结构动力学中的常用数值方法
面元法和颤振方程
面元法和颤振方程面元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，用于求解复杂结构和物理系统的工程问题。
它首先将连续的物理问题离散化为有限个小区域（面元），然后在每个小区域中建立适当的数学模型，最后通过对所有小区域的模型进行组合，得到整个物理系统的解。
面元法在解决结构力学、热传导、电磁场等方面具有广泛的应用。
面元法的基本思想是将连续的物理问题离散化为面元，然后在每个面元中建立适当的数学模型。
通常，一个面元由几个节点连接而成，在每个节点上需满足一定的方程条件。
对于结构力学问题，一般采用弹性力学理论来描述物体的变形和应力分布，而对于热传导问题，通常使用热传导方程来描述物体内部的温度分布。
面元法通过将连续的物理问题划分为许多面元，然后在每个面元中求解相应的微分方程，最终得到整个物理系统的解。
面元法的优点之一是适用于复杂的结构和物理系统，因为它可以处理任意形状和几何尺寸的物体。
与其它数值方法相比，面元法具有更高的灵活性和可扩展性，因为它不需要事先确定整个系统的方程形式。
此外，面元法还可以通过增加面元数量来提高计算精度，可达到较高的精度要求。
颤振方程是结构动力学中的一个重要概念，用于描述结构体系在某些特定频率下发生颤振的现象。
颤振是结构物在共振频率下由于受到外界激励而发生的大振幅振动。
当结构物的频率接近其共振频率时，小的外力激励也能够引起结构的大振动，这种现象被称为颤振。
颤振会导致结构的破坏和失效，因此在工程设计中需要对结构的颤振进行合理的分析和控制。
对于线性系统，颤振方程可以用模态分析的方法进行求解。
模态分析是一种将结构的振动特性（或模态参数）与结构的特定频率和模态形式联系起来的分析方法。
模态参数表示了结构在不同振动模态下的振幅和频率，通过求解模态方程，可以得到结构物在不同振动模态下的响应。
当结构的某一特定频率接近共振频率时，颤振方程可以告诉我们相应的模态参数，从而可以预测结构的振动响应。
结构动力学_运动控制方程_分段解析法
结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。
结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。
随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。
通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。
因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。
接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。
在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。
最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。
同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。
鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。
2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。
它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。
在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。
2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。
这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。
根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。
结构动力学
第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
08结构动力学数值分析方法.pdf
1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。
●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。
当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。
●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。
此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。
6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。
7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。
时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。
中心差分法和newmark法
中心差分法和newmark法
中心差分法以及Newmark法都是解决结构动力学问题时常用的数值
方法，下面将进行详细介绍。
中心差分法是结构动力学中常用的一种数值方法，特点是精度高，计
算简单。
中心差分法适用于二阶线性常微分方程的数值求解，通过二
阶龙格-库塔(Kutta)法对二阶微分方程进行数值积分。
中心差分法是在计算速度的基础上对位移和加速度进行数值积分，该
方法通过计算速度和加速度相邻两个时刻的平均值得到位移的估计值。
这种方法的基本思想是，将位置、速度和加速度看成变量，将时间离
散化，运用有限差分的方法求解微分方程，从而得到结构的求解结果。
Newmark法是一种较为稳定而精度高的数值方法。
该方法采用了一种先模拟位移，再计算力的反馈的方式，以求解结构在时间上的演化，
其基本思想是将结构动力学方程离散化，将实数域上的方程转化为在
有限元离散化后的体系上求解。
在Newmark法中，力的反馈是在位移解出之后计算出来的，因此需
要一个初始条件，即一个初始的位移向量。
解出位移向量之后，计算
出力向量的值，并将其反馈回上一次的分析中，以此持续迭代，直到
结构达到平衡。
总体而言，中心差分法和Newmark法都是求解结构动力学的有效方法，两者各有特点。
中心差分法简单易行，适用于简单的结构动力学问题；而Newmark法适用于复杂的结构动力学问题，其精度高、稳定性好。
选择哪种方法，需根据实际需求和具体情况进行判断。
振型分解法与振型分解反应谱法的区别
振型分解法与振型分解反应谱法的区别振型分解法和振型分解反应谱法都是结构动力学中常用的分析方法，用于评估结构在地震作用下的响应。
两种方法具有一些相似之处，但也存在一些区别。
首先，我们来看看振型分解法。
振型分解法是一种基于结构模态的分析方法。
它通过将结构的动态响应分解为一系列模态振型的叠加来分析结构的反应。
振型分解法的基本思想是将结构的响应表示为一组相互独立振动的模态组合。
这些模态是结构自由振动的解，在没有外界作用力的情况下，结构只以某一特定的频率和振形振动。
对于一个多自由度的结构，它的振型是通过解析解或数值解的方式获得的。
振型分解法需要结构的动力特性，如模态频率、阻尼比等。
而振型分解反应谱法则是将振型分解法与反应谱法相结合的一种方法。
反应谱是反映结构对地震作用的响应特点的一种图表。
它描述了结构所经历的最大加速度、最大速度、最大位移等物理量的随时间变化关系。
振型分解反应谱法的基本思想是将结构的反应谱表示为一系列模态反应谱的叠加。
与传统的反应谱法不同的是，振型分解反应谱法考虑了结构的振形特性。
它将结构响应分解为一组模态响应，每个模态振型都有自己的模态反应谱。
通过分解得到的模态响应与各自的模态反应谱相乘，再相加得到结构的总反应谱。
振型分解法和振型分解反应谱法在一些方面存在相似之处。
首先，它们都基于结构的模态特性进行分析。
无论是振型分解法还是振型分解反应谱法，都需要得到结构的振型信息。
其次，它们都可以用于评估结构在地震作用下的响应。
通过分析结构的振型和模态反应谱，可以得到结构在地震作用下的最大响应，从而进行结构的设计和安全评估。
然而，振型分解法和振型分解反应谱法也存在一些区别。
首先，振型分解法更侧重于分析结构的模态特性和振型信息，它可以用于计算结构的自由响应。
而振型分解反应谱法更侧重于评估结构在地震作用下的受力情况，它可以用于计算结构的响应谱。
其次，振型分解法可以考虑结构的阻尼特性，通过引入阻尼比来计算结构的响应。
建筑结构动力学分析与优化
建筑结构动力学分析与优化建筑结构动力学是研究建筑物在外部力作用下的振动特性及其对结构性能的影响的学科。
通过动力学分析与优化，可以确保建筑物在受到地震、风载等外部力作用时具有良好的稳定性和抗震性能，保障人员生命安全和财产安全。
本文将从动力学分析的基本原理、优化方法以及应用实例三个方面进行论述。
一、动力学分析的基本原理建筑结构的动力学分析主要包括模型建立、载荷确定和响应计算三个步骤。
模型建立：建筑结构的动力学分析通常使用有限元法进行数值计算。
首先，需要根据实际建筑物的几何形状和材料性质，建立数学模型，并将建筑物划分为离散的有限元。
然后，根据结构的自由度选择适当的元素类型，进行节点和单元的编号，建立有限元模型。
载荷确定：在动力学分析中，主要考虑地震荷载和风荷载对建筑物的作用。
地震荷载可通过地震波的反应谱法确定，其中包括地震波的地面运动加速度响应谱、波重组和结构响应计算。
风荷载可通过风洞试验和数值模拟获得，考虑风速、风向、建筑物高度等因素。
响应计算：在完成模型建立和载荷确定后，可以通过数值计算方法进行响应计算。
主要包括模态分析、时程分析和频率响应分析等方法。
模态分析用于确定建筑物的固有振动频率和振型，时程分析用于模拟地震或风荷载的时间历程，并计算结构的响应结果。
频率响应分析则可以用于考察结构在特定频率下的响应情况。
二、优化方法在动力学分析中的应用优化方法是在规定的约束条件下，寻求最优解的一种数学方法。
在建筑结构动力学分析中，优化方法可以应用于结构的设计和参数的优化。
结构设计优化：通过对建筑结构设计进行优化，可以提高结构的性能和节约材料成本。
优化方法可以通过调整结构的截面尺寸、布置方案以及材料参数等来实现。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法等。
参数优化：在建筑结构动力学分析中，存在许多影响结构响应的参数。
通过优化这些参数，可以得到结构的最佳性能。
例如，可以通过调整建筑物的阻尼比来控制结构的振动响应。
lammps最常用的数值方法
lammps最常用的数值方法LAMMPS最常用的数值方法引言LAMMPS（Large-scale Atomic/Molecular Massively Parallel Simulator）是一种广泛应用于分子力学模拟的开源软件。
在LAMMPS 中，数值方法是模拟的核心。
本文将详细介绍LAMMPS中最常用的数值方法。
分子力学模拟基础分子力学模拟基于牛顿力学，通过数值方法模拟原子或分子之间的相互作用。
这些相互作用力可以通过势函数表示。
以下是LAMMPS中常见的数值方法：分子动力学（Molecular Dynamics, MD）MD是一种经典的分子力学模拟方法，通过求解牛顿方程模拟粒子在力场中的运动。
MD方法具有高计算效率和适用于长时间尺度模拟等优点。
以下是LAMMPS中常用的MD方法：•Velocity-Verlet算法：Velocity-Verlet算法是MD 中最常用的积分算法之一。
它根据粒子的速度和加速度迭代更新粒子的位置和速度。
•NVE集团法：这种方法可以保证系统的粒子数（N）、体积（V）和能量（E）不变。
通过在数值积分过程中固定这些变量，可以模拟封闭系统的动力学性质。
蒙特卡罗（Monte Carlo, MC）MC方法通过随机选择和更新粒子的状态，在相空间中搜索最稳定或最佳结构。
MC方法常用于研究温度等参数对系统性质的影响。
以下是LAMMPS中常用的MC方法：•Metropolis算法：Metropolis算法是MC模拟中最常用的一种方法，通过接受或拒绝状态转移来模拟系统的平衡状态。
•其他MC算法：LAMMPS还提供了各种其他MC算法，包括重粒子MC、聚集体MC等。
束缚动力学（Brownian Dynamics, BD）BD方法模拟粒子在溶液中受到的随机力和耗散力的作用下的运动。
它常用于模拟细胞、胶体、高聚物等系统。
以下是LAMMPS中常见的BD 方法：•Langevin算法：Langevin算法模拟系统受到的随机力和耗散力。
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第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。
但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。
此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。
所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。
（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t=∆，202a a =（4） 计算...0011122t x x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷21()()t t t tt Q Q K a M x a Ma C x --∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t L D L x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=-..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。
纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C（2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。
并计算积分常数0.5γ≥，20.25(0.5)δγ≥+ 021a tδ=∆，1a tγδ=∆，21a tδ=∆3112a δ=-，41a γδ=-，5(2)2t a γδ∆=- 6(1)a t γ=∆-，7a t γ=∆（4）形成等效刚度矩阵K -01K K a M a C -=++（5）K -矩阵进行三角分解 T K L D L -= 2. 对第一时间步长（1）计算t t +∆时刻的等效载荷......623145()()t t t t t t t t t Q Q M a x a x a x C a x a x a x -+∆=++++++ （2）求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t t L D L x Q -+∆+∆=（3）计算t t +∆时刻的加速度和速度.....023()t t t t t t t x a x x a x a x +∆+∆=---......67t t t t t t x x a x a x +∆+∆=++威尔逊-θ法的解题步骤1. 初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C（2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，并计算积分常数1.4θ= 026()a t θ=∆，13a tθ=∆，212a a =32ta θ∆=，04a a θ=，25a a θ-=631a θ=-，72t a ∆=，286t a ∆=（4）形成等效刚度K -01K K a M a C -=++（5）将等效刚度K -进行三角分解 T K L D L -= 2.对每一个时间步长（1）计算t t +∆时刻的等效载荷...02()(2)t t t t t t t t t R Q Q Q M a x a x x θθ-+∆+∆=+-+++...13(2)t t t C a x x a x +++ （2）求解t t +∆时刻的位移()Tt t t t L D L x R θθ-+∆+∆=（3）计算在t t +∆时刻的加速度、速度和位移.....456()t t t t t t t x a x x a x a x θ+∆+∆=-++5．2 结构动力响应数值算法性能分析对公式（5.1）描述的线性系统结构动力学问题，已经有证明对整个多自由度的积分，等价于将模态分解后对单自由度的积分的结果进行模态叠加，因此可以通过对单自由度问题的分析，来说明算法的特性，其中阻尼均假设为比例阻尼，这样，模态分解后的单自由度结构动力学方程为：)(22t f x x x=++ωξω （5-29） 以下算法的性能分析，均将算法用于这个方程。
5．2．1 算法用于结构动力学方程的有限差分表示将数值计算方法应用于（5-29）, 即分别在相邻的不同时刻应用算法可得如下一般形式k k k L Ay y +=+1 （5-30）A 为放大矩阵或称逼近算子，k L 为载荷逼近算子。
{}{}Tm k k k k Tm k k k k x x x y x x x y -+++--== ,,,,,1111例如将Newmak 方法应用于方程（5-29）有：d t A A A 1-= （5-33）⎢⎢⎣⎡+=2221γωδωh h A t⎥⎥⎦⎤+γξωδξωh h 2122，⎢⎢⎢⎣⎡----=222)1()21(21ωγωδh hA d⎥⎦⎤----ξωγξωδ)1(21])21(1[h h h矩阵A 的特征多项式为02)det(212=+-=--A A I A λλλ （5-34）其中A 1，A 为该矩阵的两个特征向量，分别为矩阵的迹的一半和矩阵的行列式)(212122111A A traceA A +==（5-35） 211222112det A A A A A A -==（5-36）22112,1A A A -±=λ （5-37）对Newmak 方法有：Dv A ])412()12(1[21Ω--+Ω-+=δξγ,DA ])21()22(1[22Ω+-+Ω-+=γδξγ （5-38）其中 h 为时间步长，221,Ω+Ω+==ΩδγξωD h 。
Newmak 方法放大矩阵的规模是二维的，因此特征值也只有两个，可以根据它们进行分析。
有的算法放大矩阵是三维的，例如Wilson-θ方法,在无阻尼情况下放大矩阵为：⎢⎢⎢⎣⎡-+Ω-=Ω-22366)1(13ωθθωD A ωθθθθθΩ+-ΩΩ-Ω+h h 6)6)3(()6(22232⎥⎥⎥⎥⎦⎤-Ω-Ω+Ω--Ω+Ω--Ω+)636)2/336()26(2232222322232θθθθθθθθθh h （5-39）θθ)6(22+Ω=D放大矩阵A 的特征多项式为：2)det(32213=-+-=--A A A I A λλλλ （5－40）其中A 1，A 2，A 3为该矩阵的三个特征向量，分别为矩阵的迹的一半、各阶主子式的和以及矩阵的行列式，对Wilson-θ方法有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+ΩΩ+Ω+Ω-Ω-+-=+Ω-+Ω-Ω+Ω=+ΩΩ-Ω-Ω-Ω+-=)6(3366)6(1218634)6(233361822232222322223222222222321θθθθθθθθθθθθθθc A A c c A （5-41）此外，在几个不同时刻应用数值算法，然后将方程中的速度和加速度项消去，可得数值算法关于位移的差分方程，例如Newmak 方法，有nn x x ])412()12(1[2)21(212Ω--+Ω-+-Ω+Ω++γδξγδγξ])21()22(1[12=Ω+-+Ω-++-n x γδξγ （5-42）很显然，其特征方程与其放大矩阵A 的特征方程是相同的，使用关于位移的线性多步方式和放大矩阵来说明算法性能是一样的，只不过各有方便之处。
5．2．2 算法的稳定性分析设m i i 2,1,=λ为放大矩阵A 的特征值，则i λρmax =定义为A 的谱半径，若特征值互异，则1≤ρ的算法是稳定的，但若有重特征根，则要求1<ρ。
如果算法的稳定性要求对步长的选取有限制，称算法是有条件稳定的，反之为无条件稳定的。
放大矩阵的谱半径小于等于1成立的充分条件是⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥++≥+-0102102122121A A A A A （5-43）对33⨯的放大矩阵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+-≥+++≥--+≥+--≥-+-0)2(10210323032302213132321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A （5-44）上两式是关于算法自由参数Ω,ξ的不等式，由它可以判断算法是否无条件稳定，若不是，将给出稳定条件。
例5－1分析Newmak 方法、Wilson-θ方法的稳定性 解： 将（5-38）代入（5-43）有)21(22≥-Ω+Ωγξ1)21()2(2≤-Ω-+-Ωξγδγ显然，当2,21γδγ≥≥（5-45）算法无条件稳定。
当2,21γδγ<≥且δγγξδγγξ--+-+-=Ω≤Ω2])21(2[)21(2122c （5-46）算法稳定，但为条件稳定，其中c Ω为临界采样频率。
由于（5-43）式仅仅是充分条件，所以可进一步按照稳定性的定义得到5.1.2节叙述的无条件稳定条件。
对Wilson-θ方法，将（5-41）代入（5-44）得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+Ω≥-+Ω-+≥-+-Ω+≥-Ω≥Ω0)312(01224)614(0)661(120)12(606242232222c c c θθθθθ （5-47）容易看出，其中第一，二，五不等式恒成立，对第三，四不等式若希望对任意的Ω均成立，则有：⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+-01640661232θθθθ求解上述不等式得37.1231≈+≥θ （5-48）实际使用中通常选取θ=1.4 5.2.3 算法的相容性和收敛性直接积分算法的相容性、收敛性分析同样要使用其位移型的差分方程，或对应的单步多值形式。
在算法（5-30）式中，用精确解代替近似解，即可得到局部截断误差表达式，用符号)(k t e 表示)()()(1k k k k t he L t Ay t y ++=+（5-49）局部截断误差表达式用放大矩阵的特征量以最常用的线性三步法为例可表示为2321/)]2()()(2)([)(hh t x A h t x A t x A h t x t e k k k k k ---+-+= （5-50）其中321,,A A A 分别为对应的33⨯的放大矩阵的三个特征向量，然后将),(h t x k - )2(h t x k -在k t 点进行泰勒展开，然后利用运动平衡方程化简即可。
若局部截断误差表达式为步长的s （s>0）阶小量，则称算法是s 阶相容的。