二次函数压轴题之新定义问题(二)(讲义及答案)
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二次函数压轴题之新定义问题(二)(讲义) 知识点睛
解决新定义问题时常考虑:
①回归新定义,给什么,用什么;将新定义与所给问题信息
结合分析转化;
②将新定义图形结构化、模型化,利用其相关特征、性质解
决问题.
精讲精练
1.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐
标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下图为点P,Q的“相关矩形”的示意图.
(1)已知点A的坐标为(1,0).
①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;
②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,
求直线AC的表达式.
(2)⊙O的半径为2,点M的坐标为(m,3).若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m 的取值范围.
2.【定义】我们定义:平面内到一个定点F 和一条定直线l (点
F 不在直线l 上)距离相等的点的集合叫做抛物线,其中点F 叫做抛物线的“焦点”,直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1,点O 即为抛物线1y 的“焦点”,直线l :2y =-即为抛物线1y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.
【理解】如图1,N (m ,n )是抛物线21114
y x =-上的任一点,l 是过点(0,-2)且与x 轴平行的直线,过点N 作直线NH ⊥l ,垂足为点H .
①计算:当m=0时,NH=______,NO =_______;当m =4时,NH=_______,NO =_______.
②证明:无论m 取何值,NO =NH .
【应用】(1)如图2,“焦点”为F (0,1)的抛物线2214
y x =的准线为直线l ,经过点F 的任意一条直线0y kx b k =+≠()与抛物线交于点M ,N ,过点M 作MQ ⊥l 于点Q ,过点N 作NH ⊥l 于点H .
①直接写出抛物线y 2的“准线”l 的解析式______________;②计算求值:11MQ NH
+=____________;③记QH 的中点为G ,连接GM ,GN ,试证明∠MGN =90°.
(2)如图3,在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为圆心,
半径为1的⊙O 与x 轴分别交于点A ,B (点A 在点B 的左侧),直线33
y x n =+与⊙O 只有一个公共点F ,求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式.
图1
图2
图3
3.在平面直角坐标系xOy 中,⊙C 的半径为r ,P 是与圆心C 不
重合的点,点P 关于⊙C 的反称点的定义如下:若在射线CP 上存在一点P′,满足CP +CP′=2r ,则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点,如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P′的示意图.特别地,当点P′与圆心C 重合时,规定CP′=0.
(1)当⊙O 的半径为1时.
①分别判断点M (2,1),N (
32
,0),T (1,3)关于⊙O 的反称点是否存在,若存在,求其坐标;②当点P 在直线2y x =-+上时,若点P 关于⊙O 的反称点P′存在,且点P′不在x 轴上,求点P 的横坐标的取值范围.(2)当⊙C 的圆心在x 轴上,且半径为1时,直线
3233
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,若线段AB 上存在点P ,使得点P 关于⊙C 的反称点P′在⊙C 的内部,求圆心C 的横坐标的取值范围.
4.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)
的“非常距离”,给出如下定义:若1212x x y y --≥,则点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)的非常距离为12x x -;若1212x x y y -<-,则点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)的非常距离为12y y -.
例如:点P 1(1,2),P 2(3,5),因为1325-<-,所以点P 1与P 2的“非常距离”为253-=,也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点).
(1)已知点1(0)2
A -,,
B 为y 轴上的一个动点.
①若点A 与点B 的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B 的坐标;
②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值.(2)已知C 是直线3+34
y x =上的一个动点.①如图2,点D 的坐标是(0,1),求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标;
②如图3,
E 是以原点O 为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标.
图1
图2
图3
【参考答案】
1.(1)①2;
②C 1(3,2)1AC l ⇒:y =x -1;C 2(3,-2)2AC l ⇒:y =-x +1(2)-5≤m ≤-1或1≤m ≤5
2.①1,1,5,5;②证明略
(1)①y =-1;②1;③证明略
(2)2313()324y x =++或2313()324
y x =---3.
(1)①M 反称点不存在,N 反称点N′(12,0),T 反称点T′(0,0)
②0<x P <2
(2)2≤x C ≤8
4.(1)①B (0,2);②
12(2)①最小值为87,此时点C 坐标为815()77
-,②最小非常距离为1,34()55E -,,89()55C -,