育育明教育：中国考研专业课辅导第一品牌。由北京大学、中国人民大学、中央财经大学、北京外国语大学、中国传媒大学的教授投资创办！【5大优势】【信息·最权威】：北大、人大、中财、北外、中传教授创办【经验·最丰富】：七年专注考研专业课辅导培训【考点·最精准】：连续七年考点命中率高达85%以上【规划·最可行】：协助学员制定个性化全程复习指导规划【咨询·最专业】：北大、清华、北外、人大、中传师资全天候进行答疑解惑北京大学360考研数学历年真题一、2002年真题说明：本试题由育明教育考研专业课团队汇编整理，更多资料、真题和辅导班可以咨询育明教育全国统一咨询热线：400-6998-626 考试科目：高等数学考试时间：2002.1.27—下午2点招生专业：理科各专业一、（12分）求下列各式的极限：（1），其中a ＞0；（2）（3）；（4）二、（12分）求下列函数的指定阶导数，或在指定点的切线与法线方程：（1）y=f(lnx)，其中f(x)二阶可导，求y ’，y ’’；（2）求f ’(x)；（3）求由方程ysinx+xlny=0所确定的平面曲线在x=π处的切线与法线方程；

（4），求f’(x) 二、2003年真题说明：本试题由育明教育考研专业课团队汇编整理，更多资料、真题和辅导班可以咨询育明教育全国统一咨询热线：400-6998-626 考试科目：高等数学考试时间：2003.1.19—8:30 招生专业：理科各专业注意事项：答案必须答在答题纸上。答在试题上一律无效。填空题和单选题不必抄题目，但必须标明大题号和小题号。填空题写明答案（不要写计算过程），单选题写明选项。一、求下列极限：（1）（2）（3）（4）二、（28分）求下列函数的指定阶导数、偏导数：（1）y=(1+x)1/x，求y’；（2），求f’(x)；（3）设δ=δ（x，y）是由方程δ3-2xδ+y=0所确定的隐函数，求，，（4）设δ=f（x2-y2,e xy）,其中f(u,v)有二阶连续的偏导数，求， 2 / 5 全国统一咨询热线：400-6998-626 育明教育官方网址：https://www.360docs.net/doc/6e6786134.html,

北京大学数学系《高等代数》考研配套考研真题库

北京大学数学系《高等代数》考研配套考研真题库第一部分名校考研真题第1章多项式一、判断题 1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故 a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈P ab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P 又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述得P为数域． 2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f?（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案

【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f?（x）的k重根（k≥1）． 3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题 1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研] 解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4 所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即

高等数学( 北大版)答案一习题1.3

习题1.3 1.(1,2,),lim 1,0,,2 |-1|,: n n n n n x n x N n n N x εε→∞= ==>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得当时有并填下表 220,1,|-1|| 1|,2,2222,,|-1|. 2.lim 0,lim ||||. 3.{}(1)n n n n n n n n x n n n N n N x a N a l a εεεε εεε→∞ →∞ ?><=-=<>-++?? =->?=不妨设要使只需取则当时就有设设证证(2){}(1) ||||| 1. (2) -31(1)lim 23n n n a l l l M N n n εε→∞-+<+=+-对于令4.用证23/23/2(3)lim 1(5)lim 1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)3 1311(1),2322(23)n n n n n q n n n n n n n n εεε→∞→∞→∞?+ ?-????++= ?+?? +?-=<-- 不妨设要使只需证>0,<1,311 3, 2113133133,,,lim . 22322321 (2),,, n n n N n N n n n εεεεεεε →∞>+++?? =+>-<=??--?? ?<≤<>取当时故>0,

32222333331,. 1 (3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)126 6242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4) ,,. n n n n N n N q n n n n q n n n n n n n n N n n n n n N εεαααααααεααεαεαε?? =>>+==---++++++?? <<<>=??--???? ≤<>=?? 取当 5. n =2222226.4.(1)(1)(1)12 7.: (1)l n n n n n n n εεεεεεεε? ??-+-?? ++故而求下列各极限的值证证32232244 432 220. 310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞ →∞==+-+-==-+-+++==++?? ????+=+=?? ? ??? ??????

2015北京大学考研数学线性代数重点内容与题型总结

2015北京大学考研数学线性代数重点内容与题型总结经过暑假强化阶段学习以后，从九月开始进入复习巩固阶段，也是提高阶段的尾端，也就是说，如果考生顺利完成了提高阶段的复习，将为冲刺阶段提供足够空间，反之则可能打乱整个复习进程.这段时间，考生还是要坚持两条腿走路，即知识点总结和题型总结,也就是要把书由厚读到薄，把知识转化成自己的东西，这样才会越学越轻松。线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。和高数与概率统计相比，由于线性代数的学科特点，同学们更应该要注重对知识点的总结。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，同学们必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做总结，希望对同学们后期的复习有所帮助。一行列式行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。 1重点内容:行列式计算 (1)降阶法这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。 (2)特殊的行列式有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。 2常见题型 (1)数字型行列式的计算 (2)抽象行列式的计算 (3)含参数的行列式的计算 (4)代数余子式的线性组合

北大版高等数学课后习题答案完整版

习题1.1 2 222 2 2222 22222 2 22 2 . ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,3 1.3,93,3,3., ,. ,,,, p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b === =+=+=++=++ === === 为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾. 设是正的素数为互素自然数,则素证 2. 证 1. 2 22222 2 ,, .,.., : (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0); 01,13,13,(0,1); 1,13,3/2,(1,3/2). (1,0)(0,1) p a p a a pk p k p b pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X === +-<-< <-+-<>->-- <<+-<< >+-<< =-? 数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾. 解下列不等式若则若则若则 3. 解 (1) 222 (1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1). ,(1)||||||;(2)||1,|||| 1. (1)|||()|||||||||,||||||. (2)|||()|||||| x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ? -<-<<<<<<<=?- +≥--<<+ =++-≤++-=+++≥- =+-≤+-< 设为任意实数证明设证明证 4. , | 1. (1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,). (2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11 x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a + +>-> +>+<->-<-=-∞-?-+∞ >=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞ - ><< >=>-=-= 解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1) 证 5.: 6. 12 00 00 1)(1)1). (,),(,). 1/10. {|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10, /10(1)/101/10 n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m -- +++> <- =∈?=?=?=?≥ =?≤-∈ -≤- Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合 =若则中有最小数 -= 证 7. (,),(,). 1/10.|}. 10 n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题. 8. 证习题1.2

北京大学601数学基础考试1 (数学分析)考研参考书、历年真题、复试分数线

北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研参考书、历年真题、复试分数线一、课程介绍又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”、“无限趋向”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。二、北京大学601数学基础考试1(数学分析)考研复试分数线根据教育部有关制订分数线的要求，我校按照统考生、联考生等不同类型分别确定复试基本分数线。考生能否进入复试以各院系所规定的各项单科成绩和总成绩确定的复试名单为准。我校将按照德、智、体全面衡量，择优录取，保证质量，宁缺毋滥的精神和公开、公正、公平的原则进行复试与录取工作。一、复试基本分数线：（1）、统考：考试科目政治外语数学专业课总分备注学科门类哲学(01)50509090360 经济学(02)55559090370

北京大学保送生数学真题及答案

2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案 1．已知数列{}n a 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56a a +的最小值．解：设数列{}n a 的公比为()0q q >，则23 1115a q a q a a q +--=， 123 5 1a q q q ∴= +--()251(1) q q =+-．由10a >知1q >． ()4 5 4 5 56111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44 2 25511(1) 1q q q q q q =?+=+-- 2222 11 515122011q q q q ????=++ =-++≥ ? ?--? ?? ?，当且仅当2 2 1 11 q q -= -即q =56a a +有最小值20． 2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成正项等比数列，求证： ()f a a =．证法一：设()()2 0f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()2 2 3 ,,f a aq f f a f aq aq f f f a f aq aq =====， 2ma na t aq ∴++=① 22 ()m aq naq t aq ++=② 2223()m aq naq t aq ++=③ ①-②得( )()()2 2 111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2 2 2 2 111ma q q naq q aq q ∴-+-=-．若1q =，则()f a a =；若 1q ≠，则() 21m a q n a a q ++ =与()21ma q q na aq ++=矛

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