第五章货币的时间价值 (1)
货币的时间价值和贴现现金流估价概述(PPT 46页)
复利计息次数
m
每年（m=1） 每半年（m=2） 每季（m=4） 每月（m=12） 每天（m=365） 每小时（m=8760）
CF1
1100.00 1102.50 1103.81 1104.71 1105.16 1105.17
i (1 r )m 1 m
实际年利率
0.10 0.1025 0.10381 0.10471 0.10516 0.10517
解答
1.如果我们今天将 $5,000 存在一个支付 10% 利率的账户 里，它需要经过多长时间能增值到 $10,000？
FV C0(1r)T $1,0 00 $0 5,00 (1 0 .1)T 0 (1.10)T $10,0002 $5,000 ln1(.10)T ln2
T ln2 0.69371.27years ln1.(1)0 0.0953
的1美元利息
复利终值
1.基本符号 PV-现值，未来现金流量在今天的价值 FVt-终值，现金流量在未来的价值 r-每期之利率，报酬率，通常1期是1年 t-期数，通常是年数 CF-现金流量
2.复利终值的一般计算公式 FVt = PV(1+ r)t （1＋r)t为普通复利终值系数，经济意义是指现在 的一元t年后的终值
永续年金的现值 C/ r
增长年金与增长型永续年金
增长年金的现值公式推导
利用等比数列的公式：
增长年金与增长型永续年金 增长 年 C 1 金 [1 ( r g - ) 现 g /1 ( r )t值 ]
（P105）
预付年金的终值
FVAt
C 1 r t
年金终值
年金终值系数： 期初年金（annuity due）
第五章 货币的时间价值
2019/11/2
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（一）单利终值与现值
单利的计算相对简单，在讨论货币时间价 值时，通常都采用复利计算方法，但对单 利的学习将有助于我们理解复利。
单利条件下，第n期终值的计算公式为：
单利现值：
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（二）复利终值与现值
复利条件下，第n期终值的计算公式为：
与单利比较，复利条件下的资金具有更大的时 间价值，这是由于利息能够产生利息并带来价 值的缘故。而且，随着时间的延长，这两种计 息方式下产生的终值差额还会进一步扩大。
一、终值和现值
终值（future value，FV）是指现在的一笔资金或 一系列收付款项按给定的利息率计算所得到的未来某 个时点的价值，也即是本金和利息之和。 现值（present value，PV）是指未来的一笔资金或 一系列收付款项按给定的利息率计算所得到的现在的 价值，即由终值倒求现值，一般称之为贴现，所使用 的利率又称为贴现率。
由于每次提取的等额准备金类似年金存款，因而同 样可以获得按复利计算的利息，所以债务实际上等 于年金终值，每年提取的偿债基金等于年金，即偿 债基金的计算实际上是年金终值的逆运算。其计算 公式为：
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3. 普通年金现值
普通年金现值是指一定时期内每期期末等 额收付款项的现值之和。普通年金现值的 计算 公式为:
由于不同时点的资金价值不同，在进行价值大 小的比较时，必须将不同时点的资金折算为同 一时点后才可以。因此，预期未来现金流 （cash flow）的时间表和利率水平对金融资 产的定价是至关重要的。
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二、时间轴
时间： 0 10% 1
2
3
货币的时间价值
查表知PVIF(15%,5)=0.497 根据PV=FV× PVIF(15%,5)
PV=160 × 0.497=79.52（亿元） 与目前立即开发可获利100亿元相
比，5年后开发获利160亿元的现在 价值只有79.52亿元，因而现在开发 最有利。
例题：
1.某人有1200元，拟投入报酬率为6%的项 目，经过多少年才可使现有货币增加1倍？ FV=1200×2＝2400 FV＝1200×（1＋6%）n FVIF(6%,n)=2 n=12（查表）
I＝1200×4% × 60 ／360＝8（元） 解析：在计算利息时，除非特别指明，给
出的利率是指年利率。对于不足1年的的利 息，以1年等于360天来折算。
（二）复利
1.复利是指不仅本金计算利息，而且利息 也要计算利息。
2.复利终值是指一定量的资金（本金）按 照复利计算的若干期后的本利和。
3.复利现值是指若干年后收入或付出资金 的现在价值。复利现值可以采用复利终 值倒求本金的方法计算（即贴现）。
n期即付年金终值比n期后付年金终值多 计算一期利息。故可先求出n期后付年金 终值，再乘以（1+i）便可求出n期即付 年金终值。
即付年金终值好比将普通年金所有的年金 流向左平移了一个时期，因此，所有现金 流的终值要多乘一个（1+i）。
Vn=A·FVIFAi,n·（1+i）
n期先付年金与n+1期后付年金的计息期 数相同，但比n+1期后付年金少付一次 款，故只要将n+1期后付年金的终值减 去最后一期付款额A，便可求出n期先付 年金终值。
实质上，两种贷款方式是一致的，没有优劣之 分。只有在需求的不同时，才有不同的选 择。
货币的时间价值
②永续年金只有现值没有终值。
③永续年金现值的计算：
P=A/I
4.永续年金
例：某人持有的某公司优先股，每年每股 股利为2元，若此人想长期持有，在利率 为10%的情况下，请对该项股票投资进 行估价。
P=A/i=2/10%=20（元）
资金时间价值在财务管理中的运用
资金时间价值在财务管理中的运用非常广泛，后 面的很多内容都与此有关，现将其总结如下： 债券发行价格的计算 融资租赁筹资方式下租金的计算 股票资金成本的计算 项目投资中折现评价指标的计算方法 长期证券投资收益率的计算 有价证券投资时的估价计算
练习
1、时代公司需用一设备，买价为1600元，可 用10年。如果租用，则每年年初需付租金200 元，假设利率为6%，问租与买何者为优？
2、某项医疗保险规定现在购买保险支付3200 元，则10年内每年年初可得定额保险金，又据 统计，某人每年年初的医药费为400元。问购 买该项保险是否合算？假设利率为6%。
（三）年金终值与现值
现金流量是公司在一定时期内的经营过程或一项投资 项目的资金投入与收回过程中所发生的现金流出与流 入。公司的实际情况大致有两种情况，一是每次收付 的款项不相等，即每期现金流量不相等。二是每次收 付的款项相等，即每期现金流量相等。后一种情况就 是年金。
1．普通年金
普通年金是指每期期末有等额的收付款项的 年金，又称后付年金。
例题：
[例]A方案在三年中每年年初付款500 元,B方案在三年中每年年末付款500 元,若利率为10%,则两方案在第三年 年末时的终值相差多少?
例题：
答案: A方案: F=A[(F/A,i,n+1)-1] =500[(F/A,10%,3+1)-1] =500*(4.6410-1)=1820.5(元) B方案:F=A(F/A,i,n)=500*(F/A,10%,3) =500*3.3100=1655(元)
金融学课件PPT李健第三版第5章：货币的时间价值与利率
• 案例：李四向银行申请了一笔贷款，年利率为8%，如果某年的物 价水平上涨了4%，则这一年李四的实际利率负担是多少？
• 根据简易公式，可得实际利率：i = r − p = 8% − 4% = 4% • ➢根据精确公式，可得实际利率为：
关于利息实质的不同观点
现代经济学关于利息的基本观点 利息实质已不再是现代经济学研究的重点，目前的研究更加侧重于对利 息补偿的构成以及利率影响因素的分析 基本观点：将利息看作投资者让渡资本使用权而索取的补偿或报酬， 该补偿一般包括两部分：①对放弃投资于无风险资产的机会成本的补偿； ②对风险的补偿，即：风险资产的收益率=无风险利率+风险溢价
单期终值和现值
• 案例：假设利率为5%，张三投资10000元，一年后他将得到10500 元。在该案例中，第0期的现金流C0（即现值PV）为10000元，投 资结束时获得的现金流C1（即终值FV）为10500元，利率r为5%， 时间区间为1年
多期终值和现值
• 案例：王五以面值10万元购买了期限5年，年利率为10%，复利计 息到期一次还本付息的公司债券，到期后王五将获得本利和 161051元。本案例中，第0期现金流C0 （即PV）为10万元，投资 结束时现金流Ct（即FV）为161051元，利率r为10%，时间区间为5 年
• 利息向收益的一般形态转化，其主要作用是导致收益资本化 （capitalization of return），即各种有收益的事物，不论它 是否是一笔贷放出去的货币金额，甚至也不论它是否为一笔资本， 都可以通过收益与利率的对比，倒算出它相当于多大的资本金额
第三讲 货币的时间价值(一)
方法二：现值=2600.79
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总结
计算多期现金流量的现值有两种方法
将累计余额每次向前贴现1年。 先计算每笔现金流量的现值，然后将它们加 起来。
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课堂作业
假定你今天在一个年利率为6%的银行账 户中存了10 000元。5年后，你将有多少 钱？ 假定你刚庆祝完19岁生日。你富有的叔 叔为你设立了一项基金，将在你30岁时 付给你150 000元。如果贴现率为9%， 那么今天这个基金的价值是多少？
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基本现值等式的应用二：求期数
例6
如果以8%的利率投资，需要多长 时间才能使初始投资额翻一番？ 9年
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基本现值等式的应用二：求期数
方法一：查终值系数表 2=1（1+8%） =1× FVIF8%, n FVIF8%,n=2 n=9
n
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基本现值等式的应用二：求期数
方法二：使用计算器 FV=PV(1+i)n 2=1( 1+8%)n ln2=ln[(1+8%)n] n=ln2/ln(1.08)=9
4000
4000
+12484.8 16484.8
+17803.58 21803.58
方法一：第三年年末价值=21803.58 第四年年末价值=23547.87
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例7答案（二）
0 1 2 3 4 时间（年）
现金流量 7000
4000
4000 1.08 *1.082
*1.083
4000 4320 4565.6 8817.98 21703.58
短期内，复利的影响不大，但当期限拉 长时，影响将变大。 例2：200年前，你的祖先在6%的利率下 为你在银行存入5元钱。在复利的情况下， 你能得到多少钱？在单利的情况下，你 能得到多少钱?
第五章货币的时间价值及现金流贴现分析
朱鲁秀
2023/12/25
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第五章货币时间价值及现金流贴现分析
例7.假设某人在20岁时节省下100元，并将进行投资，每年可得 到5%的利息，到65岁时取出使用。假设期间的通货膨胀率为 3%，计算实际终值。p129
解：（1）方法一：
(1 r)2 (1 r) 1]
朱鲁秀
2023/12/25
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第五章货币时间价值及现金流贴现分析
（3）普通年金的现值
PVOA
PMT
(1 1 1 r
1 (1 r)2
1 (1 r)3
1 (1 r)4
1 (1 r)n
PMT [
]
r
1 (1 r)n
)
例6：为了能在今后3年每年年末得到100元，以年利率5%计算， 当前需要投入多少资金？
F C0 (1 r)n C1(1 r)n1 C2 (1 r)n2 C3 (1 r)n3
n
Ci (1 r)ni i0
朱鲁秀
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Cn1(1 r)1 Cn
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第五章货币时间价值及现金流贴现分析
2.多重现金流的现值 先计算每一 笔现金流各自的现值，然后把所有现金流的现值加总
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第五章货币时间价值及现金流贴现分析
二、现金流贴现分析与投资决策准则 （一）现值、终值与贴现 现在有一笔款，将来为多少？ 将来有一笔款，现在值多少？ 1.终值：用复利计息方法计算的一定金额的初始投资在
未来某一时期结束后获得的本息总和。 复利终值系数：(1 r )n
朱鲁秀
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第五章货币时间价值及现金流贴现分析
货币的时间价值概述
货币的时间价值概述货币的时间价值概述引言货币的时间价值是指货币在不同时间点上的价值不同。
由于时间的流逝和不确定性的存在，人们普遍认同拥有货币的好处比将来某个时间点拥有同等金额的货币更有价值。
货币的时间价值在金融领域具有重要意义，对投资决策、贷款利率、退休规划等方面都有重要影响。
本文旨在对货币的时间价值进行概述，包括时间价值的概念、原因、计算方法以及影响因素等。
一、时间价值的概念时间价值是指货币的价值随着时间的推移而变化。
这种变化主要源于以下几个方面：1. 通货膨胀：通货膨胀是指货币的购买力下降。
随着时间的推移，同等金额的货币在购买力上会相对减少，即货币的价值降低。
2. 机会成本：拥有货币可以为人们提供许多机会，例如投资、消费等。
因此，人们宁愿用当前的货币购买力来享受或投资，而不是将来某个时间点的货币。
3. 风险：未来的事情是不确定的，存在风险。
人们倾向于将风险越早承担，因此他们会降低对未来货币的价值。
二、时间价值的计算方法货币的时间价值可以通过利用复利公式来计算，常用的计算方法有：1. 未来价值（FV）：未来价值是指将现金流量从现在延续到未来某一时点后的价值。
计算公式为FV = PV（1 + r）^n，其中FV是未来价值，PV是现值，r是利率，n是时间。
2. 现值（PV）：现值是指未来现金流量的现在价值，即将未来的价值贴现回现在。
计算公式为PV = FV / （1+r）^n，其中PV是现值，FV是未来价值，r是利率，n是时间。
3. 年金（Annuity）：年金是指在一定时间内以相等间隔支付或收取的一系列现金流量。
计算公式为PV = PMT * [1 -(1+r)^-n]/r，其中PV是现值，PMT是每期支付或收取的金额，r是利率，n是时间。
三、影响货币时间价值的因素货币的时间价值受到多个因素的影响，包括以下几个方面：1. 利率：利率是衡量货币时间价值的关键因素。
利率越高，当前的货币就越有价值，因为它可以获得更高的回报。
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第五章货币的时间价值财务总监做出的大部分决策都是关于公司的现金流入和流出问题。
这些现金流的时间选择非常重要，因为及早地收到现金可以及早地再投资并赚取额外的收益。
既然现金流价值的差别由时间学则的不同而产生，财务总监必须衡量这些差别以制订他们的长期投资和财务决策。
此外，测定价值差别在制订关于流动资产和流动负债的决策时也非常重要。
本章讨论测定货币时间价值的方法，分为4个主要部分，每一部分解决一种类型的财务问题。
第一节末来值总值一、复利1与终值未来值总值指利息收入与本金的总和，其中利息是在—定时间内按一特定利率投资。
例如，如果中远集团公司按年息6％存入银行100美元，1年后中远集团公司的账户上将有106美元。
我们用6%乘以100美元得到所获利息6美元，把这个利息加上原先的100美元得到106美元。
或者这样计算，1年后中远集团公司将获得其原先存款的106％，其中100％是本金，6％是利息。
这种方法表示如下FV=100(1+0．06)=l00(1.06)=106(美元)如果中远集团公司把100美元存两年，那么到时中远集团公司有多少钱呢?1年后在中远集团公司的账户上有l00(1+0.06)美元，即1 国际上流行的是复利计算方式，而我国则采用单利计算方式。
我们在本书中采用国际上流行的投资计算方式106美元。
在第2年里，中远集团公司将获得总值6%的利息。
因此两年后账户上将有100(1+0．06)美元的106％，表示如下FV=100(1+0.06)(1+0.06)=100(1+0.06)2=112.36(美元)两年后，账户上的将有112.36元，这包括本金100美元，利息12.36美元。
第1年得到6美元利息，第2年得到6.36美元利息；第2年的利息等于原始存款的6％加上第1年所得利息的6％。
利息的利息称做复利。
如果中远集团公司有机会现在得到100美元或两年后得到11 1美元，假定未来两年所有资金的利息都是6％，中远集团公司会选择哪个呢?通过测定两笔款项在同一时间(两年后)的价值做出决定，如果中远集团公司现在100美元并按6％的利息投资，两年后将会得到112.36美元。
既然这个价值高于可选的两年后的111美元，中远集团公司将更喜欢现在得到100美元。
将1 00元按6％的利息存两年的未来值可表示为FV=100(1+0．06)(1+0.06)=100元（0.06)2可以把这个公式一般化，解决总值按一定利率投资指定时期的未来值问题FV=P（1+k）(5.1) 式中：FV表示未来值总值；P表示本金或总值；k表示年息，n表示本金投资的年数。
为了阐述式(5.1)的应用，我们计算500美元按l0％的利率存入投资账户3年的未来值，计算如下FV=500(1+0.1)3=500(1.331)=665.50(美元)有两种基本方法计算(1+k)n 的值，此后把这个值称做未来值利息因子，记为FVIF.第一种方法需要用带有(y x )功能的计算器，这里y 是(1+k)，x 是n 。
这里k=10％、n=3，计算得到1.331。
第二种方法是利用复利终值系数表，此表展示了变量矩阵，其中变量n 在最左列，k 在首行。
确定(1+k)n 的值时，在左列中查到n 值，并在沿此行查找k 值。
n 值所在行和k 值所在列的交叉处既是FVIF 。
我们的问题中k=10％、n=3，通过复利终值系数表，我们得到(1+k)n 的值是1.331．结果与第一种方法相同。
1000200030004000051015年份终值0%5%10%图5.1 复利终值系数存款时间越长，积聚的资金价值越大，沿复利终值系数表中任意列向下看，我们可以验证此结论，对任一给定的k ，行越大。
FVIF 就越大；同理，利率越高，账户上资金的未来值就越高。
因此，复利终值系数表中的任意行，k 越大，FVIF 就越大。
图5.1描述了n 和k 对FVIF 的作用。
假定中远集团公司通过卖出一些房地产获得8 000万美元佣金，如果中远集团公司按年息12％投资7年，到时中远集团公司将有多少钱？FV=P(1+k)n=8 000(1+0.12)7=8 000(FIVF)=8 000(2.2107)=17 686(万美元)通过给定的年息，中远集团公司能确定7年后中远集团公司将有17686万美元。
二、复合频率以上例子都是假定利率每年复合一次，也就是利息每年记入贷方账户一次。
上面介绍的方法修正后可以解决利息复合更频繁的问题。
在原先的例子中，100美元按年息6％存1年，利息每年复合一次。
现在我们假设利息每半年复合一次(一年复合两次)，这意味着利息在年中记人贷方账户，因此在下半年，利息由原先的本金和上半年挣得的利息生成。
本例中，存人账户100美元，在6个月后将记人贷方账户3美元利息(年息是6％，所以半年只得到3美元)，在第二个6个月里，又有3％的利息记入贷方账户。
因此，在第二个6个月里挣得的利息是3.09(3％×103)美元，一年挣得利息的总数是6.09(3+3.09)美元，1年后，账户余额是106.09美元。
解决这个问题是年息除以2(1年中利息复合的次数)来确定每个子时期的利率，另外，时期数乘以2得到账户上挣得利息的半年时期数。
当每年利息复合次数大于2时，计算步骤类似，也就是说，利息除以1年中利息复合的次数，年数乘以1年中利息复合的次数。
公式5-2表明解决年内复合利率问题时需要做的调整k）nm （5.2）FV=P（1+m式中：m表示1年内利息复合的次数。
应用式(5.2)，解决100美元按6％利率(半年复合一次)存1年的未来值问题k）nmFV=P（1+m0.06）1*2=100（1+2=100（1+0.03）2=100(FVIF)=100(1.0609)=106.09(美元)复合调整后，利用复利终值系数表确定FVIF，当k=3％、n=2时，其值为1.0609美元。
下例中，考虑中远集团公司投资5 000万美元，期望获得24％的年息，利息每季度复合一次。
两年后积聚的总值是多少?k）nmFV=P（1+m0.24）2*4=5000（1+4=5000（1+0.06）8=5 000(1.5938)=7 969(万美元) 如果利息每个季度复合一次，两年后中远集团公司将获得7 969万美元，但是如果利息每天复合一次，两年后中远集团公司能获得多少钱呢？0.24）2*365FV =5000（1+365=5 000(1.6158)=8079(万美元)既然本例中FVIF不能从复利终值系数表中得到，必须使用计算器。
注意提高复合频率，导致了原始投资利息积聚得更快。
三、解决时期数的问题式(5.1)中有4个变量，如果任何3个变量已知，就可以求第4个。
例如，100美元按8％的利率存多少年能积聚136.05美元?把已知变量代入公式5-1使FVIF单独处于方程一侧FV=P(1+k)n136.05=100(1+0.08)n1.3605=(1+0.08) n既然FVIF是1.3605，k已知，利用复利终值系数表确定n。
找到标有“k=8％”的那一列，沿列向下找到最接近1.3605的值。
这个值可以在第4行(n=4)找到。
因此，答案是4年。
四、解决利率问题假定中远集团公司的储蓄账户上有10 000万美元，希望在13年内积聚成30 000万美元，那么需要的利率是多少呢?把已知变量代入公式5-1，求FVIFFV=P(1+k)n30000=10 000(1+ k)133.0=(1+ k)13通过计算得到(1+ k)13=3.0，利用复利终值系数表确定k的值。
在n=13的左列中，沿列向下查找，在行中自左到右查找值为3.0的FIVF，本例中，不能找到值确切为3.0的FVIF。
然而，2.7196、3.0658分别代表8％、9％的利率，与我们需要的利率因子接近。
根据要求得到的精确度，有几种描述正确答案的方法，接近9％或在8％与9％之间。
如果要求更高的精确度，可以利用插值法估计利率，如果需要精确的答案，可以用算术的方法直接从公式5-1中得到3.0=(1+ k)131.0882=(1+ k)0.0882=k因此，中远集团公司必须把10 000万美元按8.82％的利率存13年，才能类聚成30 000万美元。
五、增长率至今分析的未来值问题都是关于在总值上挣得利息，然而，计算增长率份额方法类似。
在财务管理中，经常需要确定净收入年增长率比如每股盈利、股价以及其他系列数据。
假定中远集团公司1980年每股股利为1美元，1986年每股股利为2.3l 美元，我们常常把总增长率131%除以增长年数(6年)得到年增长率21.8％，然而，这种方法忽视了复合，分红的复合年增长率可以用公式5-1计算，这里，k 是增长率而不是利率，P 是初始股利，FV 是股利未来值，计算如下FV=P(1+k)n2.13=1.00(1+ k)62.13=(1+ k)6从复利终值系数表中，我们得知复合年增长率大约是15％。
第二节 未来值现值利用式(5.1)可以求得FV 、k 和n ，当其他3个变量已知时，我们可以求得第4个变量P 。
然而，由于现值问题在财务管理中非常重要，我们不用式(5.1)，而用专门的公式P=FV ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n k 11）（ (5.3) 这个公式用来解决总值现值问题，例如，公司的—项投资3年后可以获得25 000美元，如果公司要求12％的收益率，现在应该投多少钱呢?也就是3年后25 000元的现值是多少？k 值是12%，我们称做析现率，因为它用来把未来价值折合成现值．现值25 000美元按12%的利率折算3年，计算如下P=FV ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n k 11）（ =25 000⎥⎦⎤⎢⎣⎡+30.1211）（ =25 000（0.7118）=17 795（美元）我们把中括号里面的值称做现值利率因子，记为PVIF 。
可以用计算器或复利现值系数表求得PVIF ，该表的应用与复利终值系数表类似，也就是，根据n 和k ，从表中查找PVIF 。
在上面的问题中，n=3、k=12，查表知PVIF=0.7118。
方程确定的17 795美元就是公司需要做出的投资额以获得12％收益，如果公司投资少于17 795美元，收益就会超过预期。
如果公司的投资必须多于17 795美元，收益就会低于预期。
尽管计算未来值和现值的公式不同，但解决任何4变量问题(FV 、P 、k 和n)时，两个公式通用。
例如，上面的问题也可以用公式5-1解决FV=P(1+k)n25 000=P(1+0.12)325 000=P(1.4049)17 795=P对于相同的k 和n ，PVIF 、FVIF 互为倒数。
从复利现值系数表中可以看出，当k 增大时，PVIF 减小因而总值现值减少。
同理，当n 增大时，PVIF 减小，总值现值减少，这表明总值收到时间越长，现值减少。